20+ Kumpulan Soal UTBK Fungsi Kuadrat Kamu Wajib Tahu
Salah satu materi yang jarang banget absen di soal - soal yang keluar saat UTBK adalah Fungsi Kuadrat.
Fungsi kuadrat itu layaknya drama kehidupanmu, kadang naik, kadang turun, kadang berada di puncak tapi adakalanya juga ada pada titik paling bawah.😆Yup, fungsi kuadrat adalah sebuah tinjauan matematika yang berfokus pada sebuah kurva parabola yang naik turunnya bisa kita pelajari secara detail.
Nah, kali ini kita akan bahas beberapa soal fungsi kuadrat tipe UTBK yang wajib kamu ketahui, biar persiapan UTBK mu makin mantab.
Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum,
\[ y=ax^{2}+bx+c \]
atau bisa juga ditulis dalam bentuk sebuah fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ dimana $a,b,c \in \Re$ dan $a \ne 0$.
Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat berbentuk kurva parabola yang simetris bagian kanan dan kirinya, menghadap ke atas atau kebawah bergantung pada koefisien kuadratnya.
Titik potong terhadap sumbu $y$ diperoleh dengan $x=0$ yang akan menghasilkan titik $(0,c)$.
Koordinat puncak parabola : $\left( \dfrac{-b}{2a},\dfrac{D}{-4a} \right)$
dimana $D$ merupakan diskriminan fungsi kuadrat. \[ D=b^{2}-4ac \]
Persamaan Sumbu Simetri Kurva Fungsi Kuadrat
Persamaan sumbu simetri kurva fungsi kuadrat dirumuskan dengan,
\[ x=\dfrac{-b}{2a} \]
Nilai Maksimum atau Minimum Kurva Fungsi Kuadrat
Jika kurva terbuka ke atas maka fungsi kuadrat akan mempunyai nilai minimum sebaliknya jika kurvanya terbuka ke bawah maka fungsi kuadratnya akan mempunyai nilai maksimum.Jadi tidak mungkin sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai optimum keduanya, pasti hanya salah satu diantaranya saja : nilai maksimum atau nilai minimum saja.
Nilai maksimum atau nilai minimum kurva dirumuskan dengan :
\[ y_{\text{max/min}}=\dfrac{D}{-4a} \]
Kumpulan Soal UTBK Fungsi Kuadrat Lengkap Pembahasan
Kumpulan soal UTBK Fungsi Kuadrat di bawah ini, dirangkum dari berbagai sumber terpercaya yang bisa kamu jadikan referensi dalam belajar menghadapi ujian tes UTBK yang akan datang.Ada baiknya sebelum membuka pembahasannya, kamu bisa cobain mengerjakan dulu.
Biar makin paham, biar makin ngerti 💪🔥
Soal No.1 SBMPTN 2018
Titik $(a,b)$ terletak pada grafik $y = bx^2 + (1-b^2)x - 56$. Jika $a-b=7$ maka nilai $ab$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 7 \\ & (B). 5 \\ & (C). 1 \\ & (D). -1 \\ & (E). -5 \end{align} $
Titik $(a,b)$ terletak pada grafik $y = bx^2 + (1-b^2)x - 56$. Jika $a-b=7$ maka nilai $ab$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 7 \\ & (B). 5 \\ & (C). 1 \\ & (D). -1 \\ & (E). -5 \end{align} $
Jika sebuah titik diketahui dilalui oleh kurvanya, maka sebenarnya kamu bisa langsung substitusikan ke fungsinya.
Substitusikan titik $(a,b)$ ke fungsinya dengan memperhatikan bahwa $a-b=7$.
Sehingga,
$ \begin{align} (a,b) \rightarrow y & = bx^2 + (1-b^2)x - 56 \\ b & = b.a^2 + (1-b^2).a - 56 \\ b & = ba^2 + a - ab^2 - 56 \\ 0 & = ba^2 - ab^2 + a - b - 56 \\ 0 & = ab(a-b) + a - b - 56 \\ 0 & = ab.7 + 7 - 56 \\ 49 & = 7ab \\ ab & = 7 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $ (A). 7$.
Substitusikan titik $(a,b)$ ke fungsinya dengan memperhatikan bahwa $a-b=7$.
Sehingga,
$ \begin{align} (a,b) \rightarrow y & = bx^2 + (1-b^2)x - 56 \\ b & = b.a^2 + (1-b^2).a - 56 \\ b & = ba^2 + a - ab^2 - 56 \\ 0 & = ba^2 - ab^2 + a - b - 56 \\ 0 & = ab(a-b) + a - b - 56 \\ 0 & = ab.7 + 7 - 56 \\ 49 & = 7ab \\ ab & = 7 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $ (A). 7$.
Soal No.2 UM UGM 2019
Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ dengan $a \ne b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 9 \\ & (B). 3 \\ & (C). -\dfrac{1}{9} \\ & (D). -\dfrac{1}{3} \\ & (E). -1 \end{align} $
Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ dengan $a \ne b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 9 \\ & (B). 3 \\ & (C). -\dfrac{1}{9} \\ & (D). -\dfrac{1}{3} \\ & (E). -1 \end{align} $
(1) Karena $f(x)$ melalui $(a,-b)$ kita dapatkan :
$ \begin{align} f(a) &= 9a^2 +a(a) -b \\ -b &=10a^{2}-b \\ 0 &=10a^{2} \\ 0 &=a \end{align} $
(2) Karena $f(x)$ melalui $(b,-a)$ kita dapatkan :
$ \begin{align} f(b) &=9b^{2}+a(b)-b \\ -a &=9b^{2}+ab-b \\ 0 &=9b^{2}+0-b \\ 0 &=9b^{2}-b \\ 0 &=\left( 9b-1 \right)\left( b \right) \\ b=\dfrac{1}{9}\ & \text{atau}\ b=0\ \text{(TM)} \end{align} $
Dari bagian (1) dan (2) diatas kita peroleh $a=0$ dan $b=\dfrac{1}{9}$, nah sampai sini kita bisa tahu fungsi $f(x)$ yang sebenarnya adalah :
$ \begin{align} f(x) &=9x^{2}+ax-b \\ f(x) &=9x^{2}-\dfrac{1}{9} \\ \\ \hline \text{Nilai Minimum :} \\ \hline y_{p} &= \dfrac{-\left( b^{2}-4ac \right)}{ 4a} \\ &= \dfrac{-\left( 0-4(9) \left( -\dfrac{1}{9} \right) \right)}{ 4(9)} \\ &= \dfrac{-4}{ 36} = -\dfrac{1}{ 9} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $ (C). -\dfrac{1}{9}$.
