Rangkuman Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga Lengkap
Ini adalah rangkuman soal dan pembahasan lengkap mengenai konsep dan teori tentang limit tak hingga.
Salah satu jenis limit fungsi aljabar yang dibahas dikelas 11 dan 12 SMA adalah mengenai konsep dan teori dari limit fungsi dalam bentuk limit tak hingga.
Sebenarnya secara konsep dasar memang tak jauh dari konsep limit fungsi aljabar biasa.
Namun demikian karena batas pendekatannya dalam bentuk tak hingga maka tentu saja akan ada pendekatan - pendekatan yang spesifik untuk mengerjakannya.
Agar lebih mudah dalam memahaminya yuk kita berkenalan dulu dengan yang namanya konsep bilangan tak hingga.
Secara sepintas karena tak hingga ini bukanlah sebuah bilangan yang sejati namun sebuah simbol yang menyatakan atau ukuran sesuatu yang bernilai sangat besar namun pastinya berapa tidak ada satu orang pun yang tahu.
Itu kenapa beberapa konsep pada operasi bilangan juga tidak akan berlaku secara pasti pada konsep tak hingga ini.
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+ \cdots +z}{px^{n}+qx^{n-1}+rx^{n-2}+ \cdots +z}$
Metode penyelesaian dari sebuah limit tak hingga sedikit berbeda dengan menyelesaikan limit fungsi aljabar biasanya.
Penyelesaiannya dari limit tak hingga bentuk pecahan akan kita dapatkan dengan membagi antara pembilang dan penyebut masing - masing dengan $x$ pangkat tertingginya.
Lebih jelas lagi perhatikan beberapa contoh soal dari limit tak hingga bentuk pecahan sebagai berikut,
1. Contoh Limit Tak Hingga Pecahan
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}=\cdots$
Jawab :
Langkah awal kita identifikasi dulu dari soal di atas terlihat bahwa $x$ dengan pangkat tertingginya adalah $x^{3}$ sehingga kita akan bagi baik pembilang dan penyebutnya masing - masing dengan $x^{3}$.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}} &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{4x}{x^{3}}}{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1-\dfrac{4}{x^{2}}}{3+\dfrac{1}{x}} \\ &= \dfrac{1-\dfrac{4}{\infty}}{3+\dfrac{1}{\infty}} \\ &= \dfrac{1-0}{3+0} \\ &= \dfrac{1}{3} \end{align} $
2. Contoh Limit Tak Hingga Pecahan
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}+2x-6}{x^{2}+10}=\cdots$
Jawab :
Masih sama dengan soal sebelumnya terlihat bahwa $x$ dengan pangkat tertingginya adalah $x^{3}$.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}+2x-6}{x^{2}+10} &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x}{x^{3}}-\dfrac{6}{x^{3}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{10}{x^{3}}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{6}{x^{3}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{10}{x^{3}}} \\ &= \dfrac{1+\dfrac{2}{\infty}-\dfrac{6}{\infty}}{\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{10}{\infty}} \\ &= \dfrac{1+0-0}{0+0} \\ &= \dfrac{1}{0} \\ &= \infty \end{align} $
3. Contoh Limit Tak Hingga Pecahan
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{2}+x-1}{x^{4}+x^{3}-7}=\cdots$
Jawab :
Bentuk $x$ pangkat tertinggi dalam soal di atas ialah $x^{4}$.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{2}+x-1}{x^{4}+x^{3}-7} &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{x}{x^{4}}-\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{x^{3}}{x^{4}}-\dfrac{7}{x^{4}}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{4}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{7}{x^{4}}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{1}{\infty}}{1+\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{7}{\infty}} \\ &= \dfrac{0+0-0}{1+0-0} \\ &= \dfrac{0}{1} \\ &= 0 \end{align} $
Karena kenyataannya bahwa $\infty-\infty \ne 0$.
Bentuk umum dari limit tak hingga bentuk selisih akar adalah sebagai berikut :
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$
Langkah penyelesaiannya masih sama dengan limit tak hingga bentuk pecahan namun sebelum membaginya dengan $x$ pangkat tertingginya kita perlu dengan mengalikannya dengan akar sekawannya.
Hal ini tentu saja sangat lazim dilakukan seperti halnya limit fungsi aljabar bentuk akar pada umumnya.
Lebih jelas lagi kedua langkah di atas akan memberikan hasil sebagai berikut :
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$
Jika,
$a=p$ maka $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$a \gt p$ maka $\infty$.
