Auto Mudah Menyelesaikan SPLDV Pakai Metode Cramer
Auto jadi mudah adn cepat menyelesaikan SPLDV menggunakan metode cramer, ngga pusing eliminasi lagi.
Metode Eliminasi - Substitusi untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel alias SPLDV memang sangat lumrah dan lazim digunakan.
Namun tahukah kalian ada metode lain selain metode eliminasi - substitusi yang powerfull buat mencari solusi dari SPLDV lho... Namanya adalah Metode Cramer, dan kali ini kita akan bahas tuntas bagaimana metode cramer ini.
Beliau adalah Gabriel Cramer (1704-1752) yang lahir di Kota Jenewa, salah satu kota terpadat kedua di Swiss.
Semasa hidupnya ia telah banyak mengeluarkan gagasan - gagasan yang revolusioner dalam sejarah perkembangan ilmu matematika.
Salah satu karya terbaiknya yang bertajuk "Introduction a l'analyse des lignes courbes algébriques" (1750) merupakan salah satu karyanya yang terkenal, berisikan tentang penjabaran klasifikasi kurva - kurva aljabar dimana aturan Cramer membantu memperjelas aljabar matematika.
Gagasannya merupakan demonstrasi paling awal bahwa kurva derajat ke-$n$ ditentukan oleh $\dfrac{n(n + 3)}{2}$ poin di atasnya, dalam posisi umum.
Determinan matriks adalah sebuah nilai skalar dari selisih perkalian silang elemen - elemen diagonal utama matriks dengan elemen - elemen diagonal lainnya (matriks ordo 2 x 2).
Jika kita mempunyai sebuah matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $A$ kita tulis sebagai $det \ (A)$$=\left| A \right|$$=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$=ad-bc$.
Misal nih kita punya $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ maka nilai dari determinan matriks $A$ tersebut adalah
$ \begin{align} det \ (A) &= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} \\ &= (2 \times 4) - (-1 \times 5) \\ &= 8+5 \\ &= 13 \end{align} $
Lalu bagaimana kaitannya dalam menyelesaikan soal SPLDV?
Jika kita punya sebuah SPLDV dengan :
$ \begin{align} ax+by &= c \\ px+qy &= r \end{align} $
maka nilai $x$ dan $y$ dapat kita dapatkan dengan mudah dengan cara :
$ \begin{align} x = \dfrac{\begin{vmatrix} c & b \\ r & q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ p & q \end{vmatrix}} = \dfrac{(c \times q) - (b \times r)}{(a \times q) - (b \times p)} \end{align} $
$ \begin{align} y = \dfrac{\begin{vmatrix} a & c \\ p & r \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ p & q \end{vmatrix}} = \dfrac{(a \times r) - (c \times p)}{(a \times q) - (b \times p)} \end{align} $
Contoh Soal :
Diketahui sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) sebagai berikut :
$ \begin{align} 2x-4y &= 10 \\ x+6y &= 4 \end{align} $
Nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah ...
Penyelesaian :
$ \begin{align} x &= \dfrac{\begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}} \\ \\ &= \dfrac{(10 \times 6) - (-4 \times 4)}{(2 \times 6) - (-4 \times 1)} \\ &= \dfrac{76}{16} = \dfrac{19}{4} \end{align} $
Sedangkan nilai $y$ nya adalah
$ \begin{align} y &= \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 10 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}} \\ \\ &= \dfrac{(2 \times 4) - (10 \times 1)}{(2 \times 6) - (-4 \times 1)} \\ &= \dfrac{-2}{16} = -\dfrac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil SPLDVnya adalah nilai $x=\dfrac{19}{4}$ dan $y=-\dfrac{1}{4}$.
Keunggulan dari metode ini adalah kita tidak perlu repot lagi untuk mengalikan koefisien $x$ dan $y$ seperti dalam proses eliminasi-subtitusi yang justru rawan ketidaktelitian yang berpotensi mendapatkan jawaban yang salah.
Bahkan pada akhirnya jika kita sering berlatih (sudah terampil) menggunakan metode Cramer ini kita bisa dengan mudah menghitung SPLDV tanpa harus menuliskannya step by step hanya tinggal lihat soal dengan cepat kita akan dapat jawabannya.
Contoh penggunaan CARA CEPAT nya adalah :
$ \begin{align} 3x-y &= 5 \\ 4x+5y &= 13 \end{align} $
Maka kita akan dapatkan,
$ \begin{align} x &= \dfrac{(5 \times 5) - (-1 \times 13)}{(3 \times 5) - (-1 \times 4)} \\ &= 2 \end{align} $
$ \begin{align} y &= \dfrac{(3 \times 13) - (5 \times 4)}{(3 \times 5) - (-1 \times 4)} \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $x=2$ dan $y=1$.
Ternyata menyelesaikan SPLDV itu sebenarnya mudah bukan, jadi jangan dibikin susah ya. Beneran mudah kok.
Perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
Namun tahukah kalian ada metode lain selain metode eliminasi - substitusi yang powerfull buat mencari solusi dari SPLDV lho... Namanya adalah Metode Cramer, dan kali ini kita akan bahas tuntas bagaimana metode cramer ini.
A. Sejarah Penemu Metode Cramer
Sesuai dengan namanya, metode ini diberi nama Cramer sesuai dengan nama dari matematikawan penemunya.
Semasa hidupnya ia telah banyak mengeluarkan gagasan - gagasan yang revolusioner dalam sejarah perkembangan ilmu matematika.
Salah satu karya terbaiknya yang bertajuk "Introduction a l'analyse des lignes courbes algébriques" (1750) merupakan salah satu karyanya yang terkenal, berisikan tentang penjabaran klasifikasi kurva - kurva aljabar dimana aturan Cramer membantu memperjelas aljabar matematika.
Gagasannya merupakan demonstrasi paling awal bahwa kurva derajat ke-$n$ ditentukan oleh $\dfrac{n(n + 3)}{2}$ poin di atasnya, dalam posisi umum.
B. Metode Cramer Menyelesaikan SPLDV
Untuk menyelesaikan SPLDV menggunakan metode Cramer ini kita akan bersinggungan dengan konsep matriks, lebih tepatnya determinan matriks.Determinan matriks adalah sebuah nilai skalar dari selisih perkalian silang elemen - elemen diagonal utama matriks dengan elemen - elemen diagonal lainnya (matriks ordo 2 x 2).
Jika kita mempunyai sebuah matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka determinan matriks $A$ kita tulis sebagai $det \ (A)$$=\left| A \right|$$=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$=ad-bc$.
Misal nih kita punya $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ maka nilai dari determinan matriks $A$ tersebut adalah
$ \begin{align} det \ (A) &= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} \\ &= (2 \times 4) - (-1 \times 5) \\ &= 8+5 \\ &= 13 \end{align} $
Lalu bagaimana kaitannya dalam menyelesaikan soal SPLDV?
Jika kita punya sebuah SPLDV dengan :
$ \begin{align} ax+by &= c \\ px+qy &= r \end{align} $
maka nilai $x$ dan $y$ dapat kita dapatkan dengan mudah dengan cara :
$ \begin{align} x = \dfrac{\begin{vmatrix} c & b \\ r & q \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ p & q \end{vmatrix}} = \dfrac{(c \times q) - (b \times r)}{(a \times q) - (b \times p)} \end{align} $
$ \begin{align} y = \dfrac{\begin{vmatrix} a & c \\ p & r \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ p & q \end{vmatrix}} = \dfrac{(a \times r) - (c \times p)}{(a \times q) - (b \times p)} \end{align} $
Contoh Soal :
Diketahui sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) sebagai berikut :
$ \begin{align} 2x-4y &= 10 \\ x+6y &= 4 \end{align} $
Nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi adalah ...
Penyelesaian :
$ \begin{align} x &= \dfrac{\begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}} \\ \\ &= \dfrac{(10 \times 6) - (-4 \times 4)}{(2 \times 6) - (-4 \times 1)} \\ &= \dfrac{76}{16} = \dfrac{19}{4} \end{align} $
Sedangkan nilai $y$ nya adalah
$ \begin{align} y &= \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & 10 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}} \\ \\ &= \dfrac{(2 \times 4) - (10 \times 1)}{(2 \times 6) - (-4 \times 1)} \\ &= \dfrac{-2}{16} = -\dfrac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil SPLDVnya adalah nilai $x=\dfrac{19}{4}$ dan $y=-\dfrac{1}{4}$.
Keunggulan dari metode ini adalah kita tidak perlu repot lagi untuk mengalikan koefisien $x$ dan $y$ seperti dalam proses eliminasi-subtitusi yang justru rawan ketidaktelitian yang berpotensi mendapatkan jawaban yang salah.
Bahkan pada akhirnya jika kita sering berlatih (sudah terampil) menggunakan metode Cramer ini kita bisa dengan mudah menghitung SPLDV tanpa harus menuliskannya step by step hanya tinggal lihat soal dengan cepat kita akan dapat jawabannya.
Contoh penggunaan CARA CEPAT nya adalah :
$ \begin{align} 3x-y &= 5 \\ 4x+5y &= 13 \end{align} $
Maka kita akan dapatkan,
$ \begin{align} x &= \dfrac{(5 \times 5) - (-1 \times 13)}{(3 \times 5) - (-1 \times 4)} \\ &= 2 \end{align} $
$ \begin{align} y &= \dfrac{(3 \times 13) - (5 \times 4)}{(3 \times 5) - (-1 \times 4)} \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $x=2$ dan $y=1$.
C. Contoh Soal dan Pembahasan SPLDV Metode Cramer
Biar kalian makin paham lagi dengan apa yang kita bahas kali ini, yuk cobain beberapa contoh soal berikut sebelum lihat pembahasan yang sudah disediakan.