$ \begin{align} f(a) &= 9a^2 +a(a) -b \\ -b &=10a^{2}-b \\ 0 &=10a^{2} \\ 0 &=a \end{align} $
(2) Karena $f(x)$ melalui $(b,-a)$ kita dapatkan :
$ \begin{align} f(b) &=9b^{2}+a(b)-b \\ -a &=9b^{2}+ab-b \\ 0 &=9b^{2}+0-b \\ 0 &=9b^{2}-b \\ 0 &=\left( 9b-1 \right)\left( b \right) \\ b=\dfrac{1}{9}\ & \text{atau}\ b=0\ \text{(TM)} \end{align} $
Dari bagian (1) dan (2) diatas kita peroleh $a=0$ dan $b=\dfrac{1}{9}$, nah sampai sini kita bisa tahu fungsi $f(x)$ yang sebenarnya adalah :
$ \begin{align} f(x) &=9x^{2}+ax-b \\ f(x) &=9x^{2}-\dfrac{1}{9} \\ \\ \hline \text{Nilai Minimum :} \\ \hline y_{p} &= \dfrac{-\left( b^{2}-4ac \right)}{ 4a} \\ &= \dfrac{-\left( 0-4(9) \left( -\dfrac{1}{9} \right) \right)}{ 4(9)} \\ &= \dfrac{-4}{ 36} = -\dfrac{1}{ 9} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $ (C). -\dfrac{1}{9}$.
Soal No.3 SIMAK UI 2009
Diketahui fungsi $mx^2-2x^2+2mx+m-3$. Agar fungsi tersebut senantiasa berada dibawah sumbu $x$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah..
$ \begin{align} & (A). m \lt -3 \\ & (B). m \lt -2 \\ & (C). m \lt 1\dfrac{1}{5} \\ & (D). m \lt 2 \\ & (E). m \lt 3 \end{align} $
Diketahui fungsi $mx^2-2x^2+2mx+m-3$. Agar fungsi tersebut senantiasa berada dibawah sumbu $x$, maka nilai $m$ yang mungkin adalah..
$ \begin{align} & (A). m \lt -3 \\ & (B). m \lt -2 \\ & (C). m \lt 1\dfrac{1}{5} \\ & (D). m \lt 2 \\ & (E). m \lt 3 \end{align} $
Jika $f(x)$ mewakili fungsi di atas, maka fungsi di atas bisa kita tulis kembali menjadi :
$ \begin{align} f(x) &= mx^2-2x^2+2mx+m-3 \\ f(x) &= (m-2)x^{2} + 2mx+(m-3) \end{align} $
Agar fungsi $f(x)$ tersebut senantiasa berada dibawah sumbu $x$ maka fungsi tersebut harus memenuhi syarat definit negatif.
Definit negatif artinya $D \lt 0$ dan $a \lt 0$ dimana $D$ merupakan nilai diskriminan $f(x)$, $D=b^2-4ac$.
Sehingga,
$ \begin{align} a & \lt 0 \\ m-2 & \lt 0 \\ m & \lt 2 \\ \\ D & \lt 0 \\ (2m)^{2} - 4(m-2)(m-3) & \lt 0 \\ 4m^2 - 4(m^2-5m+6) & \lt 0 \\ 4m^2 - 4m^2 + 20m -24 & \lt 0 \\ 20m & \lt 24 \\ m & \lt \dfrac{24}{20} \\ m & \lt \dfrac{6}{5} \\ m & \lt 1\dfrac{1}{5} \end{align} $
Dengan memperhatikan garis bilangan di atas, terlihat bahwa daerah hasil dari permasalahan pertidaksamaannya adalah $m \lt 1\dfrac{1}{5} $.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). m \lt 1\dfrac{1}{5}$.
$ \begin{align} f(x) &= mx^2-2x^2+2mx+m-3 \\ f(x) &= (m-2)x^{2} + 2mx+(m-3) \end{align} $
Agar fungsi $f(x)$ tersebut senantiasa berada dibawah sumbu $x$ maka fungsi tersebut harus memenuhi syarat definit negatif.
Definit negatif artinya $D \lt 0$ dan $a \lt 0$ dimana $D$ merupakan nilai diskriminan $f(x)$, $D=b^2-4ac$.
Sehingga,
$ \begin{align} a & \lt 0 \\ m-2 & \lt 0 \\ m & \lt 2 \\ \\ D & \lt 0 \\ (2m)^{2} - 4(m-2)(m-3) & \lt 0 \\ 4m^2 - 4(m^2-5m+6) & \lt 0 \\ 4m^2 - 4m^2 + 20m -24 & \lt 0 \\ 20m & \lt 24 \\ m & \lt \dfrac{24}{20} \\ m & \lt \dfrac{6}{5} \\ m & \lt 1\dfrac{1}{5} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). m \lt 1\dfrac{1}{5}$.
Soal No.4
Jika fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ mencapai minimum di $x=0$ dan grafik $f$ melalui titik $(0,2)$ dan $(1,8)$, maka nilai $a+b+2c$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 6 \\ & (B). 8 \\ & (C). 10 \\ & (D). 12 \\ & (E). 16 \end{align} $
Jika fungsi $f(x)=ax^{2}+bx+c$ mencapai minimum di $x=0$ dan grafik $f$ melalui titik $(0,2)$ dan $(1,8)$, maka nilai $a+b+2c$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 6 \\ & (B). 8 \\ & (C). 10 \\ & (D). 12 \\ & (E). 16 \end{align} $
$x_p \to x=0$ maka kita bisa dapatkan $-\dfrac{b}{2a}=0$ sehingga $b=0$.
Grafik $f$ melalui $(0,2)$ dan $(1,8)$ kita peroleh :
$ \begin{align} f(0) &= a \cdot 0^{2}+b \cdot 0 + c \\ 2 &= c \\ \\ f(1) &= a \cdot 1^{2}+b \cdot 1 + c \\ 8 &= a+b+c \\ 8 &= a+0+2 \\ a &= 6 \end{align} $
Dengan demikian $a+b+2c=6+0+4=10$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). 10$.
Grafik $f$ melalui $(0,2)$ dan $(1,8)$ kita peroleh :
$ \begin{align} f(0) &= a \cdot 0^{2}+b \cdot 0 + c \\ 2 &= c \\ \\ f(1) &= a \cdot 1^{2}+b \cdot 1 + c \\ 8 &= a+b+c \\ 8 &= a+0+2 \\ a &= 6 \end{align} $
Dengan demikian $a+b+2c=6+0+4=10$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). 10$.
Soal No.5
Fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}+ax+4$ selalu positif untuk semua nilai $x$, jika nilai $a$ yang memenuhi adalah..
$ \begin{align} & (A). a \lt -4 \\ & (B). a \gt 4 \\ & (C). a \lt -4 \ \text{atau} \ a \gt 4 \\ & (D). 0 \lt a \lt 4 \\ & (E). -4 \lt a \lt 4 \end{align} $
Fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}+ax+4$ selalu positif untuk semua nilai $x$, jika nilai $a$ yang memenuhi adalah..
