Rangkuman Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Ini adalah rangkuman lengkap materi bilangan berpangkat dan bentuk akar beserta contoh soal dan pembahasan.
Materi bilangan berpangkat dan bentuk akar merupakan salah satu materi yang penting banget buat kamu pelajari karena materi ini akan ngebantu kamu buat lebih paham nantinya materi lain yang berhubungan dengan pangkat dan akar.
Untuk memahami materi bilangan berpangkat dan bentuk akar maka kamu butuh lebih dulu belajar definisi dan sifat - sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar.
Sebenarnya ketika masih SD kamu sedikit sudah ketemu nih sama konsep dasar dari bilangan berpangkat dan bentuk akar.
Ngga usah bingung, materi bilangan berpangkat dan bentuk akar ini sebenarnya termasuk materi yang mudah dengan catatan kamu benar - benar memahami definisi dan sifat - sifatnya.
Sifat bilangan berpangkat memang lebih dari satu, tapi seiring dengan sering latihan kamu bakal hapal dengan sendirinya kok sifat - sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar.
Kamu juga bisa cari referensi lain jika dibutuhkan, materi bilangan berpangkat dan bentuk akar akan sangat mudah kamu temukan di buku - buku BSE terbitan diknas ataupun buku - buku lain yang banyak beredar di toko buku kesayanganmu.
Oke kita mulai bahasannya ya..
Definisi Bilangan Berpangkat
Suatu bilangan berpangkat mempunyai definisi atau aturan dasar sebagai berikut,
$a^{n}=\underbrace{ a \ \text{x} \ a \ \text{x} \ a \ \text{x} \ a \ \text{x} \dots \text{x} \ a }_{n \ \text{faktor}}$
Sifat - Sifat Bilangan Berpangkat
Beberapa sifat - sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar berikut wajib untuk kalian ketahui, diantaranya :- $a^{n} \ \text{x} \ a^{m}=a^{m+n}$
- $\dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$
- $(a^{m})^{n}=a^{m \ \text{x} \ n}$
- $(ab)^{n}=a^{n} \ \text{x} \ b^{n}$
- $\left( \dfrac{a}{b} \right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
- $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$
- $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{m}$
- $a^{0}=1$
Operasi Bentuk Akar
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Bilangan bentuk akar pada dasarnnya hanya bisa dijumlah dan dikurangi dengan bentuk akar yang sejenis atau sama.
Lebih jelas lagi perhatikan operasi penjumlahan dan pengurangan berikut ini ya.
- $a\sqrt{b}+c\sqrt{b}=(a+c)\sqrt{b}$
- $a\sqrt{b}-c\sqrt{b}=(a-c)\sqrt{b}$
2. Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
Berbeda sekali dengan sebelumnya, operasi bilangan bentuk akar jauh lebih ramah jika dalam bentuk perkalian dan pembagian.
- $a\sqrt{b} \ \text{x} \ c\sqrt{d}=(ac)\sqrt{bd}$
- $\sqrt{\dfrac{a}{b}} =\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Merasionalkan Bentuk Akar
Merasionalkan bentuk akar artinya adalah menghilangkan bentuk akar yang ada pada posisi penyebut suatu pecahan bilangan menjadi posisi pembilang hasil akhirnya.
Untuk merasionalkan suatu bilangan bentuk akar maka kamu harus sedikit jeli.
Karena pada dasarnya untuk bisa merasionalkan bentuk akar ada dua cara yang bisa kamu lakukan.
1. Merasionalkan Bentuk Akar Sejenis
Jika bentuk akarnya sederhana, kamu bisa mengalikannya dengan akar yang sejenis untuk merasionalkannya.
- $\dfrac{a}{\sqrt{b}} \ \text{x} \ \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{b}$
2. Merasionalkan Bentuk Akar Kali Akar Sekawan
Jika bentuk akarnya dalam bentuk penjumlah atau pengurangan maka kamu bisa mengalikannya dengan bentuk akar sekawan.
Apa itu bentuk akar sekawan???
Pada dasarnya bentuk akar sekawan adalah suatu bentuk akar yang jika kita kalikan secara berpasangan maka akan menghilangkan bagian akarnya sendiri.
Atau lebih mudahnya bentuk akar sekawan adalah bentuk dua buah bentuk akar yang mirip tetapi hanya berbeda tandanya saja.
Misalnya adalah bentuk akar $a+\sqrt{b}$ akan mempunyai bentuk akar sekawan yaitu $a-\sqrt{b}$, demikian seterusnya.
Perhatikan cara mengalikannya dengan bentuk akar sekawan berikut ya,
- $\dfrac{k}{a+\sqrt{b}} \ \text{x} \ \dfrac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\dfrac{k(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}$
- $\dfrac{k}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \ \text{x} \ \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{k(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$
Soal dan Pembahasan Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
Beberapa soal di bawah ini merupakan kumpulan soal - soal bilangan berpangkat dan bentuk akar yang pernah dikeluarkan pada Ujian Nasional (UN) SMP, tugas - tugas sekolah atau soal online yang dirangkai dari berbagai sumber yang ada.
