Dari Sinus ke Cosinus : Memahami Persamaan Trigonometri dengan Santai!
Teman-teman kelas 12 SMA!
Siapa di sini yang suka ngeluh kalau pelajaran matematika sudah masuk bab trigonometri?
Jangan buru-buru takut dulu, karena ternyata bab Persamaan Trigonometri bisa dipahami dengan cara yang asyik, kok!
Yuk, kita mulai perjalanan dari sinus ke cosinus dan selesaikan soal-soal trigonometri tanpa pusing.
Apa Itu Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah persamaan matematika yang melibatkan fungsi trigonometri seperti sinus (\(\sin\)), cosinus (\(\cos\)), tangen (\(\tan\)), dan sebagainya.Biasanya, tugas kita adalah mencari nilai sudut atau variabel yang membuat persamaan tersebut benar.
Contoh sederhana persamaan trigonometri: \[ \sin (2x) = \dfrac{1}{2} \] Tujuan kita adalah mencari nilai \(x\) yang memenuhi persamaan ini.
Tapi sebelum masuk ke cara penyelesaian, yuk, kita segarkan lagi ingatan tentang konsep dasar trigonometri.
Fungsi Dasar Trigonometri
1. Sinus (\(\sin\))
Fungsi sinus mengukur perbandingan antara panjang sisi depan sudut dan panjang sisi miring dalam segitiga siku-siku.2. Cosinus (\(\cos\))
Fungsi cosinus adalah perbandingan antara panjang sisi samping sudut dan panjang sisi miring.3. Tangen (\(\tan\))
Fungsi tangen adalah perbandingan antara panjang sisi depan sudut dan panjang sisi samping. Ingat rumus dasar ini ya: \[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \] Dan tentu saja, jangan lupa identitas trigonometri yang sering muncul: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Identitas ini adalah kunci buat menyelesaikan banyak soal trigonometri.Rumus - Rumus Dasar Persamaan Trigonometri
Ada tiga rumus dasar persamaan trigonometri yang wajib kamu tahu biar mudah kedepannya untuk menyelesaikan soal - soalnya.Untuk $k$ bilangan bulat maka kita dapatkan :
1. Persamaan Sinus
$
\begin{align}
\sin x &= \sin \theta \\
x &= \theta + k \cdot 360^{\circ} \\
x &= \left( 180^{\circ}-\theta \right) + k \cdot 360^{\circ}
\end{align}
$
2. Persamaan Cosinus
$
\begin{align}
\cos x &= \cos \theta \\
x &= \theta + k \cdot 360^{\circ} \\
x &= -\theta + k \cdot 360^{\circ}
\end{align}
$
3. Persamaan Tangen
$
\begin{align}
\tan x &= \tan \theta \\
x &= \theta + k \cdot 180^{\circ} \\
x &= -\theta + k \cdot 180^{\circ}
\end{align}
$
Cara Mudah Memahami Persamaan Trigonometri
Ketika menghadapi persamaan trigonometri, kita bisa menggunakan langkah-langkah berikut:1. Kenali Fungsi Trigonometri yang Ada
Pastikan kamu tahu fungsi mana yang muncul di persamaan.
Apakah itu \(\sin x\), \(\cos x\), atau \(\tan x\)?
2. Gunakan Identitas Trigonometri
Kalau ada lebih dari satu fungsi, coba sederhanakan dengan identitas trigonometri.
Misalnya, ubah \(\tan x\) menjadi \(\dfrac{\sin x}{\cos x}\) atau gunakan \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
3. Temukan Nilai Sudut yang Memenuhi
Setelah persamaan disederhanakan, cari nilai sudut yang sesuai di kuadran yang benar.
4. Perhatikan Rentang Sudut
Jangan lupa, soal biasanya memberi batasan rentang sudut, misalnya \(0^\circ \leq x \leq 360^\circ\).