$a \lt p$ maka $-\infty$.
Perhatikan beberapa contoh soal limit tak hingga selisih dua akar berikut pembahasannya berikut ini.
1. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}+5x+1}-\sqrt{4x^{2}+8x+3}=\cdots$
Jawab :
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\underbrace{4}_{\color{red}{a}}x^{2}+\underbrace{5}_{\color{red}{b}}x+\underbrace{1}_{\color{red}{c}}}-\sqrt{\underbrace{4}_{\color{red}{p}}x^{2}+\underbrace{8}_{\color{red}{q}}x+\underbrace{3}_{\color{red}{r}}}$
Karena nilai $a=p=4$, maka
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}+5x+1}-\sqrt{4x^{2}+8x+3} \\ &= \dfrac{5-8}{2\sqrt{4}} \\ &= \dfrac{-3}{2(2)} \\ &= -\dfrac{3}{4} \end{align} $
2. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right)=\cdots$
Jawab :
Langkah awal untuk mengerjakannya adalah dengan mengubahnya dulu menjadi bentuk selisih dua akar.
Ingat kembali bahwa,
$a=\sqrt{a^{2}}$
Sehingga,
$\begin{align} \left( 3x+5 \right) &= \sqrt{\left( 3x+5 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{9x^{2}+30x+25} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \sqrt{9x^{2}+30x+25} \\ &= \dfrac{-24-30}{2\sqrt{9}} \\ &= \dfrac{-54}{2(6)} \\ &= -\dfrac{54}{12} \\ &= -\dfrac{9}{2} \end{align} $
3. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( x-3 \right)-\sqrt{x^{2}-8x+1} =\cdots$
Jawab :
Langkah awal kita ubah dulu tetap mengikuti bentuk dasarnya saelisih dua akar sebagaimana contoh sebelumnya.
Sehingga,
$\begin{align} \left( x-3 \right) &= \sqrt{\left( x-3 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{x^{2}-6x+9} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \left( x-3 \right)-\sqrt{x^{2}-8x+1} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x^{2}-6x+9}-\sqrt{x^{2}-8x+1} \\ &= \dfrac{-6-(-8)}{2\sqrt{1}} \\ &= \dfrac{-6+8}{2} \\ &= 1 \end{align} $
4. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-2x+5 =\cdots$
Jawab :
Perhatikan bagian fungsi paling belakang dalam soal.
Hati - hati karena disini kita perlu mengeluarkan tanda negatif sebelum membentuknya menjadi fungsi dalam bentuk akar sebagaimana contoh - contoh soal sebelumnya.
Sehingga,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-2x+5 \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}- \left( 2x-5 \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}- \sqrt{\left( 2x-5 \right)^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\sqrt{4x^{2}-20x+25} \\ &= \dfrac{-(-5)-(-20)}{2\sqrt{4}} \\ &= \dfrac{5+20)}{2(2)} \\ &= \dfrac{25}{4} \end{align} $
5. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\left( x+8 \right) =\cdots$
Jawab :
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\left( x+8 \right)\\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}- \sqrt{\left( x+8 \right)^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\sqrt{x^{2}+16x+64} \\ &= \infty \end{align} $
Lho kenapa kok hasilnya langsung $\infty$ ???
Sebagaimana formula pada konsep teori limit tak hingga bentuk selisih akar, bahwa jika nilai $a \gt p$ maka hasil dari limitnya adalah $\infty$.
Sebenarnya secara konsep dasar memang tak jauh dari konsep limit fungsi aljabar biasa.
Namun demikian karena batas pendekatannya dalam bentuk tak hingga maka tentu saja akan ada pendekatan - pendekatan yang spesifik untuk mengerjakannya.
Agar lebih mudah dalam memahaminya yuk kita berkenalan dulu dengan yang namanya konsep bilangan tak hingga.
Teori Tak Hingga
Dalam istilah sehari hari orang sering menyebut istilah tak hingga untuk mengungkapkan sesuatu yang tidak terbatas.
Secara bahasa tak hingga disebut juga dengan nama "infinity" dalam bahasa inggris.
Disimbolkan dengan notasi seperti angka delapan yang tidur "$\infty$".
Ada juga definisi lain dalam teori himpunan mengatakan bahwa sebenarnya tak hingga bukan benar - benar bilangan.
Itu kenapa beberapa konsep pada operasi bilangan juga tidak akan berlaku secara pasti pada konsep tak hingga ini.