Soal 1. UN Matematika SMP 2017
Hasil dari $81^{\frac{3}{4}}$ adalah...
$
\begin{align}
&(A)\ 18 \\
&(B)\ 27 \\
&(C)\ 36 \\
&(D)\ 54
\end{align}
$
$
\begin{align}
81^{\frac{3}{4}} &= \left( 3^{4} \right)^{\frac{3}{4}} \\
&= 3^{3} \\
&= 27
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B).\ 27$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B).\ 27$
Soal 2. UN Matematika SMP 2017
Hasil dari $2\sqrt{3} \ \text{x} \ \sqrt{18} \ \text{:} \ \sqrt{2}$ adalah...
$
\begin{align}
&(A)\ 2\sqrt{2} \\
&(B)\ 2\sqrt{3} \\
&(C)\ 6\sqrt{2} \\
&(D)\ 6\sqrt{3}
\end{align}
$
$
\begin{align}
2\sqrt{3} \ \text{x} \ \sqrt{18} \ \text{:} \ \sqrt{2} &= \dfrac{2\sqrt{3} \ \text{x} \ \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{2\sqrt{3} \ \text{x} \ 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
&= 6\sqrt{3} \ \text{x} \ \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
&= 6\sqrt{3} \ \text{x} \ 1 \\
&= 6\sqrt{3}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 6\sqrt{3}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 6\sqrt{3}$.
Soal 3. UN Matematika SMP 2018
Bentuk sederhana dari $\dfrac{2\sqrt{98}+3\sqrt{72}}{5\sqrt{75}-3\sqrt{48}}$ adalah...
$
\begin{align}
&(A)\ \dfrac{32\sqrt{2}}{21} \\
&(B)\ \dfrac{32\sqrt{3}}{21} \\
&(C)\ \dfrac{32\sqrt{5}}{39} \\
&(D)\ \dfrac{32\sqrt{6}}{39}
\end{align}
$
$
\begin{align}
\dfrac{2\sqrt{98}+3\sqrt{72}}{5\sqrt{75}-3\sqrt{48}} &= \dfrac{2\sqrt{49}\sqrt{2}+3\sqrt{36}\sqrt{2}}{5\sqrt{25}\sqrt{3}-3\sqrt{16}\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{14\sqrt{2}+18\sqrt{2}}{25\sqrt{3}-12\sqrt{3}} \\
&= \dfrac{32\sqrt{2}}{13\sqrt{3}}
\end{align}
$
Langkah terakhir tinggal kita rasionalkan menjadi bentuk akar paling sederhana seperti yang ada pada pilihan jawaban soal.
$ \begin{align} &= \dfrac{32\sqrt{2}}{13\sqrt{3}} \ \text{x} \ \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{32\sqrt{6}}{39} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \dfrac{32\sqrt{6}}{39}$.
Langkah terakhir tinggal kita rasionalkan menjadi bentuk akar paling sederhana seperti yang ada pada pilihan jawaban soal.
$ \begin{align} &= \dfrac{32\sqrt{2}}{13\sqrt{3}} \ \text{x} \ \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{32\sqrt{6}}{39} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \dfrac{32\sqrt{6}}{39}$.
Soal 4. Tugas Sekolah Matematika SMP
Bentuk sederhana dari $\left( 1+3\sqrt{2} \right)-\left( 4-\sqrt{50} \right)$ adalah...
$
\begin{align}
&(A)\ -2\sqrt{2}-3 \\
&(B)\ -2\sqrt{2}+5 \\
&(C)\ 8\sqrt{2}-3 \\
&(D)\ 8\sqrt{2}+5
\end{align}
$
$
\begin{align}
& \left( 1+3\sqrt{2} \right)-\left( 4-\sqrt{50} \right) \\
&= 1+3\sqrt{2}-4+\sqrt{50} \\
&= 1+3\sqrt{2}-4+\sqrt{25}\sqrt{2} \\
&= -3+3\sqrt{2}+5\sqrt{2} \\
&= 8\sqrt{2}-3
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ 8\sqrt{2}-3$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ 8\sqrt{2}-3$.
Soal 5. Ulangan Harian Matematika 9 SMP
Nilai dari $5^{5}+5^{5}+5^{5}+5^{5}+5^{5}$ adalah...
$
\begin{align}
&(A)\ 51^{25}\\
&(B)\ 25^{25} \\
&(C)\ 5^{25} \\
&(D)\ 5^{6}
\end{align}
$
$
\begin{align}
5^{5}+5^{5}+5^{5}+5^{5}+5^{5} &= 5 \ \text{x} \ 5^{5} \\
&= 5^{1} \ \text{x} \ 5^{5} \\
&= 5^{1+5} \\
&= 5^{6}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 5^{6}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 5^{6}$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah rangkuman bilangan berpangkat dan bentuk akar yang sudah kita bahas lengkap mulai dari konsep teori, soal dan pembahasannya.
Kamu bisa pakai sebagai bahan latihan dan latihan agar semakin paham kedepannya.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
