Materi Peluang Distribusi Binomial Lengkap Contoh Soal dan Pembahasan
Ini adalah pembahasan lengkap tentang materi peluang distribusi binomial lengkap dengan contoh soal dan pembahasan.
Bertemu lagi dengan materi bahasan peluang kita kali ini.
Kalian ngga salah membayangkan, dimana ada kata materi peluang dalam matematika pasti yang terpikirkan dalam otak adalah koin dan dadu.
Ngga salah juga sih, karena seringnya sejak SMP dulu pas kita bahas peluang pasti koin dan dadu selalu ngikut di dalamnya.
Tapi kali ini beda.
Peluang distribusi binomial akan punya penggunaan dalam konteks yang jauh lebih luas lagi.
Sesuai dengan asal katanya yaitu "binomial" terdapat kata "bi" yang mengisyaratkan arti "dua" dalam bahasa kita sehari - hari.
Kejadian binomial merujuk pada kejadian yang mempunyai dua hasil, seperti sukses-gagal, lulus-tidak lulus dan lain sebagainya.
Dimana dua kejadian tersebut akan mempunyai jumlah nilai peluang sama dengan 1.
Ingat kembali bahwa, jika $P(L)=$ peluang Lulus sementara $P(TL)=$ peluang Tidak Lulus maka
Oke lebih detail lagi yuk kita bahas lebih rinci lagi.
Jadi tidak semua kejadian bakal masuk dalam konteks kejadian binomial.
Ada beberapa syarat yang harus terpenuhi sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa kejadian tersebut adalah kejadian binomial.
$P(X=x)=\binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x}$
dimana, $q=1-p$.
Pembahasan :
Dari soal dapat kita ketahui peluang Andi lulus tes yaitu nilai $p=75$% $=\dfrac{3}{4}$.
Sehingga kita peroleh nilai peluang tidak lulus tes yaitu $q=1-75$% $=25$% $=\dfrac{1}{4}$.
Banyak tes ialah $n=5$ dengan $x=3$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=3) &= \binom{5}{3} \ \left( \dfrac{3}{4} \right)^{3} \ \left( \dfrac{1}{4} \right)^{5-3} \\ &= \binom{5}{3} \ \left( \dfrac{3}{4} \right)^{3} \ \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} \\ &= \dfrac{5!}{2!3!} \ \left( \dfrac{3^{3}}{4^{5}} \right) \\ &= 10 \ \left( \dfrac{27}{1024} \right) \\ &= \dfrac{270}{1024} = \dfrac{135}{512} \end{align} $
Jangan lupa untuk tetap sering latihan agar makin paham tentang konsep peluang binomial dan makin tambah bank soal kalian.
Kalian ngga salah membayangkan, dimana ada kata materi peluang dalam matematika pasti yang terpikirkan dalam otak adalah koin dan dadu.
Ngga salah juga sih, karena seringnya sejak SMP dulu pas kita bahas peluang pasti koin dan dadu selalu ngikut di dalamnya.
Tapi kali ini beda.
Peluang distribusi binomial akan punya penggunaan dalam konteks yang jauh lebih luas lagi.
Sesuai dengan asal katanya yaitu "binomial" terdapat kata "bi" yang mengisyaratkan arti "dua" dalam bahasa kita sehari - hari.
Kejadian binomial merujuk pada kejadian yang mempunyai dua hasil, seperti sukses-gagal, lulus-tidak lulus dan lain sebagainya.
Dimana dua kejadian tersebut akan mempunyai jumlah nilai peluang sama dengan 1.
Ingat kembali bahwa, jika $P(L)=$ peluang Lulus sementara $P(TL)=$ peluang Tidak Lulus maka
$P(L)+P(TL)=1$
Oke lebih detail lagi yuk kita bahas lebih rinci lagi.
Konsep Peluang Distribusi Binomial
Secara garis besar dalam ilmu Statistika yang disebut peluang distribusi binomial adalah distribusi peluang diskrit dalam $n$ kali percobaan yang saling bebas dimana hanya ada dua hasil percobaan sukses atau gagal.Jadi tidak semua kejadian bakal masuk dalam konteks kejadian binomial.