Sifat - Sifat Bilangan Tak Hingga
Beberapa sifat bilangan tak hingga yang wajib kalian ketahui :
- $\infty+\infty=\infty$
- $-\infty-\infty = -\infty$
- $0^{\infty}=0$
- $0^{-\infty}=\infty$
- $\infty \times \infty=\infty$
Konsep Limit Tak Hingga
Setelah mengetahui beberapa sifat dari bilangan tak hingga sekarang kita akan bahas mengenai konsep dari limit tak hingga.
Mengapa demikian?
Mengapa demikian?
Terlihat jelas dalam sifat bilangan tak hingga mengapa tidak ada sifat $\dfrac{\infty}{\infty}$ =1 ?
Karena tidak ada yang tahu pasti berapa pastinya nilai dari bilangan tak hingga itu sendiri maka untuk menghitung nilai dari $\dfrac{\infty}{\infty}$ kita akan membutuhkan konsep pendekatan yang lebih kita kenal dengan konsep limit.
Kenyataannya adalah $\dfrac{\infty}{\infty} \ne 1$.
Sehingga muncullah bentuk limit tak hingga yang pertama yaitu limit tak hingga bentuk pecahan $\dfrac{\infty}{\infty}$.
Limit Tak Hingga Pecahan
Limit tak hingga bentuk pecahan ini mempunyai bentuk umum sebagai berikut,
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^{m}+bx^{m-1}+cx^{m-2}+ \cdots +z}{px^{n}+qx^{n-1}+rx^{n-2}+ \cdots +z}$
Metode penyelesaian dari sebuah limit tak hingga sedikit berbeda dengan menyelesaikan limit fungsi aljabar biasanya.
Penyelesaiannya dari limit tak hingga bentuk pecahan akan kita dapatkan dengan membagi antara pembilang dan penyebut masing - masing dengan $x$ pangkat tertingginya.
Lebih jelas lagi perhatikan beberapa contoh soal dari limit tak hingga bentuk pecahan sebagai berikut,
1. Contoh Limit Tak Hingga Pecahan
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}=\cdots$
Jawab :
Langkah awal kita identifikasi dulu dari soal di atas terlihat bahwa $x$ dengan pangkat tertingginya adalah $x^{3}$ sehingga kita akan bagi baik pembilang dan penyebutnya masing - masing dengan $x^{3}$.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}} &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{4x}{x^{3}}}{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{x^{2}}{x^{3}}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1-\dfrac{4}{x^{2}}}{3+\dfrac{1}{x}} \\ &= \dfrac{1-\dfrac{4}{\infty}}{3+\dfrac{1}{\infty}} \\ &= \dfrac{1-0}{3+0} \\ &= \dfrac{1}{3} \end{align} $
2. Contoh Limit Tak Hingga Pecahan
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}+2x-6}{x^{2}+10}=\cdots$
Jawab :
Masih sama dengan soal sebelumnya terlihat bahwa $x$ dengan pangkat tertingginya adalah $x^{3}$.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{3}+2x-6}{x^{2}+10} &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{2x}{x^{3}}-\dfrac{6}{x^{3}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{3}}+\dfrac{10}{x^{3}}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{2}{x^{2}}-\dfrac{6}{x^{3}}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{10}{x^{3}}} \\ &= \dfrac{1+\dfrac{2}{\infty}-\dfrac{6}{\infty}}{\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{10}{\infty}} \\ &= \dfrac{1+0-0}{0+0} \\ &= \dfrac{1}{0} \\ &= \infty \end{align} $
3. Contoh Limit Tak Hingga Pecahan
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{2}+x-1}{x^{4}+x^{3}-7}=\cdots$
Jawab :
Bentuk $x$ pangkat tertinggi dalam soal di atas ialah $x^{4}$.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{2}+x-1}{x^{4}+x^{3}-7} &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x^{2}}{x^{4}}+\dfrac{x}{x^{4}}-\dfrac{1}{x^{4}}}{\dfrac{x^{4}}{x^{4}}+\dfrac{x^{3}}{x^{4}}-\dfrac{7}{x^{4}}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{4}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{7}{x^{4}}} \\ &= \dfrac{\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{1}{\infty}}{1+\dfrac{1}{\infty}-\dfrac{7}{\infty}} \\ &= \dfrac{0+0-0}{1+0-0} \\ &= \dfrac{0}{1} \\ &= 0 \end{align} $
Limit Tak Hingga Selisih Akar
Limit tak hingga bentuk selisih akar ini muncul sebagai solusi atau metode pendekatan untuk memecahkan persoalan $\infty-\infty$.Karena kenyataannya bahwa $\infty-\infty \ne 0$.
