23 Kumpulan Soal dan Pembahasan Limit Trigonometri Kelas 12 SMA
Ini adalah rangkuman limit fungsi trigonometri yang dipelajari di kelas 12 SMA lengkap dengan contoh soal dan pembahasan.
Ada beberapa topik yang berkaitan dengan limit yang dipelajari khususnya di kelas 12 SMA, yaitu : limit fungsi aljabar, limit trigonometri, limit tak hingga dan limit trigonometri tak hingga.
Sebagai pembuka topik pengajaran biasanya akan dibuka dengan pembelajaran tentang limit fungsi aljabar sebagai materi dasar dari semua topik bahasan limit.
Keempat topik limit di atas mempunyai keterikatan satu sama lain, sehingga untuk mempelajarinya akan membutuhkan kesatuan bahasan yang saling berhubungan.
Jadi jika kalian ingin belajar limit fungsi trigonometri tentu saja dasa- dasar konsep limit fungsi aljabar sudah harus kalian kuasai terlebih dahulu.
Tidak usah kuatir, kita sudah pernah membahasnya pada artikel - artikel yang telah lalu.
Silahkan baca ulang artikel bahasan limit fungsi aljabar dengan mencarinya pada halaman Daftar Isi.
Tentu saja karena fungsi limitnya berupa fungsi trigonometri maka pengetahuan tentang dasar - dasar dari konsep dan rumus trigonometri harus kalian punya.
Hal mendasar yang menjadi konsep dari operasi limit fungsi trigonometri adalah :
Demikian juga berlaku untuk limit kebalikan fungsi trigonometrinya yaitu :
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = 1$
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \cos 2A &= \cos^{2} A - \sin^{2} A \\ &= 2\cos^{2} A - 1 \\ &= 1 - 2\sin^{2} A \end{align} $
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \tan 2A = \dfrac{2 \tan A}{1-\tan^{2} A} \end{align} $
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2} \right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \end{align} $
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2} \right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \end{align} $
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2} \right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \end{align} $
1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x}=1$
2. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x}=1$
3. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax}{\sin bx}=\dfrac{a}{b}$
4. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx}=\dfrac{a}{b}$
5. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\tan bx}=\dfrac{a}{b}$
6. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\tan bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx}=\dfrac{a}{b}$
7. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{x} =0$
Kita akan bahas sesederhana mungkin agar bisa kalian jadikan rujukan belajar dengan mudah.
Beberapa materi lain seperti turunan trigonometri akan sedikit bersinggungan dengan materi limit trigonometri ini.
Jadi teruslah latih diri kalian untuk soal - soal limit trigonometri yang lain ya kedepan.
Semoga bisa membantu kalian dalam memahami lebih dalam tentang materi limit trigonometri kelas 12 SMA.
Sebagai pembuka topik pengajaran biasanya akan dibuka dengan pembelajaran tentang limit fungsi aljabar sebagai materi dasar dari semua topik bahasan limit.
Keempat topik limit di atas mempunyai keterikatan satu sama lain, sehingga untuk mempelajarinya akan membutuhkan kesatuan bahasan yang saling berhubungan.
Jadi jika kalian ingin belajar limit fungsi trigonometri tentu saja dasa- dasar konsep limit fungsi aljabar sudah harus kalian kuasai terlebih dahulu.
Tidak usah kuatir, kita sudah pernah membahasnya pada artikel - artikel yang telah lalu.
Silahkan baca ulang artikel bahasan limit fungsi aljabar dengan mencarinya pada halaman Daftar Isi.
Apa itu Limit Fungsi Trigonometri?
Limit fungsi trigonometri tak jauh beda dengan limit fungsi pada umumnya, namun hal yang menjadi pembeda adalah fungsinya berupa operasi fungsi trigonometri.Tentu saja karena fungsi limitnya berupa fungsi trigonometri maka pengetahuan tentang dasar - dasar dari konsep dan rumus trigonometri harus kalian punya.