Ada beberapa syarat yang harus terpenuhi sehingga kita bisa menyimpulkan bahwa kejadian tersebut adalah kejadian binomial.
Syarat - Syarat Kejadian Binomial
Beberapa syarat dari kejadian binomial adalah :- Terdapat $n$ kali percobaan.
- Setiap percobaan hanya mempunyai dua kemungkinan hasil sukses atau gagal.
- Peluang pada masing - masing percobaan harus sama dan tidak berubah untuk $n$ kali percobaan.
- Percobaan bersifat saling bebas yang artinya percobaan satu tidak akan mempengaruhi percobaan yang lainnya.
Rumus Peluang Distribusi Binomial
Untuk mencari nilai dari peluang distribusi binomial $n$ kali percobaan dengan $x$ banyak kejadian sukses, $p$ besar peluang sukses dan $q$ besar peluang gagal adalah :$P(X=x)=\binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x}$
dimana, $q=1-p$.
Contoh Soal Peluang Distribusi Binomial
Dalam sebuah tes penerimaan karyawan baru peluang Andi untuk bisa lulus satu kali tes adalah $75$ %. Jika Andi mengikuti rangkaian $5$ kali tes maka peluang Andi dapat lulus tiga kali tes adalah...
Pembahasan :
Dari soal dapat kita ketahui peluang Andi lulus tes yaitu nilai $p=75$% $=\dfrac{3}{4}$.
Sehingga kita peroleh nilai peluang tidak lulus tes yaitu $q=1-75$% $=25$% $=\dfrac{1}{4}$.
Banyak tes ialah $n=5$ dengan $x=3$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=3) &= \binom{5}{3} \ \left( \dfrac{3}{4} \right)^{3} \ \left( \dfrac{1}{4} \right)^{5-3} \\ &= \binom{5}{3} \ \left( \dfrac{3}{4} \right)^{3} \ \left( \dfrac{1}{4} \right)^{2} \\ &= \dfrac{5!}{2!3!} \ \left( \dfrac{3^{3}}{4^{5}} \right) \\ &= 10 \ \left( \dfrac{27}{1024} \right) \\ &= \dfrac{270}{1024} = \dfrac{135}{512} \end{align} $
Kumpulan Soal dan Pembahasan Peluang Distribusi Binomial
Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan tentang peluang distribusi peluang binomial, semoga membantu kalian dalam memahami materi dan aplikasinya dalam contoh soal lebih dalam lagi.
Contoh 1
Sepasang suami istri yang sedang berstatus pengantin baru sedang merencanakan program hamil dikeluarga mereka. Keduanya sepakat bahwa kedepan mereka menginginkan $3$ orang anak dimana $2$ anak laki - laki dan $1$ anak perempuan. Besar peluang pasangan suami istri tersebut untuk mendapatkan yang mereka inginkan adalah...
$ \begin{align} (A) \ \frac{1}{3} \\ (B) \ \frac{1}{4} \\ (C) \ \frac{2}{3} \\ (D) \ \frac{1}{2} \\ (E) \ \frac{3}{8} \\ \end{align} $
Sepasang suami istri yang sedang berstatus pengantin baru sedang merencanakan program hamil dikeluarga mereka. Keduanya sepakat bahwa kedepan mereka menginginkan $3$ orang anak dimana $2$ anak laki - laki dan $1$ anak perempuan. Besar peluang pasangan suami istri tersebut untuk mendapatkan yang mereka inginkan adalah...
$ \begin{align} (A) \ \frac{1}{3} \\ (B) \ \frac{1}{4} \\ (C) \ \frac{2}{3} \\ (D) \ \frac{1}{2} \\ (E) \ \frac{3}{8} \\ \end{align} $
Peluang sepasang suami istri mendapatkan $1$ anak laki - laki atau $1$ anak perempuan adalah sama yaitu $\dfrac{1}{2}$.