Bentuk umum dari limit tak hingga bentuk selisih akar adalah sebagai berikut :
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$
Langkah penyelesaiannya masih sama dengan limit tak hingga bentuk pecahan namun sebelum membaginya dengan $x$ pangkat tertingginya kita perlu dengan mengalikannya dengan akar sekawannya.
Hal ini tentu saja sangat lazim dilakukan seperti halnya limit fungsi aljabar bentuk akar pada umumnya.
Lebih jelas lagi kedua langkah di atas akan memberikan hasil sebagai berikut :
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r}$
Jika,
$a=p$ maka $\dfrac{b-q}{2\sqrt{a}}$.
$a \gt p$ maka $\infty$.
$a \lt p$ maka $-\infty$.
Perhatikan beberapa contoh soal limit tak hingga selisih dua akar berikut pembahasannya berikut ini.
1. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}+5x+1}-\sqrt{4x^{2}+8x+3}=\cdots$
Jawab :
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\underbrace{4}_{\color{red}{a}}x^{2}+\underbrace{5}_{\color{red}{b}}x+\underbrace{1}_{\color{red}{c}}}-\sqrt{\underbrace{4}_{\color{red}{p}}x^{2}+\underbrace{8}_{\color{red}{q}}x+\underbrace{3}_{\color{red}{r}}}$
Karena nilai $a=p=4$, maka
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}+5x+1}-\sqrt{4x^{2}+8x+3} \\ &= \dfrac{5-8}{2\sqrt{4}} \\ &= \dfrac{-3}{2(2)} \\ &= -\dfrac{3}{4} \end{align} $
2. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right)=\cdots$
Jawab :
Langkah awal untuk mengerjakannya adalah dengan mengubahnya dulu menjadi bentuk selisih dua akar.
Ingat kembali bahwa,
$a=\sqrt{a^{2}}$
Sehingga,
$\begin{align} \left( 3x+5 \right) &= \sqrt{\left( 3x+5 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{9x^{2}+30x+25} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \sqrt{9x^{2}+30x+25} \\ &= \dfrac{-24-30}{2\sqrt{9}} \\ &= \dfrac{-54}{2(6)} \\ &= -\dfrac{54}{12} \\ &= -\dfrac{9}{2} \end{align} $
3. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \left( x-3 \right)-\sqrt{x^{2}-8x+1} =\cdots$
Jawab :
Langkah awal kita ubah dulu tetap mengikuti bentuk dasarnya saelisih dua akar sebagaimana contoh sebelumnya.
Sehingga,
$\begin{align} \left( x-3 \right) &= \sqrt{\left( x-3 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{x^{2}-6x+9} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \left( x-3 \right)-\sqrt{x^{2}-8x+1} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x^{2}-6x+9}-\sqrt{x^{2}-8x+1} \\ &= \dfrac{-6-(-8)}{2\sqrt{1}} \\ &= \dfrac{-6+8}{2} \\ &= 1 \end{align} $
4. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-2x+5 =\cdots$
Jawab :
Perhatikan bagian fungsi paling belakang dalam soal.
Hati - hati karena disini kita perlu mengeluarkan tanda negatif sebelum membentuknya menjadi fungsi dalam bentuk akar sebagaimana contoh - contoh soal sebelumnya.
Sehingga,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-2x+5 \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}- \left( 2x-5 \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}- \sqrt{\left( 2x-5 \right)^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\sqrt{4x^{2}-20x+25} \\ &= \dfrac{-(-5)-(-20)}{2\sqrt{4}} \\ &= \dfrac{5+20)}{2(2)} \\ &= \dfrac{25}{4} \end{align} $
5. Contoh Limit Tak Hingga Akar
$\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\left( x+8 \right) =\cdots$
Jawab :
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\left( x+8 \right)\\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}- \sqrt{\left( x+8 \right)^{2}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4x^{2}-5x+2}-\sqrt{x^{2}+16x+64} \\ &= \infty \end{align} $
Lho kenapa kok hasilnya langsung $\infty$ ???
Sebagaimana formula pada konsep teori limit tak hingga bentuk selisih akar, bahwa jika nilai $a \gt p$ maka hasil dari limitnya adalah $\infty$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah rangkuman konsep teori, soal dan pembahasan mengenai limit tak hingga.
Semoga bisa membantu kalian untuk lebih memahami lagi tentang konsep limit tak hingga.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