$ \begin{align} & (A). a \lt -4 \\ & (B). a \gt 4 \\ & (C). a \lt -4 \ \text{atau} \ a \gt 4 \\ & (D). 0 \lt a \lt 4 \\ & (E). -4 \lt a \lt 4 \end{align} $
Agar $f(x)$ selalu positif untuk semua nilai $x$ maka fungsi kuadrat tersebut harus memenuhi kondisi definit positif.
Definit positif artinya $D \lt 0$ dan $a \gt 0$ dimana $D$ merupakan nilai diskriminan $f(x)$, $D=b^2-4ac$.
$f(x)=x^{2}+ax+4$ mempunyai nilai $a$ (koefisien $x^2$) sama dengan 1, artinya sudah memenuhi kondisi $a \gt 0$.
Selanjutnya kita cek batas - batas diskriminannya agar memenuhi kondisi $D \lt 0$.
Sehingga,
$ \begin{align} D & \lt 0 \\ a^2 -4 \cdot 1 \cdot 4 & \lt 0 \\ a^2 -16 & \lt 0 \\ (a+4)(a-4) & \lt 0 \\ -4 \lt a & \lt 4 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(E). -4 \lt a \lt 4 $.
Definit positif artinya $D \lt 0$ dan $a \gt 0$ dimana $D$ merupakan nilai diskriminan $f(x)$, $D=b^2-4ac$.
$f(x)=x^{2}+ax+4$ mempunyai nilai $a$ (koefisien $x^2$) sama dengan 1, artinya sudah memenuhi kondisi $a \gt 0$.
Selanjutnya kita cek batas - batas diskriminannya agar memenuhi kondisi $D \lt 0$.
Sehingga,
$ \begin{align} D & \lt 0 \\ a^2 -4 \cdot 1 \cdot 4 & \lt 0 \\ a^2 -16 & \lt 0 \\ (a+4)(a-4) & \lt 0 \\ -4 \lt a & \lt 4 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(E). -4 \lt a \lt 4 $.
Soal No.6
Nilai fungsi kuadrat dengan daerah asal $\{x| 0 \le x \le 3, x \in \Re \}$, pada fungsi $f(x)=x^{2}-2x+2$ adalah..
$ \begin{align} & (A). \{f(x) | -1 \le f(x) \le 2, f(x) \in \Re\} \\ & (B). \{f(x) | 1 \le f(x) \lt 5, f(x) \in \Re\} \\ & (C). \{f(x) | 1 \le f(x) \le 5, f(x) \in \Re\} \\ & (D). \{f(x) | 2 \le f(x) \le 5, f(x) \in \Re\} \\ & (E). \{f(x) | -1 \le f(x) \le 1, f(x) \in \Re\} \end{align} $
Nilai fungsi kuadrat dengan daerah asal $\{x| 0 \le x \le 3, x \in \Re \}$, pada fungsi $f(x)=x^{2}-2x+2$ adalah..
$ \begin{align} & (A). \{f(x) | -1 \le f(x) \le 2, f(x) \in \Re\} \\ & (B). \{f(x) | 1 \le f(x) \lt 5, f(x) \in \Re\} \\ & (C). \{f(x) | 1 \le f(x) \le 5, f(x) \in \Re\} \\ & (D). \{f(x) | 2 \le f(x) \le 5, f(x) \in \Re\} \\ & (E). \{f(x) | -1 \le f(x) \le 1, f(x) \in \Re\} \end{align} $
Untuk bisa mendapatkan batas - batas dari range atau daerah hasil pada fungsi kuadrat langkah awal yang perlu kita lakukan adalah dengan cek nilai batas - batas domain (daerah asal)nya.
Batas daerah asal $\{x| 0 \le x \le 3, x \in \Re \}$, sehingga :
$x=0 \to f(0)=0^{2}-2(0)+2=2$
$x=3 \to f(3)=3^{2}-2(3)+2=5$
Setelah itu lanjut cek nilai $y_p$ dari kurva, ingat nilai $y$ puncak dari sebuah fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah :
$ \begin{align} y_p &= - \left(\dfrac{b^2-4ac}{4a} \right) \\ &= - \left( \dfrac{(-2)^2-4(1)(2)}{4(1)} \right) \\ &= -\dfrac{\left( -4 \right)}{4} \\ &= 1 \end{align} $
Dengan mempertimbangkan perolehan cek batas - batas daerah asal dan $y_p$ kita dapatkan batas - batas range atau daerah hasil pada fungsi kuadratnya yaitu : \[ 1 \le f(x) \le 5 \] Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). \{f(x) | 1 \le f(x) \le 5, f(x) \in \Re\}$.
Batas daerah asal $\{x| 0 \le x \le 3, x \in \Re \}$, sehingga :
$x=0 \to f(0)=0^{2}-2(0)+2=2$
$x=3 \to f(3)=3^{2}-2(3)+2=5$
Setelah itu lanjut cek nilai $y_p$ dari kurva, ingat nilai $y$ puncak dari sebuah fungsi kuadrat $f(x)=ax^{2}+bx+c$ adalah :
$ \begin{align} y_p &= - \left(\dfrac{b^2-4ac}{4a} \right) \\ &= - \left( \dfrac{(-2)^2-4(1)(2)}{4(1)} \right) \\ &= -\dfrac{\left( -4 \right)}{4} \\ &= 1 \end{align} $
Dengan mempertimbangkan perolehan cek batas - batas daerah asal dan $y_p$ kita dapatkan batas - batas range atau daerah hasil pada fungsi kuadratnya yaitu : \[ 1 \le f(x) \le 5 \] Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). \{f(x) | 1 \le f(x) \le 5, f(x) \in \Re\}$.
Soal No.7
Grafik fungsi $𝑦=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐$ ditunjukkan seperti gambar di bawah ini.
Nilai $\dfrac{(𝑎+𝑐)}{𝑏}=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ -2 \\ & (B) \ -1 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ 1 \\ & (E) \ 2 \end{align} $
Grafik fungsi $𝑦=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐$ ditunjukkan seperti gambar di bawah ini.
$ \begin{align} & (A) \ -2 \\ & (B) \ -1 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ 1 \\ & (E) \ 2 \end{align} $
Jawaban : D
Cek video pembahasan di bawah.
Cek video pembahasan di bawah.
Soal No.8
Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$X$ di titik $(−4,0)$ dan $(3,0)$ serta memotong sumbu-$Y$ di titik $(0,−12)$, mempunyai persamaan ...
$ \begin{align} & (A) \ 𝑦=𝑥^2+7𝑥−12 \\ & (B) \ 𝑦=𝑥^2+𝑥−12 \\ & (C) \ 𝑦=𝑥^2−𝑥−12 \\ & (D) \ 𝑦=𝑥^2−7𝑥−12 \\ & (E) \ 𝑦=−𝑥^2−7𝑥−12 \end{align} $
Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu-$X$ di titik $(−4,0)$ dan $(3,0)$ serta memotong sumbu-$Y$ di titik $(0,−12)$, mempunyai persamaan ...