Misal $x$ adalah banyak kejadian pasangan tersebut mendapat $1$ anak laki - laki, maka dari yang diketahui dalam soal bisa kita peroleh :
$n=3$ dan $x=2$.
$p=\dfrac{1}{2}$ sehingga $q=1-p=1-\dfrac{1}{2}$
Peluang pasangan terebut mendapat $2$ anak laki - laki dan $1$ anak perempuan adalah :
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3-2} \\ &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{1} \\ &= \dfrac{3!}{1!2!} \ \left( \dfrac{1}{4} \right) \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ &= 3 \ \left( \dfrac{1}{8} \right) \\ &= \dfrac{3}{8} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ \dfrac{3}{8}$.
Misal $x$ adalah banyak kejadian pasangan tersebut mendapat $1$ anak laki - laki, maka dari yang diketahui dalam soal bisa kita peroleh :
$n=3$ dan $x=2$.
$p=\dfrac{1}{2}$ sehingga $q=1-p=1-\dfrac{1}{2}$
Peluang pasangan terebut mendapat $2$ anak laki - laki dan $1$ anak perempuan adalah :
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{3-2} \\ &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{1} \\ &= \dfrac{3!}{1!2!} \ \left( \dfrac{1}{4} \right) \left( \dfrac{1}{2} \right) \\ &= 3 \ \left( \dfrac{1}{8} \right) \\ &= \dfrac{3}{8} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ \dfrac{3}{8}$.
Contoh 2
Pada akhir sebuah pertandingan bola kemenangan suatu tim ditentukan oleh adu pinalti yang akan dilakukan oleh lima pemain perwakilan masing - masing tim yang bertanding. Jika peluang tim A mendapatkan sebuah goal dari sebuah tendangan pinalti $\dfrac{2}{3}$, maka peluang tim A mendapatkan $4$ goal dari $5$ kali kesempatan tendangan yang diberikan adalah...
$ \begin{align} (A) \ \frac{16}{81} \\ (B) \ \frac{32}{81} \\ (C) \ \frac{64}{81} \\ (D) \ \frac{16}{243} \\ (E) \ \frac{32}{243} \\ \end{align} $
Pada akhir sebuah pertandingan bola kemenangan suatu tim ditentukan oleh adu pinalti yang akan dilakukan oleh lima pemain perwakilan masing - masing tim yang bertanding. Jika peluang tim A mendapatkan sebuah goal dari sebuah tendangan pinalti $\dfrac{2}{3}$, maka peluang tim A mendapatkan $4$ goal dari $5$ kali kesempatan tendangan yang diberikan adalah...
$ \begin{align} (A) \ \frac{16}{81} \\ (B) \ \frac{32}{81} \\ (C) \ \frac{64}{81} \\ (D) \ \frac{16}{243} \\ (E) \ \frac{32}{243} \\ \end{align} $
Diketahui dari soal $p=\dfrac{2}{3}$ sehingga nilai $q=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$.
$n=5$ dan banyak goal $x=4$. Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=4) &= \binom{5}{4} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{4} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5-4} \\ &= \binom{5}{4} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{4} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{1} \\ &= \dfrac{5!}{1!4!} \ \left( \dfrac{2^{4}}{3^{4}} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right) \\ &= 5 \ \left( \dfrac{16}{81} \right)\left( \dfrac{1}{3} \right) \\ &= \dfrac{16}{243} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ \dfrac{16}{243}$.
$n=5$ dan banyak goal $x=4$. Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=4) &= \binom{5}{4} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{4} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{5-4} \\ &= \binom{5}{4} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{4} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{1} \\ &= \dfrac{5!}{1!4!} \ \left( \dfrac{2^{4}}{3^{4}} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right) \\ &= 5 \ \left( \dfrac{16}{81} \right)\left( \dfrac{1}{3} \right) \\ &= \dfrac{16}{243} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ \dfrac{16}{243}$.
