Kupas Tuntas Prinsip Teleskopik Deret Materi Olimpiade SMA

Ini adalah pembahasan prinsip - prinsip teleskopik yang sering muncul pada soal - soal olimpiade SMA.

Prinsip teleskopik dalam konteks olimpiade matematika SMA sering digunakan untuk menyederhanakan suatu bentuk deret.

Kenapa diberi nama teleskopik?

Karena bentuk deretnya menyerupai bentuk teleskop, besar dibagian atas (ujung kanan) terus semakin ke bawah semakin mengecil (ujung kiri).

Secara matematis sebenarnya deret teleskopik adalah deret yang suku - sukunya dapat saling menghilangkan atau saling mengeliminasi sehingga hasilnya hanya ditentukan oleh suku pertama dan suku terakhirnya.

Memang kali ini tidak kita bahas semua, karena ada banyak sekali bentuk - bentuk deret yang bisa kita ubah menjadi deret teleskopik.

Tentu saja kalian bisa gali lebih jauh untuk bentuk deret - deret yang lain menggunakan apa yang akan kita bahas kali ini.

Nah kali ini kita akan bahas dua bentuk yang sering muncul pada soal - soal olimpiade matematika tingkat SMA.

Prinsip Teleskopik

Ada dua bentuk umum deret teleskopik yang sering muncul, yaitu bentuk penjumlahan dan perkalian :

1. Bentuk Penjumlahan

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left(P_{i+1} - P_i \right)$
$= (P_2 - P_1 )$ $+$ $(P_3 - P_2)$ $+$ $(P_4 - P_3)$ $+$ $\cdots$ $+$ $(P_n - P_{n-1})$ $+$ $(P_{n+1} - P_n)$
$= P_{n+1} - P_1$

2. Bentuk Perkalian

$\displaystyle \prod_{i=1}^{n} \dfrac{P_{i+1}}{P_i}$
$= \dfrac{P_2}{P_1}$$\cdot$$\dfrac{P_3}{P_2}$$\cdot$$\dfrac{P_4}{P_3}$$\cdots$$\dfrac{P_n}{P_{n-1}}$$\cdot$$\dfrac{P_{n+1}}{P_n}$
$=\dfrac{P_{n+1}}{P_1}$

Contoh Soal dan Pembahasan Prinsip Teleskopik Deret

Beberapa contoh soal di bawah ini bisa kalian gunakan sebagai bahan belajar dan latihan mandiri untuk memahami lebih jauh tentang bagaimana menyelesaikan permasalahan sebuah deret menggunakan prinsip - prinsip teleskopik.

Contoh Soal 1
Hasil dari $\dfrac{1}{1.2}$$+\dfrac{1}{2.3}$$+\dfrac{1}{3.4}$$+\dfrac{1}{4.5}$$+\cdots$$+\dfrac{1}{2022.2023}$ adalah ...

$\clubsuit$ Konsep Dasar :
$\dfrac{1}{k.(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$

Sehingga kita akan dapatkan,
$ \begin{align} & \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{2022.2023} \\ & = \left( \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right)+\left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} \right)+ ... +\left( \dfrac{1}{2021} - \dfrac{1}{2022} \right)+\left( \dfrac{1}{2022} - \dfrac{1}{2023} \right) \\ & = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2023} \\ & = \dfrac{2022}{2023} \end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $\dfrac{2022}{2023} $.

Contoh Soal 2
Hasil sederhana dari $\left( 1- \dfrac{1}{4}\right) \left( 1- \dfrac{1}{5}\right)\left( 1- \dfrac{1}{6}\right)$$...\left( 1- \dfrac{1}{2022}\right)$ adalah ...

$\clubsuit$ Konsep Dasar :
$1 - \dfrac{1}{k} = \dfrac{k-1}{k}$

Oke, kita kerjakan soalnya,
$ \begin{align} & \left( 1- \dfrac{1}{4}\right) \left( 1- \dfrac{1}{5}\right)\left( 1- \dfrac{1}{6}\right)...\left( 1- \dfrac{1}{2022}\right) \\ & = \left( \dfrac{4-1}{4}\right) \left( \dfrac{5-1}{5}\right)\left( \dfrac{6-1}{6}\right)...\left( \dfrac{2021-1}{2021}\right)\left( \dfrac{2022-1}{2022}\right) \\ & = \left( \dfrac{3}{4}\right) \left( \dfrac{4}{5}\right)\left( \dfrac{5}{6}\right)...\left( \dfrac{2020}{2021}\right)\left( \dfrac{2021}{2022}\right) \\ & = \dfrac{3}{2022} \\ & = \dfrac{1}{674} \end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $\dfrac{1}{674}$.

Contoh Soal 3
Hasil sederhana dari $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} $$+ ...+\dfrac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}}$ adalah ...

$\clubsuit$ Konsep Dasar :
$\dfrac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{1}{1+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ...+\dfrac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2025}} \\ & = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) +(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + ... \\ & \, \, \, \, \, \, \, \, ...+ (\sqrt{2024} - \sqrt{2023}) + (\sqrt{2025} - \sqrt{2024}) \\ & = - \sqrt{1} + \sqrt{2025} \\ & = -1 + 45 \\ & = 44 \end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $44$.

Contoh Soal 4
Hasil sederhana dari $1\cdot1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! + 4\cdot4! $$+ ... + 2022\cdot2022!$ adalah ...

$\clubsuit$ Konsep Dasar :
$k \cdot k! = (k+1)! - k!$

Sehingga,
$ \begin{align} & 1\cdot1! + 2\cdot2! + 3\cdot3! + 4\cdot4! + ... + 2022\cdot2022! \\ & = (2!-1!) + (3!-2!) + (4!-3!) + ...+ (2022!-2021!) + (2023!-2022!) \\ & = -1! + 2023! \\ & = 2023! - 1 \end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $2023! - 1$.

Contoh Soal 5
Hasil sederhana dari $\dfrac{1}{1 \times 3}+\dfrac{1}{3 \times 5}+\dfrac{1}{5 \times 7}$$+\cdots+\dfrac{1}{17 \times 19}$ adalah ...

$\clubsuit$ Konsep Dasar :
$\dfrac{1}{k(k+m)} = \dfrac{1}{m} \left( \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+m} \right)$

Dengan demikian,
$ \begin{align} & \dfrac{1}{1 \times 3}+\dfrac{1}{3 \times 5}+\dfrac{1}{5 \times 7}+\cdots+\dfrac{1}{17 \times 19} \\ & = \dfrac{1}{1(1+2)}+\dfrac{1}{3(3+2)}+\dfrac{1}{5(5+2)}+\cdots+\dfrac{1}{17(17+2)} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \right)+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7} \right)+\cdots+\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{17}-\dfrac{1}{19} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}+\cdots+\dfrac{1}{17}-\dfrac{1}{19}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 1-\dfrac{1}{19} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{18}{19} \\ & = \dfrac{9}{19} \end{align} $

Jadi, hasilnya adalah $\dfrac{9}{19}$.

---

Penutup

Nah sahabat kreatif, itulah pembahasan tentang prinsip - prinsip teleskopik untuk menyelesaikan sebuah deret yang sering muncul pada olimpiade matematika SMA.

Semoga dapat membantu kalian dalam belajar mempersiapkan diri mengikuti ajang olimpiade matematika yang akan datang.

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat. 

Selamat Belajar !

"Perjuangan tidak hanya membuat kita menjadi orang yang lebih kuat, lebih baik, dan lebih bijaksana, tetapi juga membuat kita belajar lebih banyak tentang diri kita sendiri dan tujuan hidup kita." – Auliq Ice