$ \begin{align} & (A) \ 𝑦=𝑥^2+7𝑥−12 \\ & (B) \ 𝑦=𝑥^2+𝑥−12 \\ & (C) \ 𝑦=𝑥^2−𝑥−12 \\ & (D) \ 𝑦=𝑥^2−7𝑥−12 \\ & (E) \ 𝑦=−𝑥^2−7𝑥−12 \end{align} $
Jawaban : B
Cek video pembahasan di bawah.
Cek video pembahasan di bawah.
Soal No.9
Sebuah fungsi kuadrat mempunyai gradien $m=2x+1$ di titik $A(2,-5)$. Jika grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas, maka persamaan fungsi kuadrat yang dimaksud adalah...
$ \begin{align} & (A) \ f(x)=-x^2 + x -10 \\ & (B) \ f(x)=x^2 + x +10 \\ & (C) \ f(x)=x^2 + 2x -11 \\ & (D) \ f(x)=x^2 - 2x +11 \\ & (E) \ f(x)=x^2 + x -11 \end{align} $
Sebuah fungsi kuadrat mempunyai gradien $m=2x+1$ di titik $A(2,-5)$. Jika grafik fungsi kuadrat tersebut terbuka ke atas, maka persamaan fungsi kuadrat yang dimaksud adalah...
$ \begin{align} & (A) \ f(x)=-x^2 + x -10 \\ & (B) \ f(x)=x^2 + x +10 \\ & (C) \ f(x)=x^2 + 2x -11 \\ & (D) \ f(x)=x^2 - 2x +11 \\ & (E) \ f(x)=x^2 + x -11 \end{align} $
Ingat kembali bahwa dengan menggunakan konsep turunan kita bisa tahu bahwa gradien suatu kurva sebenarnya adalah turunan pertama dari persamaan kurva itu sendiri.
\[ m=f'(x) \]
Kita peroleh
$ \begin{align} m=f'(x) &= 2x+1 \\ \\ f(x) &= \int \left( 2x+1 \right) \ dx \\ &= x^2 + x + c \end{align} $
Karena diketahui pada soal bahwa kurva fungsi kuadratnya tersebut melalui titik $A(2,-5)$ maka
$ \begin{align} f(x) &= x^2 + x + c \\ f(2) &= 2^{2} + 2 + c \\ -5 &= 6 + c \\ c &= -11 \end{align} $
Dengan demikian persamaan fungsi kuadratnya adalah $f(x)=x^2 + x -11$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ f(x)=x^2 + x -11 $.
$ \begin{align} m=f'(x) &= 2x+1 \\ \\ f(x) &= \int \left( 2x+1 \right) \ dx \\ &= x^2 + x + c \end{align} $
Karena diketahui pada soal bahwa kurva fungsi kuadratnya tersebut melalui titik $A(2,-5)$ maka
$ \begin{align} f(x) &= x^2 + x + c \\ f(2) &= 2^{2} + 2 + c \\ -5 &= 6 + c \\ c &= -11 \end{align} $
Dengan demikian persamaan fungsi kuadratnya adalah $f(x)=x^2 + x -11$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ f(x)=x^2 + x -11 $.
Soal No.10
Parabola $y=2x^2-10x-48$ memotong sumbu-$Y$ di titik $B$. Jika garis singgung di titik $B$ pada parabola memotong sumbu-$X$ di titik $(a,0)$ maka nilai $a$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ -1 \dfrac{1}{2} \\ & (B) \ -2 \dfrac{1}{3} \\ & (C) \ -4 \dfrac{4}{5} \\ & (D) \ 3 \dfrac{2}{5} \\ & (E) \ 5 \dfrac{1}{2} \end{align} $
Parabola $y=2x^2-10x-48$ memotong sumbu-$Y$ di titik $B$. Jika garis singgung di titik $B$ pada parabola memotong sumbu-$X$ di titik $(a,0)$ maka nilai $a$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ -1 \dfrac{1}{2} \\ & (B) \ -2 \dfrac{1}{3} \\ & (C) \ -4 \dfrac{4}{5} \\ & (D) \ 3 \dfrac{2}{5} \\ & (E) \ 5 \dfrac{1}{2} \end{align} $
$
\begin{align}
B & \to \left( 0 , 2(0)^2-10(0)-48 \right) \\
B & \to \left( 0 , -48 \right) \\
\end{align}
$
Gradien garis singgung kurva di titik $B$ adalah :
$ \begin{align} m &= y' = 4x-10 \\ &= 4(0) -10 \\ &= -10 \end{align} $
Persamaan garis singgung di titik $B$ :
$ \begin{align} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y- (-48) &= -10 (x-0) \\ y+48 &= -10x \\ \\ \text{Memotong sumbu-}X \ & \text{di} \ (a,0) \ \text{:} \\ 0+48 &= -10a \\ a &= \dfrac{48}{-10} \\ &= -4 \dfrac{8}{10} =-4 \dfrac{4}{5} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ -4 \dfrac{4}{5} $.
Gradien garis singgung kurva di titik $B$ adalah :
$ \begin{align} m &= y' = 4x-10 \\ &= 4(0) -10 \\ &= -10 \end{align} $
Persamaan garis singgung di titik $B$ :
$ \begin{align} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y- (-48) &= -10 (x-0) \\ y+48 &= -10x \\ \\ \text{Memotong sumbu-}X \ & \text{di} \ (a,0) \ \text{:} \\ 0+48 &= -10a \\ a &= \dfrac{48}{-10} \\ &= -4 \dfrac{8}{10} =-4 \dfrac{4}{5} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ -4 \dfrac{4}{5} $.
Soal No.11
Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=2x^2-12x+k$ dan $f(3)=15$. Dengan demikian nilai minimum dari $f(x)$ sama dengan ...
$ \begin{align} & (A) \ 25 \\ & (B) \ 20 \\ & (C) \ 15 \\ & (D) \ 10 \\ & (E) \ 5 \end{align} $
Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=2x^2-12x+k$ dan $f(3)=15$. Dengan demikian nilai minimum dari $f(x)$ sama dengan ...
$ \begin{align} & (A) \ 25 \\ & (B) \ 20 \\ & (C) \ 15 \\ & (D) \ 10 \\ & (E) \ 5 \end{align} $
$
\begin{align}
f(x) &= 2x^2-12x+k \\
f(3) &= 2(3)^2-12(3)+k \\
15 &= -18+k \\
k &= 33 \\ \\
f(x) &= 2x^2-12x+33 \\
\end{align}
$
Nilai minimum kurva $f(x) \to Y_p$.
$ \begin{align} Y_p &= \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ Y_p &= \dfrac{(-12)^2-4(2)(33)}{-4(2)} \\ &= \dfrac{-120}{-8} \\ &= 15 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 15 $.
Nilai minimum kurva $f(x) \to Y_p$.
$ \begin{align} Y_p &= \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ Y_p &= \dfrac{(-12)^2-4(2)(33)}{-4(2)} \\ &= \dfrac{-120}{-8} \\ &= 15 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 15 $.