Contoh Soal dan Pembahasan
Biar kamu ngga gagal paham, coba deh pelajari beberapa soal di bawah ini.
Contoh Soal 1
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $\sin (2x) = \dfrac{1}{2}$ untuk $0^\circ \le x \le 360^\circ$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ \{ 30^{\circ},60^{\circ} , 150^{\circ},240^{\circ} \} \\ & (B). \ \{ 30^{\circ},60^{\circ} , 195^{\circ},255^{\circ} \} \\ & (C). \ \{ 15^{\circ},75^{\circ} , 150^{\circ},240^{\circ} \} \\ & (D). \ \{ 15^{\circ},45^{\circ} , 225^{\circ},240^{\circ} \} \\ & (E). \ \{ 15^{\circ},75^{\circ} , 195^{\circ},255^{\circ} \} \\ \end{align} $
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $\sin (2x) = \dfrac{1}{2}$ untuk $0^\circ \le x \le 360^\circ$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ \{ 30^{\circ},60^{\circ} , 150^{\circ},240^{\circ} \} \\ & (B). \ \{ 30^{\circ},60^{\circ} , 195^{\circ},255^{\circ} \} \\ & (C). \ \{ 15^{\circ},75^{\circ} , 150^{\circ},240^{\circ} \} \\ & (D). \ \{ 15^{\circ},45^{\circ} , 225^{\circ},240^{\circ} \} \\ & (E). \ \{ 15^{\circ},75^{\circ} , 195^{\circ},255^{\circ} \} \\ \end{align} $
$
\begin{align}
\sin 2x &= \dfrac{1}{2} \\
\sin 2x &= \sin 30^{\circ} \\ \\
2x &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\
x &= 15^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \\
k =0 \to x &=15^{\circ} + 0 \cdot 180^{\circ} \\
x &= 15^{\circ} \\ \\
k =1 \to x &=15^{\circ} + 1 \cdot 180^{\circ} \\
x &= 195^{\circ}
\end{align}
$
Kita peroleh penyelesaian yang pertama $\{ 15^{\circ},195^{\circ} \}$.
Lanjut kita cari penyelesaian keduanya,
$ \begin{align} 2x &= \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right) + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= 150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &= 75^{\circ} + 0 \cdot 180^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} \\ \\ k =1 \to x &= 75^{\circ} + 1 \cdot 180^{\circ} \\ x &= 255^{\circ} \end{align} $
Nah dapat penyelesaian keduanya $\{ 75^{\circ},225^{\circ} \}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $\sin (2x) = \dfrac{1}{2}$ adalah: \[ (E). \ \{ 15^{\circ},75^{\circ} , 195^{\circ},255^{\circ} \} \]
Kita peroleh penyelesaian yang pertama $\{ 15^{\circ},195^{\circ} \}$.