Contoh 3
Sebuah kantong berisi $3$ bola warna merah dan $5$ bola putih. Dari kantong tersebut diambil tiga bola berurutan dengan pengembalian. Jika variabel acak $x$ menyatakan banyak bola warna merah yang terambil maka besar peluang terambil $2$ bola warna merah dan $1$ bola warna putih adalah...
$ \begin{align} (A) \ \frac{64}{512} \\ (B) \ \frac{135}{512} \\ (C) \ \frac{32}{512} \\ (D) \ \frac{45}{512} \\ (E) \ \frac{256}{512} \\ \end{align} $
Sebuah kantong berisi $3$ bola warna merah dan $5$ bola putih. Dari kantong tersebut diambil tiga bola berurutan dengan pengembalian. Jika variabel acak $x$ menyatakan banyak bola warna merah yang terambil maka besar peluang terambil $2$ bola warna merah dan $1$ bola warna putih adalah...
$ \begin{align} (A) \ \frac{64}{512} \\ (B) \ \frac{135}{512} \\ (C) \ \frac{32}{512} \\ (D) \ \frac{45}{512} \\ (E) \ \frac{256}{512} \\ \end{align} $
Langkah pertama kita akan hitung dulu nilai $p$, dimana $p$ merupakan nilai peluang terambil $1$ bola berwarna merah pada kantong tersebut yaitu $\dfrac{3}{8}$.
Sehingga,
$ \begin{align} q &= 1-p \\ &= 1-\dfrac{3}{8} \\ &= \dfrac{5}{8} \end{align} $
$n=3$ dan $x=2$.
Dengan demikian maka :
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{3}{8} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{8} \right)^{3-2} \\ &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{3}{8} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{8} \right)^{1} \\ &= \dfrac{3!}{1!2!} \ \left( \dfrac{3^{2}}{8^{2}} \right) \left( \dfrac{5}{8} \right) \\ &= 3 \ \left( \dfrac{9}{64} \right)\left( \dfrac{5}{8} \right) \\ &= \dfrac{135}{512} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B) \ \dfrac{135}{512}$.
Sehingga,
$ \begin{align} q &= 1-p \\ &= 1-\dfrac{3}{8} \\ &= \dfrac{5}{8} \end{align} $
$n=3$ dan $x=2$.
Dengan demikian maka :
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{3}{8} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{8} \right)^{3-2} \\ &= \binom{3}{2} \ \left( \dfrac{3}{8} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{8} \right)^{1} \\ &= \dfrac{3!}{1!2!} \ \left( \dfrac{3^{2}}{8^{2}} \right) \left( \dfrac{5}{8} \right) \\ &= 3 \ \left( \dfrac{9}{64} \right)\left( \dfrac{5}{8} \right) \\ &= \dfrac{135}{512} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B) \ \dfrac{135}{512}$.
Contoh 4
Sebuah perusahaan membutuhkan kualifikasi yang ketat untuk bisa bersaing dalam acara lelang project yang bernilai miliaran dolar. Dari seluruh peserta lelang hanya $40$ % saja perusahaan yang bakalan lolos dan ikut dalam project. Dari $20$ perusahaan peserta lelang peluang hanya $5$ perusahaan saja yang bisa ikut project adalah...
$ \begin{align} (A) \ 0,0746 \\ (B) \ 0,1244 \\ (C) \ 0,1597 \\ (D) \ 0,1659 \\ (E) \ 0,1797 \\ \end{align} $
Informasi : $(0,4)^{5}=0,01024$ dan $(0,6)^{15}=0,00047$.
Sebuah perusahaan membutuhkan kualifikasi yang ketat untuk bisa bersaing dalam acara lelang project yang bernilai miliaran dolar. Dari seluruh peserta lelang hanya $40$ % saja perusahaan yang bakalan lolos dan ikut dalam project. Dari $20$ perusahaan peserta lelang peluang hanya $5$ perusahaan saja yang bisa ikut project adalah...