Soal No.12
Fungsi kuadrat $y=f(x)$ yang grafiknya melalui titik $(2,5)$ dan $(7,40)$ serta mempunyai sumbu simetri $x=1$, mempunyai nilai ekstrim $=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ \text{minimum} \ 2 \\ & (B) \ \text{minimum} \ 3 \\ & (C) \ \text{minimum} \ 4 \\ & (D) \ \text{maksimum} \ 3 \\ & (E) \ \text{maksimum} \ 4 \end{align} $
Fungsi kuadrat $y=f(x)$ yang grafiknya melalui titik $(2,5)$ dan $(7,40)$ serta mempunyai sumbu simetri $x=1$, mempunyai nilai ekstrim $=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ \text{minimum} \ 2 \\ & (B) \ \text{minimum} \ 3 \\ & (C) \ \text{minimum} \ 4 \\ & (D) \ \text{maksimum} \ 3 \\ & (E) \ \text{maksimum} \ 4 \end{align} $
Untuk mendapatkan solusi dari soal di atas, kita akan substitusi semua informasi yang ada ke dalam bentuk persamaan fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$.
$ \begin{align} y &= ax^2+bx+c \\ \\ (2,5) \to 5 &= a(2)^2+b(2)+c \\ 5 &= 4a+2b+c \\ \\ (7,40) \to 40 &= a(7)^2+b(7)+c \\ 40 &= 49a+7b+c \\ \\ \end{align} $
Eliminasi kedua persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} 49a+7b+c = 40 & \\ 4a+2b+c = 5 & (-) \\ \hline 45a+5b = 35 \ \text{|:5} \\ 9a +b = 7 \end{array} $
Persamaan sumbu simetri $x=1$ artinya $\dfrac{-b}{2a}=1 \to b=-2a$.
Sehingga,
$ \begin{align} 9a +b &= 7 \\ 9a + (-2a) &= 7 \\ 7a &= 7 \to a=1 \\ \\ b &=-2a \\ b &= -2(1) \\ b &= -2 \\ \\ 4a+2b+c &= 5 \\ 4(1)+2(-2)+c &= 5 \\ c &= 5 \end{align} $
Denggan demikian karena $a \gt 0$ maka $y$ puncaknya berjenis minimum, dengan nilai :
$ \begin{align} y_{min} &= \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ &= \dfrac{(-2)^2-4(1)(5)}{-4(1)} \\\ &= \dfrac{-16}{-4} = 4 \end{align} $
Jadi. jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ \text{minimum} \ 4$.
$ \begin{align} y &= ax^2+bx+c \\ \\ (2,5) \to 5 &= a(2)^2+b(2)+c \\ 5 &= 4a+2b+c \\ \\ (7,40) \to 40 &= a(7)^2+b(7)+c \\ 40 &= 49a+7b+c \\ \\ \end{align} $
Eliminasi kedua persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} 49a+7b+c = 40 & \\ 4a+2b+c = 5 & (-) \\ \hline 45a+5b = 35 \ \text{|:5} \\ 9a +b = 7 \end{array} $
Persamaan sumbu simetri $x=1$ artinya $\dfrac{-b}{2a}=1 \to b=-2a$.
Sehingga,
$ \begin{align} 9a +b &= 7 \\ 9a + (-2a) &= 7 \\ 7a &= 7 \to a=1 \\ \\ b &=-2a \\ b &= -2(1) \\ b &= -2 \\ \\ 4a+2b+c &= 5 \\ 4(1)+2(-2)+c &= 5 \\ c &= 5 \end{align} $
Denggan demikian karena $a \gt 0$ maka $y$ puncaknya berjenis minimum, dengan nilai :
$ \begin{align} y_{min} &= \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ &= \dfrac{(-2)^2-4(1)(5)}{-4(1)} \\\ &= \dfrac{-16}{-4} = 4 \end{align} $
Jadi. jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ \text{minimum} \ 4$.
Soal No.13
Grafik fungsi kuadrat $f(x)=px^2+(p+2)x-p+4$ memotong sumbu-$X$ di dua titik. Batas - batas nilai $p$ yang memenuhi adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ p \lt -2 \ \text{atau} \ p \gt -\dfrac{2}{5} \\ & (B) \ p \lt \dfrac{2}{5} \ \text{atau} \ p \gt 2 \\ & (C) \ p \lt 2 \ \text{atau} \ p \gt 10 \\ & (D) \ \dfrac{2}{5} \lt p \lt 2 \\ & (E) \ 2 \lt p \lt 10 \end{align} $
Grafik fungsi kuadrat $f(x)=px^2+(p+2)x-p+4$ memotong sumbu-$X$ di dua titik. Batas - batas nilai $p$ yang memenuhi adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ p \lt -2 \ \text{atau} \ p \gt -\dfrac{2}{5} \\ & (B) \ p \lt \dfrac{2}{5} \ \text{atau} \ p \gt 2 \\ & (C) \ p \lt 2 \ \text{atau} \ p \gt 10 \\ & (D) \ \dfrac{2}{5} \lt p \lt 2 \\ & (E) \ 2 \lt p \lt 10 \end{align} $
Agar fungsi $f(x)$ memotong sumbu-$X$ di dua titik maka nilai dari diskriminan fungsinya harus positif $\to D \gt 0$, dimana $D=b^2-4ac$.
$ \begin{align} b^2 -4ac & \gt 0 \\ (p+2)^2 - 4p(-p+4) & \gt 0 \\ p^2 +4p +4 +4p^2-16p & \gt 0 \\ 5p^2 -12p+4 &\gt 0 \\ (5p-2)(p-2) &\gt 0 \\ p \lt \dfrac{2}{5} \ \text{atau} \ p & \gt 2 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B) \ p \lt \dfrac{2}{5} \ \text{atau} \ p \gt 2$.
$ \begin{align} b^2 -4ac & \gt 0 \\ (p+2)^2 - 4p(-p+4) & \gt 0 \\ p^2 +4p +4 +4p^2-16p & \gt 0 \\ 5p^2 -12p+4 &\gt 0 \\ (5p-2)(p-2) &\gt 0 \\ p \lt \dfrac{2}{5} \ \text{atau} \ p & \gt 2 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B) \ p \lt \dfrac{2}{5} \ \text{atau} \ p \gt 2$.
Soal No.14
Diberikan parabola $f(x)=x^2-5x+6$. Jika $p$ dan $q$ adalah absis titik potong parabola tersebut dengan sumbu-$X$, maka $p+q=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ -6 \\ & (B) \ -5 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ 5 \\ & (E) \ 6 \end{align} $
Diberikan parabola $f(x)=x^2-5x+6$. Jika $p$ dan $q$ adalah absis titik potong parabola tersebut dengan sumbu-$X$, maka $p+q=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ -6 \\ & (B) \ -5 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ 5 \\ & (E) \ 6 \end{align} $
Untuk mencari jumlah dari absis titik potong kurva terhadap sumbu-$X$ kita tetap bisa pakai rumus jumlah akar pada konsep persamaan kuadrat.