Hal mendasar yang menjadi konsep dari operasi limit fungsi trigonometri adalah :
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$
Demikian juga berlaku untuk limit kebalikan fungsi trigonometrinya yaitu :
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = 1$
Rumus - Rumus Trigonometri Penting
Ada beberapa rumus - rumus trigonometri yang penting untuk kalian pahami untuk menunjang materi limit fungsi trigonometri.A. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \sin 2A = 2 \sin A \cos A \end{align} $$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \cos 2A &= \cos^{2} A - \sin^{2} A \\ &= 2\cos^{2} A - 1 \\ &= 1 - 2\sin^{2} A \end{align} $
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \tan 2A = \dfrac{2 \tan A}{1-\tan^{2} A} \end{align} $
B. Rumus Jumlah Trigonometri
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2} \right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \end{align} $$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2} \right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \end{align} $
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2} \right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \end{align} $
$ \begin{align} \ \ \clubsuit \ \cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2} \right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \end{align} $
Rumus - Rumus Limit Trigonometri
Rumus - rumus limit trigonometri untuk $x \to 0$ di bawah ini juga akan membantu kalian mendapatkan hasil nilai limit trigonometri dengan cepat dan mudah.1. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x}=1$
2. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x}=1$
3. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax}{\sin bx}=\dfrac{a}{b}$
4. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax}{\tan bx}=\dfrac{a}{b}$
5. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\sin bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\tan bx}=\dfrac{a}{b}$
6. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{\tan bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx}=\dfrac{a}{b}$
7. $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{x} =0$
Soal dan Pembahasan Limit Trigonometri Kelas 12
Kumpulan soal dan pembahasan bab limit trigonometri kelas 12 di bawah ini sengaja dipilih dari tugas - tugas harian, ulangan harian bab logaritma, soal ujian nasional yang pernah keluar hingga soal - soal seleksi masuk PTN pada UTBK-SNBT dan sejenisnya.Kita akan bahas sesederhana mungkin agar bisa kalian jadikan rujukan belajar dengan mudah.
1. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 3x+ \tan 5x}{6x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{6} \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & \dfrac{11}{6} \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & \dfrac{7}{6} \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 3x+ \tan 5x}{6x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{6} \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & \dfrac{11}{6} \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & \dfrac{7}{6} \end{align} $
$
\begin{align}
&\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 3x+ \tan 5x}{6x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 3x}{6x}+\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan 5x}{6x} \\
&= 2 \times \dfrac{3}{6} + \dfrac{5}{6} \\
&= \dfrac{11}{6}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ \dfrac{11}{6}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ \dfrac{11}{6}$.
2. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x \ \cos 4x}{2 \ \tan x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x \ \cos 4x}{2 \ \tan x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
$
\begin{align}
&\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x \ \cos 4x}{2 \ \tan x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2} \ \sin 8x}{2 \ \tan x} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \ \cdot \ 8}{2} \\
&= \dfrac{4}{2} = 2 \\
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 2$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 2$.
3. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x}{2x \ \sin x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 8 \end{align} $
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x}{2x \ \sin x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 8 \end{align} $
$
\begin{align}
&\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x}{2x \ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin^{2} 2x}{2x \ \sin x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 2x}{2x} \ \cdot \ \dfrac{\sin 2x}{\sin x} \\
&= 2 \ \cdot \ \dfrac{2}{2} \ \cdot \ 2 \\
&= 4
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 4$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 4$.
4. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2- 2 \cos 4x}{\cos 6x - 1} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -\dfrac{8}{9} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & -\dfrac{5}{8} \end{align} $
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2- 2 \cos 4x}{\cos 6x - 1} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -\dfrac{8}{9} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & -\dfrac{5}{8} \end{align} $
$
\begin{align}
&\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 - 2 \cos 4x}{\cos 6x - 1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 (1-\cos 4x)}{-2 \ \sin^{2} 3x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 (2 \sin^{2} 2x)}{-2 \ \sin^{2} 3x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4}{-2} \ \cdot \ \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} \ \cdot \ \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} \\
&= (-2) \ \cdot \ \dfrac{2}{3} \ \cdot \ \dfrac{2}{3} \\
&= -\dfrac{8}{9}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ -\dfrac{8}{9}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ -\dfrac{8}{9}$.
5. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{x^{2}-3x+2} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{x^{2}-3x+2} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
$
\begin{align}
&\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{x^{2}-3x+2} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{(x-1)} \times \dfrac{1}{(x-2)} \\
&= 1 \times \dfrac{1}{(1-2)} \\
&= -1
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ -1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ -1$.
6. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x^{2}-1) \tan (2x-2)}{\sin^{2} (x-1)} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & \infty \end{align} $
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x^{2}-1) \tan (2x-2)}{\sin^{2} (x-1)} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & \infty \end{align} $
$
\begin{align}
&\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x^{2}-1) \tan (2x-2)}{\sin^{2} (x-1)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1) \tan 2(x-1)}{\sin^{2} (x-1)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} (x+1) \times \dfrac{(x-1)}{\sin(x-1)} \times \dfrac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)} \\
&= (1+1) \times 1 \times \dfrac{2}{1} \\
&= 4
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 4$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 4$.
7. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\cos 4x -1}{x \ \tan 2x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align} $
#UN 2012 Matematika IPA
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\cos 4x -1}{x \ \tan 2x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -4 \end{align} $
#UN 2012 Matematika IPA
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\cos 4x -1}{x \ \tan 2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2 \ \sin^{2} 2x}{x \ \tan 2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} -2 \times \dfrac{\sin 2x}{x} \times \dfrac{\sin 2x}{\tan 2x} \\
&= -2 \times \dfrac{2}{1} \times \dfrac{2}{2} \\
&= -4
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ -4$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ -4$.
8. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin x \ \tan x}{1- \cos 2x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align} $
Hasil nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin x \ \tan x}{1- \cos 2x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin x \ \tan x}{1- \cos 2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2} + \sin x \ \tan x}{2 \ \sin^{2} x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{2 \ \sin^{2} x} + \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x \ \tan x}{2 \ \sin^{2} x} \\
&= \left( \dfrac{1}{2} \ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^{2}}{\sin^{2} x} \right) + \left( \dfrac{1}{2} \ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x \ \tan x}{\sin^{2} x} \right) \\
&= \left( \dfrac{1}{2} \times 1^{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} \times 1^{2} \right) \\
&= 1
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ 1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ 1$.
9. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{4} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{4} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Untuk mengerjakan soal limit trigonometri ini langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyederhanakan bentuk akar pada bagian $\cos x$ nya dengan cara kita kali akar sekawan.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} \times \dfrac{1+ \sqrt{\cos x}}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos 0}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{1}} \\ &= \dfrac{1}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \dfrac{1}{4}$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} \times \dfrac{1+ \sqrt{\cos x}}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos 0}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{1}} \\ &= \dfrac{1}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \dfrac{1}{4}$.
10. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\pi}{5x \ \csc (10x)} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{\pi} \\ (B)\ & \pi \\ (C)\ & -\frac{1}{2 \pi} \\ (D)\ & 2 \pi \\ (E)\ & -\frac{2}{\pi} \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\pi}{5x \ \csc (10x)} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{\pi} \\ (B)\ & \pi \\ (C)\ & -\frac{1}{2 \pi} \\ (D)\ & 2 \pi \\ (E)\ & -\frac{2}{\pi} \end{align} $
Ingat kembali bahwa bentuk trigonometri $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$, sehingga untuk $\dfrac{1}{\csc x}= \sin x$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\pi}{5x \ \csc (10x)} \\ &= \pi \ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{5x} \times \dfrac{1}{\csc (10x)} \\ &= \pi \ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (10x)}{5x} \\ &= \pi \times \dfrac{10}{5} \\ &= 2 \pi \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 2 \pi$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\pi}{5x \ \csc (10x)} \\ &= \pi \ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{5x} \times \dfrac{1}{\csc (10x)} \\ &= \pi \ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin (10x)}{5x} \\ &= \pi \times \dfrac{10}{5} \\ &= 2 \pi \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 2 \pi$.
11. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\tan (x-a)}{x^{2}-a^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & a \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \frac{a}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2a} \\ (E)\ & -a \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\tan (x-a)}{x^{2}-a^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & a \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \frac{a}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{2a} \\ (E)\ & -a \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\tan (x-a)}{x^{2}-a^{2}} \\
&= \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\tan (x-a)}{x-a} \times \dfrac{1}{(x+a)} \\
&= 1 \times \dfrac{1}{(a+a)} \\
&= \dfrac{1}{2a}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \frac{1}{2a}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \frac{1}{2a}$.
12. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 6x - \cos 4x}{x^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & -10 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & -14 \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 6x - \cos 4x}{x^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & -10 \\ (D)\ & 12 \\ (E)\ & -14 \end{align} $
Ingat bahwa :
$\cos A - \cos B=-2 \ \sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right) \ \sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
Sehingga,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 6x - \cos 4x}{x^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2 \ \sin \left( \dfrac{6x+4x}{2} \right) \ \sin \left( \dfrac{6x-4x}{2} \right)}{x^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} -2 \times \dfrac{\sin 5x}{x} \times \dfrac{\sin x}{x} \\ &= -2 \times \dfrac{5}{1} \times 1 \\ &= -10 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ -10$.
$\cos A - \cos B=-2 \ \sin \left( \dfrac{A+B}{2} \right) \ \sin \left( \dfrac{A-B}{2} \right)$
Sehingga,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos 6x - \cos 4x}{x^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-2 \ \sin \left( \dfrac{6x+4x}{2} \right) \ \sin \left( \dfrac{6x-4x}{2} \right)}{x^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} -2 \times \dfrac{\sin 5x}{x} \times \dfrac{\sin x}{x} \\ &= -2 \times \dfrac{5}{1} \times 1 \\ &= -10 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ -10$.
13. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{\cos x - \cos 3x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{\cos x - \cos 3x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{\cos x - \cos 3x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{-2 \sin \left( \dfrac{x+3x}{2} \right) \sin \left( \dfrac{x-3x}{2} \right)} \\
&= - \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \times \dfrac{\tan x}{\sin (-x)} \\
&= -1 \times \dfrac{4}{2} \times \dfrac{1}{(-1)} \\
&= 2
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 2$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 2$.
14. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Hasil $\lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{x \sin \theta - \theta \sin x}{x - \theta} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \cos \theta - \sin \theta \\ (B)\ & \sin \theta - \theta \ \cos \theta \\ (C)\ & \cos \theta - \sin \theta \\ (D)\ & \sin \theta - \theta \ \cos \theta \\ (E)\ & \theta \ \sin \theta - \sin \theta \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{x \sin \theta - \theta \sin x}{x - \theta} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \cos \theta - \sin \theta \\ (B)\ & \sin \theta - \theta \ \cos \theta \\ (C)\ & \cos \theta - \sin \theta \\ (D)\ & \sin \theta - \theta \ \cos \theta \\ (E)\ & \theta \ \sin \theta - \sin \theta \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{x \sin \theta - \theta \sin x}{x - \theta} \\
&= \lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{x \sin \theta - \theta \sin \theta + \theta \sin \theta - \theta \sin x}{x - \theta} \\
&= \lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{(x - \theta) \ \sin \theta}{(x - \theta)} + \lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{\theta (\sin \theta - \sin x)}{(x - \theta)} \\
&= \sin \theta + \theta \lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{\sin \theta - \sin x}{(x - \theta)} \\
&= \sin \theta + \theta \lim\limits_{x \to \theta} \dfrac{2 \ \cos \left(\frac{\theta + x}{2} \right) \sin \left(\frac{\theta - x}{2} \right)}{(x - \theta)} \\
&= \sin \theta + \theta \lim\limits_{x \to \theta} 2 \cos \left(\dfrac{\theta + x}{2} \right) \dfrac{\sin \frac{1}{2} (\theta - x)}{-(\theta - x)} \\
&= \sin \theta + 2 \ \cos \theta \ \left( -\dfrac{1}{2} \right) \\
&= \sin \theta - \theta \cos \theta
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \sin \theta - \theta \cos \theta$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \sin \theta - \theta \cos \theta$.
15. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x \ \cos x}{\sin x + \sin 3x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & \dfrac{4}{3} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{3}{4} \end{align} $
#UN 2014 Matematika IPA
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x \ \cos x}{\sin x + \sin 3x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & \dfrac{4}{3} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{3}{4} \end{align} $
#UN 2014 Matematika IPA
Salah satu rumus trigonometri yang akan berguna untuk menjawab soal limit trigonometri di atas adalah
$\cos (-x)=\cos x$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x \ \cos x}{\sin x + \sin 3x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x \ \cos x}{2 \ \sin \left( \frac{x+3x}{2} \right) \cos \left( \frac{x-3x}{2} \right)} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x}{2 \sin 2x} \times \dfrac{\cos x}{\cos (-x)} \\ &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{2} \times \dfrac{\cos x}{\cos x} \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 1$.
$\cos (-x)=\cos x$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x \ \cos x}{\sin x + \sin 3x} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x \ \cos x}{2 \ \sin \left( \frac{x+3x}{2} \right) \cos \left( \frac{x-3x}{2} \right)} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x}{2 \sin 2x} \times \dfrac{\cos x}{\cos (-x)} \\ &= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{2} \times \dfrac{\cos x}{\cos x} \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 1$.
16. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin^{2} (x-1)}{x^{2}-2x+1} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & \infty \end{align} $
#UN 2013 Matematika IPA
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin^{2} (x-1)}{x^{2}-2x+1} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & \infty \end{align} $
#UN 2013 Matematika IPA
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin^{2} (x-1)}{x^{2}-2x+1} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin^{2} (x-1)}{(x-1)^{2}} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{(x-1)} \times \dfrac{\sin (x-1)}{(x-1)} \\
&= 1 \times 1 \\
&= 1
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ 1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ 1$.
17. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 2x}{1- \cos 4x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\frac{1}{2} \\ (B)\ & -\frac{1}{4} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \frac{1}{16} \\ (E)\ & \frac{1}{4} \end{align} $
#UN 2011 Matematika IPA
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 2x}{1- \cos 4x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\frac{1}{2} \\ (B)\ & -\frac{1}{4} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \frac{1}{16} \\ (E)\ & \frac{1}{4} \end{align} $
#UN 2011 Matematika IPA
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 2x}{1- \cos 4x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin^{2} x}{2 \ \sin^{2} 2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{\sin 2x} \right)^{2} \\
&= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ \dfrac{1}{4}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ \dfrac{1}{4}$.
18. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x + \sin 5x}{6x} \right) =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{3} \\ (E)\ & -1 \end{align} $
#UN 2010 Matematika IPA
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x + \sin 5x}{6x} \right) =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{3} \\ (E)\ & -1 \end{align} $
#UN 2010 Matematika IPA
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x + \sin 5x}{6x} \right) \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{6x} + \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 5x}{6x} \\
&= \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} \\
&= \dfrac{6}{6} = 1
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ 1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ 1$.
19. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai dari $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^{2}+6x+9}{2-2 \cos (2x+6)} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{3} \\ (E)\ & \frac{1}{4} \end{align} $
#UN 2009 Matematika IPA
Nilai dari $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^{2}+6x+9}{2-2 \cos (2x+6)} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{3} \\ (E)\ & \frac{1}{4} \end{align} $
#UN 2009 Matematika IPA
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{x^{2}+6x+9}{2-2 \cos (2x+6)} \\
&= \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{(x+3)^{2}}{2 [1- \cos (2x+6)]} \\
&= \lim\limits_{x \to -3} \dfrac{(x+3)^{2}}{2 \cdot 2 \sin^{2} (x+3)} \\
&= \dfrac{1}{4} \lim\limits_{x \to -3} \left( \dfrac{(x+3)}{\sin (x+3)} \right)^{2} \\
&= \dfrac{1}{4} \times 1^{2} \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ \dfrac{1}{4}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ \dfrac{1}{4}$.
20. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \sqrt{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
#SNMPTN 2010 Kode 546
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \sqrt{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
#SNMPTN 2010 Kode 546
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{4x}{\sin 2x}} \\
&= \sqrt{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x}{\sin 2x}} \\
&= \sqrt{\dfrac{4}{2}} \\
&= \sqrt{2}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \sqrt{2}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \sqrt{2}$.
21. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x - \sin 2x \cos 2x}{4x^{3}}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{3} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x - \sin 2x \cos 2x}{4x^{3}}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{3} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x - \sin 2x \cos 2x}{4x^{3}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x (1 - \cos 2x)}{4x^{3}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x (2\sin^{2} x)}{4x^{3}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{4x} \times \dfrac{2 \sin x}{x} \times \dfrac{\sin x}{x} \\
&= \dfrac{2}{4} \times 2 \times 1 \\
&= 1
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ 1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B)\ 1$.
22. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x^{2}+x-6) \sin (x-2)}{x^{2}-x-2}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{3} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x^{2}+x-6) \sin (x-2)}{x^{2}-x-2}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{3} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x^{2}+x-6) \sin (x-2)}{x^{2}-x-2} \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+3)(x-2) \sin (x-2)}{(x+1)(x-2)} \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+1)} \times \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sin (x-2)}{(x-2)} \\
&= \dfrac{(2+3)(2-2)}{(2+1)} \times 1 \\
&= \dfrac{5 \times 0}{3} \\
&= 0
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 0$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 0$.
23. Soal Limit Trigonometri Kelas 12
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1 - \cos^{2} (x-1)}{4(x^{2}-2x+1)}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1 - \cos^{2} (x-1)}{4(x^{2}-2x+1)}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1 - \cos^{2} (x-1)}{4(x^{2}-2x+1)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin^{2} (x-1)}{4(x-1)^{2}} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{4} \times \dfrac{\sin^{2} (x-1)}{(x-1)^{2}} \\
&= \dfrac{1}{4} \times \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{(x-1)} \times \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sin (x-1)}{(x-1)} \\
&= \dfrac{1}{4} \times 1 \times 1 \\
&= \dfrac{1}{4}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \dfrac{1}{4}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \dfrac{1}{4}$.
Penutup
Nah adik - adik sahabat kreatif, itulah rangkuman materi limit trigonometri kelas 12 SMA lengkap mulai dari konsep dasar, rumus - rumus limit trigonometri serta contoh soal dan pembahasan.Beberapa materi lain seperti turunan trigonometri akan sedikit bersinggungan dengan materi limit trigonometri ini.
Jadi teruslah latih diri kalian untuk soal - soal limit trigonometri yang lain ya kedepan.
Semoga bisa membantu kalian dalam memahami lebih dalam tentang materi limit trigonometri kelas 12 SMA.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
“Bukannya aku sangat pintar, tapi aku hanya bertahan dengan masalah lebih lama” – Albert Einstein