$ \begin{align} (A) \ 0,0746 \\ (B) \ 0,1244 \\ (C) \ 0,1597 \\ (D) \ 0,1659 \\ (E) \ 0,1797 \\ \end{align} $
Informasi : $(0,4)^{5}=0,01024$ dan $(0,6)^{15}=0,00047$.
$n=20$ dan $x=5$.
$p=40$ % sehingg $q=60$ %.
Sehingga,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=5) &= \binom{20}{5} \ \left( 0,4 \right)^{5} \ \left( 0,6 \right)^{20-5} \\ &= \binom{20}{5} \ \left( 0,4 \right)^{5} \ \left( 0,6 \right)^{15} \\ &= \dfrac{20!}{15!5!} \ \left( 0,01024 \right) \left( 0,00047 \right) \\ &= 15.504 \ \left( 0,01024 \right) \left( 0,00047 \right) \\ &= 0,0746 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ 0,0746$.
$p=40$ % sehingg $q=60$ %.
Sehingga,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=5) &= \binom{20}{5} \ \left( 0,4 \right)^{5} \ \left( 0,6 \right)^{20-5} \\ &= \binom{20}{5} \ \left( 0,4 \right)^{5} \ \left( 0,6 \right)^{15} \\ &= \dfrac{20!}{15!5!} \ \left( 0,01024 \right) \left( 0,00047 \right) \\ &= 15.504 \ \left( 0,01024 \right) \left( 0,00047 \right) \\ &= 0,0746 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ 0,0746$.
Contoh 5
Jika Ari melempar dua buah dadu sebanyak $7$ kali maka peluang Ari mendapat jumlah dua mata dadu $4$ sebanyak $3$ kali adalah...
$ \begin{align} (A) \ 0,0606 \\ (B) \ 0,1540 \\ (C) \ 0,0140 \\ (D) \ 0,0450 \\ (E) \ 0,2604 \\ \end{align} $
Jika Ari melempar dua buah dadu sebanyak $7$ kali maka peluang Ari mendapat jumlah dua mata dadu $4$ sebanyak $3$ kali adalah...
$ \begin{align} (A) \ 0,0606 \\ (B) \ 0,1540 \\ (C) \ 0,0140 \\ (D) \ 0,0450 \\ (E) \ 0,2604 \\ \end{align} $
Dari informasi dalam soal kita dapatkan bahwa :
$n=7$ dan $x=3$.
Nilai $p$ adalah besar peluang muncul jumlah dua mata dadu $4$ pada satu kali pelemparan, yaitu munculnya kejadian $(1,3)$, $(3,1)$ dan $(2,2)$.
Sehingga,
$p=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.
$q=1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=3) &= \binom{7}{3} \ \left( \dfrac{1}{12} \right)^{3} \ \left( \dfrac{11}{12} \right)^{7-3} \\ &= \binom{7}{3} \ \left( \dfrac{1}{12} \right)^{3} \ \left( \dfrac{11}{12} \right)^{4} \\ &= \dfrac{7!}{4!3!} \ \left( 0,00057 \right) \left( 0,70606 \right) \\ &= 35 \ \left( 0,00057 \right) \left( 0,70606 \right) \\ &= 0,0140 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 0,0140$.
$n=7$ dan $x=3$.
Nilai $p$ adalah besar peluang muncul jumlah dua mata dadu $4$ pada satu kali pelemparan, yaitu munculnya kejadian $(1,3)$, $(3,1)$ dan $(2,2)$.
Sehingga,
$p=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$.
$q=1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=3) &= \binom{7}{3} \ \left( \dfrac{1}{12} \right)^{3} \ \left( \dfrac{11}{12} \right)^{7-3} \\ &= \binom{7}{3} \ \left( \dfrac{1}{12} \right)^{3} \ \left( \dfrac{11}{12} \right)^{4} \\ &= \dfrac{7!}{4!3!} \ \left( 0,00057 \right) \left( 0,70606 \right) \\ &= 35 \ \left( 0,00057 \right) \left( 0,70606 \right) \\ &= 0,0140 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 0,0140$.
