Cara Mudah Merasionalkan Bentuk Akar
Ini adalah cara mudah merasionalkan bentuk akar yang akan sangat membantu kalian menghadapi soal - soal eksponen bentuk pangkat pecahan atau akar.
Kali ini kita akan bahas lengkap bagaimana cara mudah untuk merasionalkan bentuk pecahan yang ada akarnya.
Merasionalkan bentuk akar sebenarnya sudah pernah kita bahas pada artikel yang lalu - lalu yang bertajuk rangkuman bilangan berpangkat dan bentuk akar.
Jadi kali aja ada yang masih belum baca langsung aja cari artikel tersebut ya, bisa melalui menu pencarian ataupun halaman Matematika SMP.
Secara konsep dalam matematika merasionalkan bentuk akar sebenarnya bertujuan untuk menyederhanakan bentuk akarnya yang berada pada penyebut.
Lebih mudahnya adalah dengan cara merasionalkan bentuk akar maka kita akan menghilangkan bentuk akar yang masih ada pada penyebut, sehingga bentuk akarnya akan pindah ke atas ke bagian pembilang pecahannya.
Nah.. adik - adik untuk bisa dengan mudah merasionalkan bentuk akar ada beberapa hal yang harus kalian pahami terlebih dahulu.
Tentu saja kalian harus memahami beberapa sifat - sifat dari bentuk akar itu sendiri.
Beberapa sifat bentuk akar yang akan sangat membantu kalian dalam merasionalkan bentuk akar adalah sebagai berikut :
Cara mudah untuk merasionalkan bentuk akar yang harus kalian lakukan pertama adalah mengenali bentuknya.
Cara mudah untuk merasionalkan bentuk akar kita bagi menjadi dua kelompok ya, yaitu :
$\diamond \ \dfrac{a}{\sqrt{b}} \times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}$
$\diamond \ \dfrac{a}{c\sqrt{b}} \times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{cb}$
Jika bentuk akarnya semakin kompleks maka bisa kita pakai akar sekawan untuk merasionalkannya.
Lebih jelas lagi perhatikan contoh - contoh bentuk akar yang saling sekawan.
$\diamond \ \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)$ sekawan dengan $\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)$.
$\diamond \ \left( a+\sqrt{b} \right)$ sekawan dengan $\left( a-\sqrt{b} \right)$.
$\diamond \ \left( \sqrt{a}+b \right)$ sekawan dengan $\left( \sqrt{a}-b \right)$.
Sehingga jika kita terapkan dalam soal akan menjadi seperti di bawah ini,
(a).
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{a-b}$
Merasionalkan bentuk akar sebenarnya sudah pernah kita bahas pada artikel yang lalu - lalu yang bertajuk rangkuman bilangan berpangkat dan bentuk akar.
Jadi kali aja ada yang masih belum baca langsung aja cari artikel tersebut ya, bisa melalui menu pencarian ataupun halaman Matematika SMP.
Secara konsep dalam matematika merasionalkan bentuk akar sebenarnya bertujuan untuk menyederhanakan bentuk akarnya yang berada pada penyebut.
Lebih mudahnya adalah dengan cara merasionalkan bentuk akar maka kita akan menghilangkan bentuk akar yang masih ada pada penyebut, sehingga bentuk akarnya akan pindah ke atas ke bagian pembilang pecahannya.
Nah.. adik - adik untuk bisa dengan mudah merasionalkan bentuk akar ada beberapa hal yang harus kalian pahami terlebih dahulu.
Tentu saja kalian harus memahami beberapa sifat - sifat dari bentuk akar itu sendiri.
Beberapa sifat bentuk akar yang akan sangat membantu kalian dalam merasionalkan bentuk akar adalah sebagai berikut :
- $\sqrt{a} \times \sqrt{a}=a$
- $\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)=a-b$
- $\left( a+\sqrt{b} \right)\left( a-\sqrt{b} \right)=a^{2}-b$
- $\left( \sqrt{a}+b \right)\left( \sqrt{a}-b \right)=a-b^{2}$
Rumus Merasionalkan Bentuk Akar
Setelah kalian mengetahui dan memahami beberapa sifat - sifat bentuk akar di atas, kita akan terapkan dalam rumus untuk merasionlkan bentuk akar di bawah ini.Cara mudah untuk merasionalkan bentuk akar yang harus kalian lakukan pertama adalah mengenali bentuknya.