$ \begin{align} p+q &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{(-5)}{1} = 5 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ 5$.
$ \begin{align} p+q &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{(-5)}{1} = 5 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ 5$.
Soal No.15
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak $(8,4)$ dan memotong sumbu-$Y$ negatif, maka ...
$ \begin{align} & (A) \ a \gt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \gt 0 \\ & (B) \ a \lt 0, b \lt 0 , \ \text{dan} \ c \gt 0 \\ & (C) \ a \lt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \lt 0 \\ & (D) \ a \gt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \lt 0 \\ & (E) \ a \lt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \gt 0 \end{align} $
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak $(8,4)$ dan memotong sumbu-$Y$ negatif, maka ...
$ \begin{align} & (A) \ a \gt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \gt 0 \\ & (B) \ a \lt 0, b \lt 0 , \ \text{dan} \ c \gt 0 \\ & (C) \ a \lt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \lt 0 \\ & (D) \ a \gt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \lt 0 \\ & (E) \ a \lt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \gt 0 \end{align} $
Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-$Y$ negatif $\to c \lt 0$.
Karena titik puncak $(8,4)$ jelas terletak disebelah kanan sumbu-$Y$ maka $b \gt 0$.
Jika kita sketsa kurva yang memenuhi kedua kondisi di atas maka jelas kurva akan terbuka ke bawah, sehingga $a \lt 0$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ a \lt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \lt 0 $.
Karena titik puncak $(8,4)$ jelas terletak disebelah kanan sumbu-$Y$ maka $b \gt 0$.
Jika kita sketsa kurva yang memenuhi kedua kondisi di atas maka jelas kurva akan terbuka ke bawah, sehingga $a \lt 0$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ a \lt 0, b \gt 0 , \ \text{dan} \ c \lt 0 $.
Soal No.16
Diketahui grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$. Tentukan setiap pernyataan berikut benar atau salah.
Diketahui grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$. Tentukan setiap pernyataan berikut benar atau salah.
- Jika nilai $a \gt 0$, maka grafik fungsi $f$ membuka ke atas.
- Jika nilai $a \lt 0$, maka grafik fungsi $f$ membuka ke bawah.
- Jika nilai $a \gt 0$ dan persamaan $ax^2+bx+c=0$ tidak mempunyai penyelesaian, maka grafik fungsi $f$ terletak di atas sumbu-$X$.
- Jika nilai $a \gt 0$ dan persamaan $ax^2+bx+c=0$ tidak mempunyai penyelesaian, maka grafik fungsi $f$ terletak di bawah sumbu-$X$.
| Benar | Salah |
|---|---|
| Benar | Salah |
|---|---|
| Benar | Salah |
|---|---|
| Benar | Salah |
|---|---|
- Benar : $a \gt 0$ kurva $f(x)$ membuka ke atas.
- Benar : $a \lt 0$ kurva $f(x)$ membuka ke bawah.
- Benar : $a \gt 0$ kurva $f(x)$ membuka ke atas dan tidak punya penyelesaian jika grafik fungsi $f$ terletak di atas sumbu-$X$. Kondisi ini yang disebut dengan definit positif.
- Salah : $a \gt 0$ kurva $f(x)$ membuka ke atas dan definit positif seperti penjelasan pada poin yang (c).
Soal No.17
Diketahui sebuah fungsi kuadrat memiliki bentuk $f(x)=ax^2+bx+c$. Persamaan fungsi kuadrat $f(x)$ tersebut adalah ?
Putuskan apakah pernyataan (1) dan (2) berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut.
Diketahui sebuah fungsi kuadrat memiliki bentuk $f(x)=ax^2+bx+c$. Persamaan fungsi kuadrat $f(x)$ tersebut adalah ?
Putuskan apakah pernyataan (1) dan (2) berikut cukup untuk menjawab pertanyaan tersebut.
- Kurva fungsi kuadrat tersebut mempunyai persamaan sumbu simetri di $x=2$.
- Kurva fungsi kuadrat memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda $(-1,0)$ dan $(5,0)$.
- Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (2) SAJA tidak cukup.
- Pernyataan (2) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan (1) SAJA tidak cukup.
- DUA pernyataan BERSAMA – SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.
- Pernyataan (1) SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan (2) SAJA cukup
- Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Pernyataan (1) SAJA :
Kurva fungsi kuadrat tersebut mempunyai persamaan sumbu simetri di $x=2$.
Kita akan dapatkan bahwa $\dfrac{-b}{2a}=2 \to -b=4a$.
Informasi tidak cukup untuk dilanjutkan mencari persamaan fungsi kuadratnya.
Pernyataan (2) SAJA :
Kurva fungsi kuadrat memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda $(-1,0)$ dan $(5,0)$.
Dengan substitusi kedua titik potong tersebut kedalam $f(x)=ax^2+bx+c$, kita akan dapatkan :
$ \begin{align} y &=ax^2+bx+c \\ (-1,0) \to 0 &= a(-1)^2+b(-1)+c \\ 0 &= a-b+c \\ \\ (5,0) \to 0 &= a(5)^2+b(5)+c \\ 0 &= 25a+5b+c \\ \\ \end{align} $
Lanjut eliminasi kedua persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} a-b+c=0 & \\ 25a+5b+c=0 & (-) \\ \hline -24a-6b =0 \to -b=4a \end{array} $
Informasi tidak cukup untuk dilanjutkan mencari persamaan fungsi kuadratnya.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah (E). Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Kurva fungsi kuadrat tersebut mempunyai persamaan sumbu simetri di $x=2$.
Kita akan dapatkan bahwa $\dfrac{-b}{2a}=2 \to -b=4a$.
Informasi tidak cukup untuk dilanjutkan mencari persamaan fungsi kuadratnya.
Pernyataan (2) SAJA :
Kurva fungsi kuadrat memotong sumbu-$X$ di dua titik berbeda $(-1,0)$ dan $(5,0)$.
Dengan substitusi kedua titik potong tersebut kedalam $f(x)=ax^2+bx+c$, kita akan dapatkan :
$ \begin{align} y &=ax^2+bx+c \\ (-1,0) \to 0 &= a(-1)^2+b(-1)+c \\ 0 &= a-b+c \\ \\ (5,0) \to 0 &= a(5)^2+b(5)+c \\ 0 &= 25a+5b+c \\ \\ \end{align} $
Lanjut eliminasi kedua persamaan di atas :
$ \begin{array}{cc} a-b+c=0 & \\ 25a+5b+c=0 & (-) \\ \hline -24a-6b =0 \to -b=4a \end{array} $
Informasi tidak cukup untuk dilanjutkan mencari persamaan fungsi kuadratnya.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah (E). Pernyataan (1) dan pernyataan (2) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.
Soal No.18
Diketahui sebuah kurva fungsi kuadrat $y=mx^2-2mx+m$ menyinggung garis $y=10-3x$.