Contoh Soal 1
Himpunan penyelesaian dari SPLDV $2p+3q=8$ dan $3p+2q=7$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \{ (1,2) \} \\ & (B) \ \{ (2,1) \} \\ & (C) \ \{ (4,-1) \} \\ & (D) \ \{ (-4,1) \} \end{align} $
Himpunan penyelesaian dari SPLDV $2p+3q=8$ dan $3p+2q=7$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \{ (1,2) \} \\ & (B) \ \{ (2,1) \} \\ & (C) \ \{ (4,-1) \} \\ & (D) \ \{ (-4,1) \} \end{align} $
Diketahui dalam soal,
$ \begin{align} 2p+3q &= 8 \\ 3p+2q &= 7 \end{align} $
Maka kita akan dapatkan,
$ \begin{align} p &= \dfrac{(8 \times 2) - (3 \times 7)}{(2 \times 2) - (3 \times 3)} \\ &= 1 \end{align} $
$ \begin{align} q &= \dfrac{(2 \times 7) - (8 \times 3)}{(2 \times 2) - (3 \times 3)} \\ &= 2 \end{align} $
Sehingga kita dapatkan nilai $p=1$ dan $q=2$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A) \ \{ (1,2) \}$.
$ \begin{align} 2p+3q &= 8 \\ 3p+2q &= 7 \end{align} $
Maka kita akan dapatkan,
$ \begin{align} p &= \dfrac{(8 \times 2) - (3 \times 7)}{(2 \times 2) - (3 \times 3)} \\ &= 1 \end{align} $
$ \begin{align} q &= \dfrac{(2 \times 7) - (8 \times 3)}{(2 \times 2) - (3 \times 3)} \\ &= 2 \end{align} $
Sehingga kita dapatkan nilai $p=1$ dan $q=2$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A) \ \{ (1,2) \}$.
Contoh Soal 2
Himpunan penyelesaian dari SPLDV $A-3B=7$ dan $5A+B=19$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \{ (1,2) \} \\ & (B) \ \{ (2,1) \} \\ & (C) \ \{ (4,-1) \} \\ & (D) \ \{ (-4,1) \} \end{align} $
Himpunan penyelesaian dari SPLDV $A-3B=7$ dan $5A+B=19$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \{ (1,2) \} \\ & (B) \ \{ (2,1) \} \\ & (C) \ \{ (4,-1) \} \\ & (D) \ \{ (-4,1) \} \end{align} $
$
\begin{align}
A &= \dfrac{(7 \times 1) - (-3 \times 19)}{(1 \times 1) - (-3 \times 5)} \\
&= \dfrac{7+57}{1+15} \\
&= 4
\end{align}
$
Langkah berikutnya alternatif lain agar lebih cepat mendapatkan hasilya kita bisa langsung substitusi ke salah satu persamaan asal untuk mendapatkan nilai B.
$ \begin{align} A-3B &= 7 \\ 4-3B &= 7 \\ -3B &= 3 \\ B &= -1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ \{ (4,-1) \}$.
Langkah berikutnya alternatif lain agar lebih cepat mendapatkan hasilya kita bisa langsung substitusi ke salah satu persamaan asal untuk mendapatkan nilai B.
$ \begin{align} A-3B &= 7 \\ 4-3B &= 7 \\ -3B &= 3 \\ B &= -1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ \{ (4,-1) \}$.
Contoh Soal 3
Himpunan penyelesaian dari SPLDV :
(1) $6x-2y=10$
(2) $x+10y=12$
adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \{ (1,2) \} \\ & (B) \ \{ (2,1) \} \\ & (C) \ \{ (4,-1) \} \\ & (D) \ \{ (-4,1) \} \end{align} $
Himpunan penyelesaian dari SPLDV :
(1) $6x-2y=10$
(2) $x+10y=12$
adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \{ (1,2) \} \\ & (B) \ \{ (2,1) \} \\ & (C) \ \{ (4,-1) \} \\ & (D) \ \{ (-4,1) \} \end{align} $
$
\begin{align}
x &= \dfrac{(10 \times 10) - (-2 \times 12)}{(6 \times 10) - (-2 \times 1)} \\
&= \dfrac{100+24}{60+2} \\
&= 2
\end{align}
$
Seperti contoh soal sebelumnya kita bisa langsung substitusi ke salah satu persamaan asal agar mendapatkan hasil yang lebih cepat.
$ \begin{align} x+10y &= 12 \\ 2+10y &= 12 \\ 10y &= 10 \\ y &= 1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ \{ (2,1) \}$.
Seperti contoh soal sebelumnya kita bisa langsung substitusi ke salah satu persamaan asal agar mendapatkan hasil yang lebih cepat.
$ \begin{align} x+10y &= 12 \\ 2+10y &= 12 \\ 10y &= 10 \\ y &= 1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ \{ (2,1) \}$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, bagaimana?Ternyata menyelesaikan SPLDV itu sebenarnya mudah bukan, jadi jangan dibikin susah ya. Beneran mudah kok.
Perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
"Satu-satunya batasan untuk meraih mimpi adalah keragu-raguan kita akan hari ini. Marilah kita maju dengan keyakinan yang aktif dan kuat." – Franklin Roosevelt