Cara mudah untuk merasionalkan bentuk akar kita bagi menjadi dua kelompok ya, yaitu :
(1) Merasionalkan Akar Sejenis
Merasionalkan dengan akar sejenis kita lakukan jika pada posisi penyebut hanya ada satu bentuk akar tunggal yang sederhana.$\diamond \ \dfrac{a}{\sqrt{b}} \times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{b}$
$\diamond \ \dfrac{a}{c\sqrt{b}} \times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a \sqrt{b}}{cb}$
(2) Merasionalkan Akar Pakai Akar Sekawan
Secara kasat mata yang disebut dengan akar sekawan adalah bentuk fungsi akar yang memiliki bentuk yang sama tetapi dengan tanda yang berlawanan.Lebih jelas lagi perhatikan contoh - contoh bentuk akar yang saling sekawan.
$\diamond \ \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)$ sekawan dengan $\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)$.
$\diamond \ \left( a+\sqrt{b} \right)$ sekawan dengan $\left( a-\sqrt{b} \right)$.
$\diamond \ \left( \sqrt{a}+b \right)$ sekawan dengan $\left( \sqrt{a}-b \right)$.
Sehingga jika kita terapkan dalam soal akan menjadi seperti di bawah ini,
(a).
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{a-b}$
(b).
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{a+b}$
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{a+b}$
(c).
$\dfrac{k}{\left( a+\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( a-\sqrt{b} \right)}{\left( a-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( a-\sqrt{b} \right)}{a^{2}-b}$
$\dfrac{k}{\left( a+\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( a-\sqrt{b} \right)}{\left( a-\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( a-\sqrt{b} \right)}{a^{2}-b}$
(d).
$\dfrac{k}{\left( a-\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( a+\sqrt{b} \right)}{\left( a+\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( a+\sqrt{b} \right)}{a^{2}+b}$
$\dfrac{k}{\left( a-\sqrt{b} \right)} \times \dfrac{\left( a+\sqrt{b} \right)}{\left( a+\sqrt{b} \right)}=\dfrac{k \left( a+\sqrt{b} \right)}{a^{2}+b}$
(e).
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}+b \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}-b \right)}{\left( \sqrt{a}-b \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}-b \right)}{a-b^{2}}$
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}+b \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}-b \right)}{\left( \sqrt{a}-b \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}-b \right)}{a-b^{2}}$
(f).
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}-b \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}+b \right)}{\left( \sqrt{a}+b \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}+b \right)}{a+b^{2}}$
$\dfrac{k}{\left( \sqrt{a}-b \right)} \times \dfrac{\left( \sqrt{a}+b \right)}{\left( \sqrt{a}+b \right)}=\dfrac{k \left( \sqrt{a}+b \right)}{a+b^{2}}$
Soal Merasionalkan Bentuk Akar Kelas 9
Kumpulan beberapa soal merasionalkan bentuk akar di bawah ini semoga bisa membantu kalian lebih memahami bagiamana cara mudah merasionalkan pecahan bentuk akar.