Manakah hubungan yang benar antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut berdasarkan informasi yang diberikan ?
HTML Table Generator
Diketahui sebuah kurva fungsi kuadrat $y=mx^2-2mx+m$ menyinggung garis $y=10-3x$.
Manakah hubungan yang benar antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut berdasarkan informasi yang diberikan ?
| $P$ | $Q$ |
|---|---|
| $m$ | $\dfrac{5}{14}$ |
- $\text{P} \gt \text{Q}$
- $\text{P} \lt \text{Q}$
- $\text{P} = \text{Q}$
- Informasi yang diberikan tidak cukup untuk memutuskan salah satu dari empat pilihan di atas.
Misalkan $y_1=mx^2-2mx+m$ dan $y_2=10-3x$ maka nilai diskriminan pada perpotongan kedua kurva haruslah nol $\to D=0$, dimana $D=b^2-4ac$.
$ \begin{align} y_1 &= y_2 \\ mx^2-2mx+m &= 10-3x \\ mx^2-2mx+3x+m-10 &= 0 \\ mx^2+(3-2m)x+(m-10) &= 0 \\ \end{align} $
Selanjutnya kita cari $\to D=0$ :
$ \begin{align} b^2 -4ac &= 0 \\ (3-2m)^2-4m(m-10) &= 0 \\ 4m^2 -12m +9 -4m^2+40m &= 0 \\ 28m+9 &= 0 \\ m &= -\dfrac{9}{28} \end{align} $
Karena $-\dfrac{9}{28} \lt \dfrac{5}{14}$ maka jawaban yang TEPAT adalah $(B). \ \text{P} \lt \text{Q}$.
$ \begin{align} y_1 &= y_2 \\ mx^2-2mx+m &= 10-3x \\ mx^2-2mx+3x+m-10 &= 0 \\ mx^2+(3-2m)x+(m-10) &= 0 \\ \end{align} $
Selanjutnya kita cari $\to D=0$ :
$ \begin{align} b^2 -4ac &= 0 \\ (3-2m)^2-4m(m-10) &= 0 \\ 4m^2 -12m +9 -4m^2+40m &= 0 \\ 28m+9 &= 0 \\ m &= -\dfrac{9}{28} \end{align} $
Karena $-\dfrac{9}{28} \lt \dfrac{5}{14}$ maka jawaban yang TEPAT adalah $(B). \ \text{P} \lt \text{Q}$.
Soal No.19
Perhatikan gambar kurva fungsi kuadrat berikut!
$ \begin{align} & (A). (1),(2) \ \text{dan} \ (3) \\ & (B). (1) \ \text{dan} \ (3) \\ & (C). (2) \ \text{dan} \ (4) \\ & (D). (4) \ \text{saja.} \\ & (E). \text{Semua benar.} \end{align} $
Perhatikan gambar kurva fungsi kuadrat berikut!
- Persamaan sumbu simetri kurva adalah $x=1$.
- Persamaan kurva fungsi kuadratnya mempunyai nilai diskriminan kurang dari sama dengan nol.
- Jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $c \lt 0$.
- Jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \lt 0$.
$ \begin{align} & (A). (1),(2) \ \text{dan} \ (3) \\ & (B). (1) \ \text{dan} \ (3) \\ & (C). (2) \ \text{dan} \ (4) \\ & (D). (4) \ \text{saja.} \\ & (E). \text{Semua benar.} \end{align} $
(1).Persamaan sumbu simetri.
Dengan melihat kedua titik potong kurva terhadap sumbu-$X$ kita bisa dapatkan persamaan sumbu simetrinya, yaitu :
$ \begin{align} x &= \dfrac{x_2-x_1}{2} \ \text{dimana } \ x_2 \gt x_1 \\ x &= \dfrac{3-(-1)}{2} \\ x &= 2 \ \text{(Salah)} \end{align} $
(2).Nilai diskriminan fungsi kuadrat.
Karena kurva memotong sumbu-$X$ di dua titik maka dapat dipastikan bahwa nilai diskriminan adalah positif atau lebih dari nol. $\text{(Salah)}$
(3).Nilai $c$ pada fungsi kuadrat.
Kurva memotong sumbu-$Y$ positif, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $c \gt 0$. $\text{(Salah)}$
(4).Nilai $a$ pada fungsi kuadrat.
Kurva parabola terbuka ke bawah, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \lt 0$. $\text{(Benar)}$
Jadi, jawaban yang TEPAT dari pertanyaan di atas adalah $(D). (4) \ \text{saja.}$
Dengan melihat kedua titik potong kurva terhadap sumbu-$X$ kita bisa dapatkan persamaan sumbu simetrinya, yaitu :
$ \begin{align} x &= \dfrac{x_2-x_1}{2} \ \text{dimana } \ x_2 \gt x_1 \\ x &= \dfrac{3-(-1)}{2} \\ x &= 2 \ \text{(Salah)} \end{align} $
(2).Nilai diskriminan fungsi kuadrat.
Karena kurva memotong sumbu-$X$ di dua titik maka dapat dipastikan bahwa nilai diskriminan adalah positif atau lebih dari nol. $\text{(Salah)}$
(3).Nilai $c$ pada fungsi kuadrat.
Kurva memotong sumbu-$Y$ positif, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $c \gt 0$. $\text{(Salah)}$
(4).Nilai $a$ pada fungsi kuadrat.
Kurva parabola terbuka ke bawah, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \lt 0$. $\text{(Benar)}$
Jadi, jawaban yang TEPAT dari pertanyaan di atas adalah $(D). (4) \ \text{saja.}$
Soal No.20
Perhatikan gambar kurva fungsi kuadrat berikut!
$ \begin{align} & (A). 0 \\ & (B). 1 \\ & (C). 2 \\ & (D). 3 \\ & (E). 4 \end{align} $
Perhatikan gambar kurva fungsi kuadrat berikut!
- Jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \lt 0$.
- Jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $ab \lt 0$.
- Mempunyai nilai diskriminan yang positif pada persamaan fungsi kuadratnya.
- Jika $Y_{min}$ menyatakan nilai minimum kurva maka $Y_{min} \lt -6$
$ \begin{align} & (A). 0 \\ & (B). 1 \\ & (C). 2 \\ & (D). 3 \\ & (E). 4 \end{align} $
(1).Nilai $a$ pada fungsi kuadrat.
Kurva parabola terbuka ke atas, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \gt 0$. $\text{(Salah)}$
(2).Nilai $ab$ pada fungsi kuadrat.
Kurva di atas mempunyai nilai $ab \lt 0$, hal ini berhubungan dengan letak puncak kurva yang terletak di sebelah kanan sumbu-$Y$.$\text{(Benar)}$
(3).Nilai diskriminan fungsi kuadrat.
Karena kurva memotong sumbu-$X$ di dua titik maka dapat dipastikan bahwa nilai diskriminan adalah positif atau lebih dari nol. $\text{(Benar)}$
(4).Nilai $Y_{min}$ fungsi kuadrat.