Contoh 6
Ternyata hanya ada $5$% saja keturunan hasil budidaya ikan arwana yang memunculkan arwana jenis albino. Jika diambil sampel $6$ ekor ikan arwana hasil budidaya maka peluang terambil tepat $3$ ekor arwana albino adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ (B) \ \dfrac{1}{200} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ (C) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{2} \\ (D) \ \dfrac{1}{300} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{2} \\ (E) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{4} \\ \end{align} $
Ternyata hanya ada $5$% saja keturunan hasil budidaya ikan arwana yang memunculkan arwana jenis albino. Jika diambil sampel $6$ ekor ikan arwana hasil budidaya maka peluang terambil tepat $3$ ekor arwana albino adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ (B) \ \dfrac{1}{200} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ (C) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{2} \\ (D) \ \dfrac{1}{300} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{2} \\ (E) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{4} \\ \end{align} $
$p=5$%$=\dfrac{1}{20}$.
$q=\dfrac{19}{20}$.
$n=6$ dan $x=3$.
Sehingga,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=3) &= \binom{6}{3} \ \left( \dfrac{1}{20} \right)^{3} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{6-3} \\ &= \binom{6}{3} \ \left( \dfrac{1}{20} \right)^{3} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= \dfrac{6!}{3!3!} \ \left( \dfrac{1}{20^{3}} \right) \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= 20 \ \ \left( \dfrac{1}{20^{3}} \right) \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= \left( \dfrac{1}{20^{2}} \right) \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3}$.
$q=\dfrac{19}{20}$.
$n=6$ dan $x=3$.
Sehingga,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=3) &= \binom{6}{3} \ \left( \dfrac{1}{20} \right)^{3} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{6-3} \\ &= \binom{6}{3} \ \left( \dfrac{1}{20} \right)^{3} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= \dfrac{6!}{3!3!} \ \left( \dfrac{1}{20^{3}} \right) \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= 20 \ \ \left( \dfrac{1}{20^{3}} \right) \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= \left( \dfrac{1}{20^{2}} \right) \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ &= \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3} \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ \dfrac{1}{400} \ \left( \dfrac{19}{20} \right)^{3}$.
Contoh 7
Peluang siswa menjawab satu soal salah dalam sebuah ujian adalah $\dfrac{4}{5}$. Jika dipilih dari $5$ soal yang ada maka peluang siswa menjawab tepat $1$ soal benar adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{128}{5^{5}} \\ (B) \ \dfrac{256}{5^{5}} \\ (C) \ \dfrac{128}{5^{4}} \\ (D) \ \dfrac{256}{5^{4}} \\ (E) \ \dfrac{512}{5^{4}} \\ \end{align} $
Peluang siswa menjawab satu soal salah dalam sebuah ujian adalah $\dfrac{4}{5}$. Jika dipilih dari $5$ soal yang ada maka peluang siswa menjawab tepat $1$ soal benar adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{128}{5^{5}} \\ (B) \ \dfrac{256}{5^{5}} \\ (C) \ \dfrac{128}{5^{4}} \\ (D) \ \dfrac{256}{5^{4}} \\ (E) \ \dfrac{512}{5^{4}} \\ \end{align} $
$q=\dfrac{4}{5}$ sehingga $p=\dfrac{1}{5}$.
$n=5$ dan $x=1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=1) &= \binom{5}{1} \ \left( \dfrac{1}{5} \right)^{1} \ \left( \dfrac{4}{5} \right)^{5-1} \\ &= \binom{5}{1} \ \left( \dfrac{1}{5} \right)^{1} \ \left( \dfrac{4}{5} \right)^{4} \\ &= \dfrac{5!}{4!1!} \ \left( \dfrac{1}{5} \right) \ \left( \dfrac{4^{4}}{5^{4}} \right) \\ &= 5 \ \ \left( \dfrac{256}{5^{5}} \right) \\ &= \dfrac{256}{5^{4}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ \dfrac{256}{5^{4}} $.