No. 1 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk rasional dari $\dfrac{3}{\sqrt{6}}= \cdots$
Bentuk rasional dari $\dfrac{3}{\sqrt{6}}= \cdots$
$
\begin{align}
\dfrac{3}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} &= \dfrac{3\sqrt{6}}{6} \\
&= \dfrac{\sqrt{6}}{2}
\end{align}
$
No. 2 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk rasional dari $\dfrac{2}{-6\sqrt{5}}= \cdots$
Bentuk rasional dari $\dfrac{2}{-6\sqrt{5}}= \cdots$
$
\begin{align}
\dfrac{2}{-6\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} &= \dfrac{2 \sqrt{5}}{(-6)5} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{5}}{-30} \\
&= \dfrac{\sqrt{5}}{-15} \\
&= -\dfrac{\sqrt{5}}{15}
\end{align}
$
No. 3 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk rasional dari $\dfrac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}= \cdots$
Bentuk rasional dari $\dfrac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}= \cdots$
$
\begin{align}
\dfrac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \dfrac{5 \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2} \\
&= \dfrac{5 \sqrt{6}}{2}
\end{align}
$
No. 4 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk sederhana dari $4 \sqrt{\dfrac{2}{3}}= \cdots$
Bentuk sederhana dari $4 \sqrt{\dfrac{2}{3}}= \cdots$
Ingat bahwa $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$ \begin{align} 4 \sqrt{\dfrac{2}{3}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{4\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3} \\ &= \dfrac{4 \sqrt{6}}{3} \end{align} $
$ \begin{align} 4 \sqrt{\dfrac{2}{3}} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{4\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3} \\ &= \dfrac{4 \sqrt{6}}{3} \end{align} $
No. 5 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}= \cdots$
Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}= \cdots$
$
\begin{align}
\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3} \\
&= \dfrac{\sqrt{6}}{3}
\end{align}
$
No. 6 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk rasional dari $\dfrac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{7}}= \cdots$
Bentuk rasional dari $\dfrac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{7}}= \cdots$
Akar sekawan dari $\left( 3-\sqrt{7} \right)$ adalah $\left( 3+\sqrt{7} \right)$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{7}} \times \dfrac{\left( 3+\sqrt{7} \right)}{\left( 3+\sqrt{7} \right)} \\ &= \dfrac{\sqrt{3} \left( 3+\sqrt{7} \right)}{3^{2}-7} \\ &= \dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{21}}{9-7} \\ &= \dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{21}}{2} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 3\sqrt{3}+\sqrt{21} \right) \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{7}} \times \dfrac{\left( 3+\sqrt{7} \right)}{\left( 3+\sqrt{7} \right)} \\ &= \dfrac{\sqrt{3} \left( 3+\sqrt{7} \right)}{3^{2}-7} \\ &= \dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{21}}{9-7} \\ &= \dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{21}}{2} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( 3\sqrt{3}+\sqrt{21} \right) \end{align} $
No. 7 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk rasional dari $\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5}}= \cdots$
Bentuk rasional dari $\dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5}}= \cdots$
Fokus pada bagian penyebut ya...
Karena pada penyebut hanya ada $\sqrt{5}$ maka tinggal kita kali dengan akar yang sejenis, bukan akar sekawan.
Sehingga,
$ \begin{align} \dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} &= \dfrac{\sqrt{5} \left( 1+\sqrt{2} \right)}{5}\\ &= \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{10}}{5} \\ &= \dfrac{1}{5} \left( \sqrt{5}+\sqrt{10} \right) \end{align} $
Karena pada penyebut hanya ada $\sqrt{5}$ maka tinggal kita kali dengan akar yang sejenis, bukan akar sekawan.
Sehingga,
$ \begin{align} \dfrac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} &= \dfrac{\sqrt{5} \left( 1+\sqrt{2} \right)}{5}\\ &= \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{10}}{5} \\ &= \dfrac{1}{5} \left( \sqrt{5}+\sqrt{10} \right) \end{align} $
No. 8 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ ekuivalen dengan...
Bentuk $\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ ekuivalen dengan...
Akar sekawan dari $\left( 2-\sqrt{3} \right)$ adalah $\left( 2+\sqrt{3} \right)$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{\left( 2+\sqrt{3} \right)}{\left( 2+\sqrt{3} \right)} \\ &= \dfrac{\left( 2+\sqrt{3} \right) \left( 2+\sqrt{3} \right)}{2^{2}-3} \\ &= \dfrac{4+4\sqrt{3}+3}{4-3} \\ &= \dfrac{7+4\sqrt{3}}{1} \\ &= 7+4\sqrt{3} \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \dfrac{\left( 2+\sqrt{3} \right)}{\left( 2+\sqrt{3} \right)} \\ &= \dfrac{\left( 2+\sqrt{3} \right) \left( 2+\sqrt{3} \right)}{2^{2}-3} \\ &= \dfrac{4+4\sqrt{3}+3}{4-3} \\ &= \dfrac{7+4\sqrt{3}}{1} \\ &= 7+4\sqrt{3} \end{align} $
No. 9 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk $\dfrac{4-3\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}$ ekuivalen dengan...