Untuk bisa mendapatkan nilai $Y_{min}$ maka kita konstruksi persamaan fungsi kuadratnya berdasarkan kondisi kurva pada soal.
$ \begin{align} y &= a(x-x_1)(x-x_2) \\ y &= a(x+1)(x-3) \\ \\ (0,-3) \to -3 &= a(0+1)(0-3) \\ -3 &= -3a \\ a &= 1 \\ \\ y &= a(x+1)(x-3) \\ y &= (x+1)(x-3) \\ y &= x^2-2x-3 \end{align} $
Kita dapatkan nilai dari $Y_{min}$ : $ \begin{align} Y_{min} &= \dfrac{D}{-4a} = \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ &= \dfrac{(-2)^2-4(1)(-3)}{-4(1)} \\ &= -4 \end{align} $
Sehingga pernyataan : Jika $Y_{min}$ menyatakan nilai minimum kurva maka $Y_{min} \lt -6$ adalah $\text{(Salah)}$.
Jadi, banyak pernyataan yang BENAR ada dua, sehingga jawaban yang TEPAT adalah $(C). 2$.
Kurva parabola terbuka ke atas, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \gt 0$. $\text{(Salah)}$
(2).Nilai $ab$ pada fungsi kuadrat.
Kurva di atas mempunyai nilai $ab \lt 0$, hal ini berhubungan dengan letak puncak kurva yang terletak di sebelah kanan sumbu-$Y$.$\text{(Benar)}$
(3).Nilai diskriminan fungsi kuadrat.
Karena kurva memotong sumbu-$X$ di dua titik maka dapat dipastikan bahwa nilai diskriminan adalah positif atau lebih dari nol. $\text{(Benar)}$
(4).Nilai $Y_{min}$ fungsi kuadrat.
Untuk bisa mendapatkan nilai $Y_{min}$ maka kita konstruksi persamaan fungsi kuadratnya berdasarkan kondisi kurva pada soal.
$ \begin{align} y &= a(x-x_1)(x-x_2) \\ y &= a(x+1)(x-3) \\ \\ (0,-3) \to -3 &= a(0+1)(0-3) \\ -3 &= -3a \\ a &= 1 \\ \\ y &= a(x+1)(x-3) \\ y &= (x+1)(x-3) \\ y &= x^2-2x-3 \end{align} $
Kita dapatkan nilai dari $Y_{min}$ : $ \begin{align} Y_{min} &= \dfrac{D}{-4a} = \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ &= \dfrac{(-2)^2-4(1)(-3)}{-4(1)} \\ &= -4 \end{align} $
Sehingga pernyataan : Jika $Y_{min}$ menyatakan nilai minimum kurva maka $Y_{min} \lt -6$ adalah $\text{(Salah)}$.
Jadi, banyak pernyataan yang BENAR ada dua, sehingga jawaban yang TEPAT adalah $(C). 2$.
Soal No.21
Arah yang TEPAT agar grafik fungsi $y=x^2$ saat digeser memperoleh grafik fungsi kuadrat $y=x^2+2x-6$ adalah ...
Arah yang TEPAT agar grafik fungsi $y=x^2$ saat digeser memperoleh grafik fungsi kuadrat $y=x^2+2x-6$ adalah ...
- Ke arah kanan sumbu-$X$ sejauh $1$ satuan dan ke arah bawah sumbu-$Y$ sejauh $7$ satuan.
- Ke arah kanan sumbu-$X$ sejauh $1$ satuan dan ke arah atas sumbu-$Y$ sejauh $7$ satuan.
- Ke arah kiri sumbu-$X$ sejauh $1$ satuan dan ke arah bawah sumbu-$Y$ sejauh $7$ satuan.
- Ke arah kiri sumbu-$X$ sejauh $1$ satuan dan ke arah atas sumbu-$Y$ sejauh $7$ satuan.
- Ke arah kanan sumbu-$X$ sejauh $2$ satuan dan ke arah bawah sumbu-$Y$ sejauh $7$ satuan.
Konsep dasar yang digunakan untuk mengerjakan soal ini adalah dengan memakai TRANSFORMASI GEOMETRI : Translasi.
Diketahui fungsi $y=x^2$ saat digeser oleh tranlas $T(a,b)$ memperoleh grafik fungsi kuadrat $y=x^2+2x-6$ maka,
$ \begin{align} y-b &=(x-a)^2 \\ y &= x^2 -2ax + \left( a^2 +b \right) \\ \end{align} $
Dengan memakai kesamaan fungsi dimana hasil bayangan kurva setelah mengalami translasi adalah $y=x^2+2x-6$ maka kita akan peroleh bahwa :
$ \begin{align} -2a &= 2 \\ a &= -1 \\ \\ a^2 +b &= -6 \\ (-1)^2 +b &= -6 \\ b &= -7 \end{align} $
Nilai $a$ merupakan pergesaran kurva arah sumbu-$X$ dan $b$ adalah pergesaran kurva arah sumbu-$Y$.
Jadi, pergesarannya adalah $(C.)$ ke arah kiri sumbu-$X$ sejauh $1$ satuan dan ke arah bawah sumbu-$Y$ sejauh $7$ satuan.
Diketahui fungsi $y=x^2$ saat digeser oleh tranlas $T(a,b)$ memperoleh grafik fungsi kuadrat $y=x^2+2x-6$ maka,
$ \begin{align} y-b &=(x-a)^2 \\ y &= x^2 -2ax + \left( a^2 +b \right) \\ \end{align} $
Dengan memakai kesamaan fungsi dimana hasil bayangan kurva setelah mengalami translasi adalah $y=x^2+2x-6$ maka kita akan peroleh bahwa :
$ \begin{align} -2a &= 2 \\ a &= -1 \\ \\ a^2 +b &= -6 \\ (-1)^2 +b &= -6 \\ b &= -7 \end{align} $
Nilai $a$ merupakan pergesaran kurva arah sumbu-$X$ dan $b$ adalah pergesaran kurva arah sumbu-$Y$.
Jadi, pergesarannya adalah $(C.)$ ke arah kiri sumbu-$X$ sejauh $1$ satuan dan ke arah bawah sumbu-$Y$ sejauh $7$ satuan.
Penutup
Nah, gimana? Beberapa latihan soal fungsi kuadrat di atas semoga bisa bantu kalian makin paham konsepnya.Kalau udah paham ini, dijamin kalian bakal lebih siap menghadapi soal-soal ujian UTBK nanti.
Tapi, jangan berhenti di sini, ya!
Terus eksplor, coba soal lain, dan temukan cara belajar yang paling asik buat kalian.
Sampai ketemu di pembahasan - pembahasan UTBK bab berikutnya! 🚀😃
"Jika kamu mengenal musuh dan mengenal dirimu sendiri, kamu tidak perlu takut terhadap hasil dari seratus pertempuran." – Sun Tzu-The Art of War