$n=5$ dan $x=1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=1) &= \binom{5}{1} \ \left( \dfrac{1}{5} \right)^{1} \ \left( \dfrac{4}{5} \right)^{5-1} \\ &= \binom{5}{1} \ \left( \dfrac{1}{5} \right)^{1} \ \left( \dfrac{4}{5} \right)^{4} \\ &= \dfrac{5!}{4!1!} \ \left( \dfrac{1}{5} \right) \ \left( \dfrac{4^{4}}{5^{4}} \right) \\ &= 5 \ \ \left( \dfrac{256}{5^{5}} \right) \\ &= \dfrac{256}{5^{4}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ \dfrac{256}{5^{4}} $.
Contoh 8
Dalam sebuah latihan cabang olahraga panahan, Jojo akan melakukan $5$ kali bidikan. Jika peluang Jojo mengenai sasaran dalam satu kali bidikan $\dfrac{1}{3}$ maka peluang anak panah Jojo tepat $2$ kali mengenai sasaran adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{80}{243} \\ (B) \ \dfrac{95}{256} \\ (C) \ \dfrac{75}{243} \\ (D) \ \dfrac{64}{256} \\ (E) \ \dfrac{75}{512} \\ \end{align} $
Dalam sebuah latihan cabang olahraga panahan, Jojo akan melakukan $5$ kali bidikan. Jika peluang Jojo mengenai sasaran dalam satu kali bidikan $\dfrac{1}{3}$ maka peluang anak panah Jojo tepat $2$ kali mengenai sasaran adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{80}{243} \\ (B) \ \dfrac{95}{256} \\ (C) \ \dfrac{75}{243} \\ (D) \ \dfrac{64}{256} \\ (E) \ \dfrac{75}{512} \\ \end{align} $
Diketahui berdasarkan informasi dalam soal :
$n=5$ dan $x=2$.
$p=\dfrac{1}{3}$ sehingga $q=\dfrac{2}{3}$.
Sehingga,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{5}{2} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{5-2} \\ &= \binom{5}{2} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{3} \\ &= \dfrac{5!}{3!2!} \ \left( \dfrac{1}{9} \right) \ \left( \dfrac{8}{27} \right) \\ &= 10 \ \ \left( \dfrac{8}{243} \right) \\ &= \dfrac{80}{243} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ \dfrac{80}{243} $.
$n=5$ dan $x=2$.
$p=\dfrac{1}{3}$ sehingga $q=\dfrac{2}{3}$.
Sehingga,
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{5}{2} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{5-2} \\ &= \binom{5}{2} \ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} \ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{3} \\ &= \dfrac{5!}{3!2!} \ \left( \dfrac{1}{9} \right) \ \left( \dfrac{8}{27} \right) \\ &= 10 \ \ \left( \dfrac{8}{243} \right) \\ &= \dfrac{80}{243} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ \dfrac{80}{243} $.
Contoh 9
Sebuah dadu dilempar sebanyak $4$ kali. Besar peluang muncul tepat $2$ kali angka $6$ adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{10}{243} \\ (B) \ \dfrac{40}{256} \\ (C) \ \dfrac{25}{216} \\ (D) \ \dfrac{64}{216} \\ (E) \ \dfrac{75}{256} \\ \end{align} $
Sebuah dadu dilempar sebanyak $4$ kali. Besar peluang muncul tepat $2$ kali angka $6$ adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{10}{243} \\ (B) \ \dfrac{40}{256} \\ (C) \ \dfrac{25}{216} \\ (D) \ \dfrac{64}{216} \\ (E) \ \dfrac{75}{256} \\ \end{align} $
$n=4$ dan $x=2$.
Nilai $p$ adalah besar peluang muncul angka $6$ pada pelemparan sebuah dadu yaitu $\dfrac{1}{6}$.
Sehingga $q=\dfrac{5}{6}$.