Bentuk $\dfrac{4-3\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}}$ ekuivalen dengan...
Akar sekawan dari $\left( 4+3\sqrt{2} \right)$ adalah $\left( 4-3\sqrt{2} \right)$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{4-3\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}} \times \dfrac{\left( 4-3\sqrt{2} \right)}{\left( 4-3\sqrt{2} \right)} \\ &= \dfrac{\left( 4-3\sqrt{2} \right) \left( 4-3\sqrt{2} \right)}{4^{2}-(3\sqrt{2})^{2}} \\ &= \dfrac{16-12\sqrt{2}-12\sqrt{2}+(9 \cdot 2)}{16-(9 \cdot 2)} \\ &= \dfrac{16-24\sqrt{2}+18}{16-18} \\ &= \dfrac{34-24\sqrt{2}}{-2} \\ &= \dfrac{2 \left( 17-12\sqrt{2} \right)}{-2} \\ &= - \left( 17-12\sqrt{2} \right) \\ &= 12\sqrt{2} - 17 \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{4-3\sqrt{2}}{4+3\sqrt{2}} \times \dfrac{\left( 4-3\sqrt{2} \right)}{\left( 4-3\sqrt{2} \right)} \\ &= \dfrac{\left( 4-3\sqrt{2} \right) \left( 4-3\sqrt{2} \right)}{4^{2}-(3\sqrt{2})^{2}} \\ &= \dfrac{16-12\sqrt{2}-12\sqrt{2}+(9 \cdot 2)}{16-(9 \cdot 2)} \\ &= \dfrac{16-24\sqrt{2}+18}{16-18} \\ &= \dfrac{34-24\sqrt{2}}{-2} \\ &= \dfrac{2 \left( 17-12\sqrt{2} \right)}{-2} \\ &= - \left( 17-12\sqrt{2} \right) \\ &= 12\sqrt{2} - 17 \end{align} $
No. 10 Soal Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk $\dfrac{1+\sqrt{3}}{3-\sqrt{2}}$ ekuivalen dengan...
Bentuk $\dfrac{1+\sqrt{3}}{3-\sqrt{2}}$ ekuivalen dengan...
Akar sekawan dari $\left( 3-\sqrt{2} \right)$ adalah $\left( 3+\sqrt{2} \right)$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{1+\sqrt{3}}{3-\sqrt{2}} \times \dfrac{\left( 3+\sqrt{2} \right)}{\left( 3+\sqrt{2} \right)}\\ &= \dfrac{\left( 1+\sqrt{3} \right) \left( 3+\sqrt{2} \right)}{3^{2}-2} \\ &= \dfrac{3+\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{9-2} \\ &= \dfrac{1}{7} \left( 3+\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6} \right) \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} & \dfrac{1+\sqrt{3}}{3-\sqrt{2}} \times \dfrac{\left( 3+\sqrt{2} \right)}{\left( 3+\sqrt{2} \right)}\\ &= \dfrac{\left( 1+\sqrt{3} \right) \left( 3+\sqrt{2} \right)}{3^{2}-2} \\ &= \dfrac{3+\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{9-2} \\ &= \dfrac{1}{7} \left( 3+\sqrt{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{6} \right) \end{align} $
Penutup
Nah adik - adik sahabat kreatif, itulah cara mudah merasionalkan bentuk akar.
Pahami beberapa rumus yang sudah kita pelajari di atas dan rajin latihan niscaya kalian bakal bisa menaklukkan soal - soal merasionalkan bentuk akar dengan mudah dan cepat.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
