Trigonometri Asyik: Mengenal Sistem Koordinat Polar dengan Mudah
Misalnya, dalam navigasi kapal atau satelit, kita sering menggunakan sudut dan jarak, bukan sekadar titik di bidang datar.
Nah, inilah konsep di balik koordinat polar!
Dengan sistem ini, kamu bisa merepresentasikan posisi titik menggunakan jarak dari pusat dan sudut terhadap sumbu referensi.
Konsep ini sangat berguna dalam matematika, fisika, dan teknik.
Yuk, kita kenali lebih dalam!
Apa Itu Koordinat Polar?
Ketika belajar matematika, khususnya geometri dan trigonometri, kamu pasti sudah ngga asing bahkan sering dong menggunakan sistem koordinat Kartesius $(x, y)$.Tapi, ada cara lain yang lebih unik untuk merepresentasikan posisi titik di bidang, yaitu dengan koordinat polar.
- $r$ adalah jarak titik dari pusat (pusat koordinat $O(0,0)$).
- \( \theta \) adalah sudut yang dibuat dengan sumbu $x$ positif, diukur dalam derajat atau radian.
Merubah dari Koordinat Kartesius ke Koordinat Polar
Jika sebuah titik dalam koordinat Kartesius adalah $(x, y)$, maka kamu bisa mengubahnya ke koordinat polar menjadi bentuk $(r, \theta)$ dengan rumus :
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\[ \theta = \tan^{-1} \left( \dfrac{y}{x} \right)\ \]
Merubah dari Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius
Sebaliknya, jika kamu memiliki koordinat polar $(r, \theta)$, kamu bisa merubahnya kembali ke koordinat Kartesius dengan cara :
\[ x = r \cos \theta \]
\[ y = r \sin \theta \]
Mudah bukan?!? Tantangannya di sini tentu saja pengetahuan kamu tentang sudut - sudut istimewa trigonometri bakal sering di pakai.
Karena memang beberapa persoalan yang muncul dalam ujian berkaitan dengan $\theta$ yang bernilai sudut istimewa.
Contoh Soal dan Pembahasan Koordinat Polar
Biar makin paham dengan koordinat Polar, coba deh kamu lihat aplikasi rumus - rumus di atas dalam soal di bawah ini.
Soal No.1
Koordinat polar untuk titik $\left( -\sqrt{6},\sqrt{2} \right)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \left( 2\sqrt{2}, 60^{\circ} \right)\\ & (B). \left( \sqrt{8}, 150^{\circ} \right) \\ & (C). \left( \sqrt{8}, 300^{\circ} \right) \\ & (D). \left( \sqrt{8}, 330^{\circ} \right)\\ & (E). \left( 8, 240^{\circ} \right) \end{align} $
Koordinat polar untuk titik $\left( -\sqrt{6},\sqrt{2} \right)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \left( 2\sqrt{2}, 60^{\circ} \right)\\ & (B). \left( \sqrt{8}, 150^{\circ} \right) \\ & (C). \left( \sqrt{8}, 300^{\circ} \right) \\ & (D). \left( \sqrt{8}, 330^{\circ} \right)\\ & (E). \left( 8, 240^{\circ} \right) \end{align} $
$
\begin{align}
r &= \sqrt{\left( -\sqrt{6} \right)^{2}+ \left( \sqrt{2} \right)^{2}} \\
&= \sqrt{6 + 2} \\
&= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \\ \\
\theta &= \tan^{-1} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{-\sqrt{6}} \right)\ \\
&= \tan^{-1} \left( - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)\ \\
&= 120^{\circ} \ \text{atau} \ 300^{\circ}
\end{align}
$
Koordinar Polarnya adalah $(2\sqrt{2},120^{\circ})$ atau $(2\sqrt{2},300^{\circ})$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (C). \left( \sqrt{8}, 300^{\circ} \right)$.
Koordinar Polarnya adalah $(2\sqrt{2},120^{\circ})$ atau $(2\sqrt{2},300^{\circ})$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (C). \left( \sqrt{8}, 300^{\circ} \right)$.
Soal No.2
Jika koordinat polar $P(5, \alpha)$ dinyatakan dalam koordinat kartesius $C(a,b)$ maka nilai $a$ adalah...
$ \begin{align} & (A). 5 \cos \alpha \\ & (B). -5 \cos \alpha \\ & (C). 5 \sin \alpha \\ & (D). -5 \sin \alpha \\ & (E). 5 \tan \alpha \end{align} $
Jika koordinat polar $P(5, \alpha)$ dinyatakan dalam koordinat kartesius $C(a,b)$ maka nilai $a$ adalah...
$ \begin{align} & (A). 5 \cos \alpha \\ & (B). -5 \cos \alpha \\ & (C). 5 \sin \alpha \\ & (D). -5 \sin \alpha \\ & (E). 5 \tan \alpha \end{align} $
$
\begin{align}
x &= r \cos \alpha \\
a &= 5 \cos \alpha
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). 5 \cos \alpha$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). 5 \cos \alpha$.