Dengan demikian peluang muncul tepat $2$ kali angka $6$ adalah :
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{4}{2} \ \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{4-2} \\ &= \binom{4}{2} \ \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{2} \\ &= \dfrac{4!}{2!2!} \ \left( \dfrac{1}{36} \right) \ \left( \dfrac{25}{36} \right) \\ &= 6 \ \ \left( \dfrac{25}{1296} \right) \\ &= \dfrac{25}{216} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ \dfrac{25}{216} $.
Nilai $p$ adalah besar peluang muncul angka $6$ pada pelemparan sebuah dadu yaitu $\dfrac{1}{6}$.
Sehingga $q=\dfrac{5}{6}$.
Dengan demikian peluang muncul tepat $2$ kali angka $6$ adalah :
$ \begin{align} P(X=x) &= \binom{n}{x} \ p^{x} \ q^{n-x} \\ P(X=2) &= \binom{4}{2} \ \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{4-2} \\ &= \binom{4}{2} \ \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{2} \\ &= \dfrac{4!}{2!2!} \ \left( \dfrac{1}{36} \right) \ \left( \dfrac{25}{36} \right) \\ &= 6 \ \ \left( \dfrac{25}{1296} \right) \\ &= \dfrac{25}{216} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ \dfrac{25}{216} $.
Contoh 10
Sebanyak $5$ mahasiswa akan mengikuti ujian kelulusan sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya $0,7$. Peluang paling banyak $2$ orang mahasiswa lulus ujian tersebut adalah...
$ \begin{align} (A) \ 0,89 \\ (B) \ 0,75 \\ (C) \ 0,48 \\ (D) \ 0,23 \\ (E) \ 0,16 \\ \end{align} $
Sebanyak $5$ mahasiswa akan mengikuti ujian kelulusan sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya $0,7$. Peluang paling banyak $2$ orang mahasiswa lulus ujian tersebut adalah...
$ \begin{align} (A) \ 0,89 \\ (B) \ 0,75 \\ (C) \ 0,48 \\ (D) \ 0,23 \\ (E) \ 0,16 \\ \end{align} $
$n=5$
$p=0,7$ dan $q=0,3$
Nilai $x$ karena yang ditanyakan adalah "paling banyak $2$ orang mahasiswa lulus" maka $x=0,1,2$ orang.
Sehingga dapat kita tulis sebagai,
$P(X \le 2)$
$ \begin{align} &= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ &= \binom{5}{0} \ (0,7)^0 \ (0,3)^5 + \binom{5}{1} \ (0,7)^1 \ (0,3)^4 + \binom{5}{2} \ (0,7)^2 \ (0,3)^3 \\ &= 1 \ (0,7)^0 \ (0,3)^5 + 5 \ (0,7)^1 \ (0,3)^4 + 10 \ (0,7)^2 \ (0,3)^3 \\ &= 0,16 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ 0,16$.
$p=0,7$ dan $q=0,3$
Nilai $x$ karena yang ditanyakan adalah "paling banyak $2$ orang mahasiswa lulus" maka $x=0,1,2$ orang.
Sehingga dapat kita tulis sebagai,
$P(X \le 2)$
$ \begin{align} &= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ &= \binom{5}{0} \ (0,7)^0 \ (0,3)^5 + \binom{5}{1} \ (0,7)^1 \ (0,3)^4 + \binom{5}{2} \ (0,7)^2 \ (0,3)^3 \\ &= 1 \ (0,7)^0 \ (0,3)^5 + 5 \ (0,7)^1 \ (0,3)^4 + 10 \ (0,7)^2 \ (0,3)^3 \\ &= 0,16 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ 0,16$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah bahasan kita kali ini tentang materi peluang distribusi binomial lengkap dengan kumpulan soal dan pembahasan.Jangan lupa untuk tetap sering latihan agar makin paham tentang konsep peluang binomial dan makin tambah bank soal kalian.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
“Bukannya aku sangat pintar, tapi Aku hanya bertahan dengan masalah lebih lama.” – Albert Einstein