Lanjut kita cari penyelesaian keduanya,
$ \begin{align} 2x &= \left( 180^{\circ}-30^{\circ} \right) + k \cdot 360^{\circ} \\ 2x &= 150^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &= 75^{\circ} + 0 \cdot 180^{\circ} \\ x &= 75^{\circ} \\ \\ k =1 \to x &= 75^{\circ} + 1 \cdot 180^{\circ} \\ x &= 255^{\circ} \end{align} $
Nah dapat penyelesaian keduanya $\{ 75^{\circ},225^{\circ} \}$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $\sin (2x) = \dfrac{1}{2}$ adalah: \[ (E). \ \{ 15^{\circ},75^{\circ} , 195^{\circ},255^{\circ} \} \]
Contoh Soal 2
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $2\cos (3x) - \sqrt{3}=0$ untuk $0^\circ \le x \le 180^\circ$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ \{ 10^{\circ},60^{\circ} , 120^{\circ} \} \\ & (B). \ \{ 10^{\circ},60^{\circ} , 130^{\circ} \} \\ & (C). \ \{ 10^{\circ},110^{\circ} , 130^{\circ} \} \\ & (D). \ \{ 30^{\circ},120^{\circ} , 180^{\circ} \} \\ & (E). \ \{ 30^{\circ},150^{\circ} , 180^{\circ} \} \\ \end{align} $
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $2\cos (3x) - \sqrt{3}=0$ untuk $0^\circ \le x \le 180^\circ$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ \{ 10^{\circ},60^{\circ} , 120^{\circ} \} \\ & (B). \ \{ 10^{\circ},60^{\circ} , 130^{\circ} \} \\ & (C). \ \{ 10^{\circ},110^{\circ} , 130^{\circ} \} \\ & (D). \ \{ 30^{\circ},120^{\circ} , 180^{\circ} \} \\ & (E). \ \{ 30^{\circ},150^{\circ} , 180^{\circ} \} \\ \end{align} $
$
\begin{align}
2 \cos 3x - \sqrt{3} &= 0 \\
2 \cos 3x &= \sqrt{3} \\
\cos 3x &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3}
\end{align}
$
Sehingga,
$ \begin{align} \cos 3x &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \cos 3x &= \cos 30^{\circ} \\ \\ 3x &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=10^{\circ} + 0 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} \\ \\ k =1 \to x &=10^{\circ} + 1 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 130^{\circ} \\ \\ k =2 \to x &=10^{\circ} + 2 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 250^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \end{align} $
Solusi pertama : $\{ 10^{\circ},130^{\circ} \}$
Lanjut solusi kedua,
$ \begin{align} 3x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=-10^{\circ} + 0 \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \\ \\ k =1 \to x &=-10^{\circ} + 1 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 110^{\circ} \\ \\ k =2 \to x &=-10^{\circ} + 2 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 230^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) x &= -10^{\circ},110^{\circ},230^{\circ} \end{align} $
Dapat solusi keduanya : $\{ 110^{\circ} \}$.
Jadi,himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di atas adalah \[ (C). \ \{ 10^{\circ},110^{\circ} , 130^{\circ} \} \]
Sehingga,
$ \begin{align} \cos 3x &= \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \cos 3x &= \cos 30^{\circ} \\ \\ 3x &= 30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=10^{\circ} + 0 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 10^{\circ} \\ \\ k =1 \to x &=10^{\circ} + 1 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 130^{\circ} \\ \\ k =2 \to x &=10^{\circ} + 2 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 250^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \end{align} $
Solusi pertama : $\{ 10^{\circ},130^{\circ} \}$
Lanjut solusi kedua,
$ \begin{align} 3x &= -30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=-10^{\circ} + 0 \cdot 120^{\circ} \\ x &= -10^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \\ \\ k =1 \to x &=-10^{\circ} + 1 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 110^{\circ} \\ \\ k =2 \to x &=-10^{\circ} + 2 \cdot 120^{\circ} \\ x &= 230^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) x &= -10^{\circ},110^{\circ},230^{\circ} \end{align} $
Dapat solusi keduanya : $\{ 110^{\circ} \}$.