Soal No.3
Koordinat kutub dari titik $(2,2)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \left( 1, 45^{\circ} \right)\\ & (B). \left( 2, 45^{\circ} \right) \\ & (C). \left( 2\sqrt{2}, 45^{\circ} \right) \\ & (D). \left( 2, 60^{\circ} \right)\\ & (E). \left( 2\sqrt{2}, 60^{\circ} \right) \end{align} $
Koordinat kutub dari titik $(2,2)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \left( 1, 45^{\circ} \right)\\ & (B). \left( 2, 45^{\circ} \right) \\ & (C). \left( 2\sqrt{2}, 45^{\circ} \right) \\ & (D). \left( 2, 60^{\circ} \right)\\ & (E). \left( 2\sqrt{2}, 60^{\circ} \right) \end{align} $
Koordinat kutub atau koordinat polarnya adalah :
$ \begin{align} r &= \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+ \left( 2 \right)^{2}} \\ r &= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \\ r &= 2\sqrt{2} \\ \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \dfrac{2}{2} \right)\ \\ \theta &= \tan^{-1} \left( 1 \right)\ \\ \theta &= 45^{\circ} \ \text{atau} \ 225^{\circ} \end{align} $
Koordinar Polarnya adalah $(2\sqrt{2},45^{\circ})$ atau $(2\sqrt{2},225^{\circ})$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (C). \left( 2\sqrt{2}, 45^{\circ} \right)$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{\left( 2 \right)^{2}+ \left( 2 \right)^{2}} \\ r &= \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \\ r &= 2\sqrt{2} \\ \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \dfrac{2}{2} \right)\ \\ \theta &= \tan^{-1} \left( 1 \right)\ \\ \theta &= 45^{\circ} \ \text{atau} \ 225^{\circ} \end{align} $
Koordinar Polarnya adalah $(2\sqrt{2},45^{\circ})$ atau $(2\sqrt{2},225^{\circ})$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (C). \left( 2\sqrt{2}, 45^{\circ} \right)$.
Soal No.4
Perhatikan gambar berikut!
Koordinat polar dari titik $A$ adalah...
$ \begin{align} & (A). (\sqrt{2},45^{\circ}) \\ & (B). (4,45^{\circ}) \\ & (C). (4,135^{\circ}) \\ & (D). (4\sqrt{2},45^{\circ}) \\ & (E). (4\sqrt{2},135^{\circ}) \end{align} $
Perhatikan gambar berikut!
$ \begin{align} & (A). (\sqrt{2},45^{\circ}) \\ & (B). (4,45^{\circ}) \\ & (C). (4,135^{\circ}) \\ & (D). (4\sqrt{2},45^{\circ}) \\ & (E). (4\sqrt{2},135^{\circ}) \end{align} $
$
\begin{align}
r &= \sqrt{\left( -4 \right)^{2}+ \left( 4 \right)^{2}} \\
r &= \sqrt{16+16} = \sqrt{32} \\
r &= 4\sqrt{2} \\ \\
\end{align}
$
Hati - hati dalam menentukan sudutnya, karena sudut yang dipakai adalah pelurus dari $ 45^{\circ}$, yaitu $ 135^{\circ}$
Sehingga koordinat polarnya adalah $(4\sqrt{2},135^{\circ})$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (E). (4\sqrt{2},135^{\circ})$.
Hati - hati dalam menentukan sudutnya, karena sudut yang dipakai adalah pelurus dari $ 45^{\circ}$, yaitu $ 135^{\circ}$
Sehingga koordinat polarnya adalah $(4\sqrt{2},135^{\circ})$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (E). (4\sqrt{2},135^{\circ})$.
Soal No.5
Sebuah titik mempunyai koordinat polar $(4,150^{\circ})$, maka koordinat kartesius dari titik tersebut adalah...
$ \begin{align} & (A). (2 \sqrt{3},2) \\ & (B). (-2 \sqrt{3},2) \\ & (C). (4 \sqrt{3},4) \\ & (D). (-4 \sqrt{3},4) \\ & (E). (4 \sqrt{3},2) \end{align} $
Sebuah titik mempunyai koordinat polar $(4,150^{\circ})$, maka koordinat kartesius dari titik tersebut adalah...
$ \begin{align} & (A). (2 \sqrt{3},2) \\ & (B). (-2 \sqrt{3},2) \\ & (C). (4 \sqrt{3},4) \\ & (D). (-4 \sqrt{3},4) \\ & (E). (4 \sqrt{3},2) \end{align} $
Diketahui pada soal $r=4$ dan $\theta=150^{\circ}$, sehingga koordinat kartesiusnya adalah
$ \begin{align} x &= r \cos \alpha \\ x &= 4 \cos 150^{\circ} \\ x &= 4 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \\ x &= -2 \sqrt{3} \\ \\ y &= r \sin \alpha \\ y &= 4 \sin 150^{\circ} \\ y &= 4 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ y &= 2 \\ \end{align} $
Jadi koordinat kartesiusnya adalah $(-2 \sqrt{3},2)$.
Sehingga pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B). (-2 \sqrt{3},2)$
$ \begin{align} x &= r \cos \alpha \\ x &= 4 \cos 150^{\circ} \\ x &= 4 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \\ x &= -2 \sqrt{3} \\ \\ y &= r \sin \alpha \\ y &= 4 \sin 150^{\circ} \\ y &= 4 \cdot \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ y &= 2 \\ \end{align} $
Jadi koordinat kartesiusnya adalah $(-2 \sqrt{3},2)$.
Sehingga pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B). (-2 \sqrt{3},2)$
Penutup
Koordinat polar menawarkan cara yang lebih intuitif dalam memahami posisi suatu titik selain menggunakan kartesius.Dengan memahami konversi dan aplikasinya, kita bisa lebih mudah menguasai trigonometri dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.
Jadi, siap belajar koordinat polar dengan lebih asyik? 🚀
"Posisimu saat ini bukan tujuan akhirnya. Teruslah melangkah." – Zig Ziglar