Jadi,himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di atas adalah \[ (C). \ \{ 10^{\circ},110^{\circ} , 130^{\circ} \} \]
Contoh Soal 3
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $\tan \left( \dfrac{1}{2}x \right) - 1=0$ untuk $0^\circ \lt x \lt 360^\circ$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ \{ 45^{\circ},135^{\circ} \} \\ & (B). \ \{ 45^{\circ},225^{\circ} \} \\ & (C). \ \{ 45^{\circ},300^{\circ} \} \\ & (D). \ \{ 90^{\circ},270^{\circ} \} \\ & (E). \ \{ 90^{\circ},300^{\circ} \} \\ \end{align} $
Himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $\tan \left( \dfrac{1}{2}x \right) - 1=0$ untuk $0^\circ \lt x \lt 360^\circ$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ \{ 45^{\circ},135^{\circ} \} \\ & (B). \ \{ 45^{\circ},225^{\circ} \} \\ & (C). \ \{ 45^{\circ},300^{\circ} \} \\ & (D). \ \{ 90^{\circ},270^{\circ} \} \\ & (E). \ \{ 90^{\circ},300^{\circ} \} \\ \end{align} $
$
\begin{align}
\tan \left( \dfrac{1}{2}x \right) - 1 &=0 \\
\tan \left( \dfrac{1}{2}x \right) &= 1 \\
\tan \left( \dfrac{1}{2}x \right) &= \tan 45^{\circ}
\end{align}
$
Sehingga,
$ \begin{align} \dfrac{1}{2}x &= 45^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x &= 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=90^{\circ} + 0 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 90^{\circ} \\ \\ k =1 \to x &=90^{\circ} + 1 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 450^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \\ \\ k =2 \to x &=90^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 810^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \end{align} $
Solusi pertama : $\{ 90^{\circ} \}$.
Lanjut cari solusi keduanya,
$ \begin{align} \dfrac{1}{2}x &= -45^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=-90^{\circ} + 0 \cdot 360^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \\ \\ k =1 \to x &=-90^{\circ} + 1 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 270^{\circ} \\ \\ k =2 \to x &=-90^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 630^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \end{align} $
Solusi kedua : $\{ 270^{\circ} \}$.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di atas adalah \[ (D). \ \{ 90^{\circ},270^{\circ} \} \]
Sehingga,
$ \begin{align} \dfrac{1}{2}x &= 45^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x &= 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=90^{\circ} + 0 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 90^{\circ} \\ \\ k =1 \to x &=90^{\circ} + 1 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 450^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \\ \\ k =2 \to x &=90^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 810^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \end{align} $
Solusi pertama : $\{ 90^{\circ} \}$.
Lanjut cari solusi keduanya,
$ \begin{align} \dfrac{1}{2}x &= -45^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ \\ k =0 \to x &=-90^{\circ} + 0 \cdot 360^{\circ} \\ x &= -90^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \\ \\ k =1 \to x &=-90^{\circ} + 1 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 270^{\circ} \\ \\ k =2 \to x &=-90^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ} \\ x &= 630^{\circ} \ (\text{tidak memenuhi}) \end{align} $
Solusi kedua : $\{ 270^{\circ} \}$.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri di atas adalah \[ (D). \ \{ 90^{\circ},270^{\circ} \} \]
Tips Menaklukkan Soal Persamaan Trigonometri
1. Hafalkan Nilai-Nilai Trigonometri Dasar
Nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut-sudut istimewa seperti \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\), dan \(90^\circ\) itu wajib dihafal.2. Perhatikan Tanda di Setiap Kuadran
- Kuadran I: Semua positif.
- Kuadran II: Sinus positif.
- Kuadran III: Tangen positif.
- Kuadran IV: Cosinus positif.
3. Gunakan Identitas Trigonometri dengan Bijak
Kalau ada lebih dari satu fungsi trigonometri dalam soal, coba sederhanakan dengan identitas.4. Latihan Soal
Jangan cuma baca konsep, langsung coba latihan soal biar makin paham. Semakin sering latihan, semakin jago kamu menyelesaikan soal.Penutup
Persamaan trigonometri itu sebenarnya nggak sesulit yang dibayangkan, kok.Dengan memahami konsep dasar, menghafal sudut-sudut istimewa, dan rajin berlatih, kamu bisa menyelesaikan soal-soal trigonometri dengan mudah.
Jadi, jangan takut sama bab ini, ya!
Semoga artikel ini membantu kamu untuk lebih paham dan percaya diri dalam belajar persamaan trigonometri.
Selamat belajar, dan semoga sukses menghadapi ujian nanti!
"Belajar adalah harta karun yang akan mengikuti pemiliknya kemanapun." – Pepatah Cina
