Pembuktian Asal Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Ini adalah pembahasan lengkap pembuktian darimana asal rumus abc untuk mencari akar - akar persamaan kuadrat.
Dalam konsep persamaan kuadrat diperkenalkan tiga cara atau metode dalam mencari nilai akar - akarnya, diantaranya pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan Rumus ABC.
Kalian pasti sudah tidak asing lagi dengan yang namanya Rumus ABC bukan?
Rumus ABC ditemukan oleh matematikawan genius yang hidup sekitar abad 8 di Bagdad (Irak) yang dikenal dengan bapak aljabar, tak lain dan tak bukan ialah Muhammad bin Musa Al-Khawarizmi.
Beliaulah yang meletakkan pondasi dasar dalam aljabar termasuk di dalamnya terkait akar - akar dari persamaan kuadrat yang melahirkan metode dengan Rumus ABC.
Rumus ABC beberapa kalangan ada juga yang menyebutnya juga dengan istilah rumus kuadratik yang mengacu pada fungsinya sebagai rumus untuk mencari nilai akar - akar dari sebuah persamaan kuadrat.
Nah bagaimana asal muasal dari Rumus ABC tersebut?
Kalian harus menyimak pembahasan ini sampai akhir ya.
$ax^{2}+bx+c=0$
Agar lebih mudah dalam menurunkan rumusnya kita bisa pakai konsep dari melengkapkan kuadrat sempurna.
Ingat kembali persamaan yang sering dipakai dalam kuadrat sempurna yaitu :
$x^2+mx= \left(x+\dfrac{m}{2} \right)^2 - \left(\dfrac{m}{2} \right)^2$.
Berikut asal muasal rumus ABC dengan melengkapkan kuadrat sempurna,
$ \begin{align} ax^2+bx+c & = 0 \, \, \, \, \color{red}{\text{ (bagi } a \text{ kedua ruas)}} \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x+\frac{c}{a} & = 0 \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x & = - \dfrac{c}{a} \\ \end{align} $
Selanjutnya dengan menggunakan
$\color{blue}{ x^2+mx} \ \color{blue}{ = \left(x+\dfrac{m}{2} \right)^2 - \left(\dfrac{m}{2} \right)^2}$
Maka kita akan dapatkan,
$ \begin{align} x^2 + \dfrac{b}{a}x & = - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \left(\dfrac{b}{2a} \right)^2 & = - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} & = - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 & = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 & = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{4ac}{4a^2} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 & = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right) & = \pm \sqrt{ \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} } \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right) & = \pm \dfrac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align} $
Dengan demikian,
$\color{blue}{ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}} $
Jawab :
Dari persamaan kuadrat $x^{2}+2x-8=0$ kita akan dapatkan, $a=1$, $b=2$ dan $c=-8$.
Dengan menggunakan rumus ABC kita akan dapatkan nilai akar - akarnya yaitu,
$ \begin{align} x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4(1)(-8)} }{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32} }{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 6 }{2} \\ \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} x_1 &= \dfrac{-2 + 6 }{2} \\ &= 2 \end{align} $
$ \begin{align} x_2 &= \dfrac{-2 - 6 }{2} \\ &= -4 \end{align} $
Karena $m \lt n$ maka nilai $m$ dan $n$ yang sebenarnya adalah $m=-8$ dan $n=2$ sehingga,
$ \begin{align} 2m^{2}-n &= 2(-8)^{2}-2 \\ &= 128-2 \\ &= 126 \end{align} $
Jawab :
$ \begin{align} x^{2}+5x-8 &= -2 \\ x^{2}+5x-6=0 \end{align} $
Kita dapatkan $a=1$, $b=5$ dan $c=-6$.
Sehingga,
$ \begin{align} x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-4(1)(-6)} }{2(1)} \\ &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+24} }{2} \\ &= \dfrac{-5 \pm 7 }{2} \\ \end{align} $
$\clubsuit$
$ \begin{align} x_1 &= \dfrac{-5 + 7 }{2} \\ &= 1 \end{align} $
$\clubsuit$
$ \begin{align} x_2 &= \dfrac{-5 - 7 }{2} \\ &= -6 \end{align} $
Dengan demikian, $\alpha=1$ dan $\beta=-6$.
Jadi,
$ \begin{align} 2\alpha+\beta &= 2(1)+(-6) \\ &= -4 \end{align} $
Dalam konsep persamaan kuadrat diperkenalkan tiga cara atau metode dalam mencari nilai akar - akarnya, diantaranya pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan Rumus ABC.
Kalian pasti sudah tidak asing lagi dengan yang namanya Rumus ABC bukan?
Rumus ABC
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Beliaulah yang meletakkan pondasi dasar dalam aljabar termasuk di dalamnya terkait akar - akar dari persamaan kuadrat yang melahirkan metode dengan Rumus ABC.
Rumus ABC beberapa kalangan ada juga yang menyebutnya juga dengan istilah rumus kuadratik yang mengacu pada fungsinya sebagai rumus untuk mencari nilai akar - akar dari sebuah persamaan kuadrat.
Nah bagaimana asal muasal dari Rumus ABC tersebut?
Kalian harus menyimak pembahasan ini sampai akhir ya.
Pembuktian Asal Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Untuk membuktikan asal mula bagaimana rumus ABC didapatkan kita bisa mulai dengan bentuk dasar dari persamaan kuadrat itu sendiri.$ax^{2}+bx+c=0$
Agar lebih mudah dalam menurunkan rumusnya kita bisa pakai konsep dari melengkapkan kuadrat sempurna.
Ingat kembali persamaan yang sering dipakai dalam kuadrat sempurna yaitu :
$x^2+mx= \left(x+\dfrac{m}{2} \right)^2 - \left(\dfrac{m}{2} \right)^2$.
Berikut asal muasal rumus ABC dengan melengkapkan kuadrat sempurna,
$ \begin{align} ax^2+bx+c & = 0 \, \, \, \, \color{red}{\text{ (bagi } a \text{ kedua ruas)}} \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x+\frac{c}{a} & = 0 \\ x^2 + \dfrac{b}{a}x & = - \dfrac{c}{a} \\ \end{align} $
Selanjutnya dengan menggunakan
$\color{blue}{ x^2+mx} \ \color{blue}{ = \left(x+\dfrac{m}{2} \right)^2 - \left(\dfrac{m}{2} \right)^2}$
Maka kita akan dapatkan,
$ \begin{align} x^2 + \dfrac{b}{a}x & = - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \left(\dfrac{b}{2a} \right)^2 & = - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2} & = - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 & = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{a} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 & = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{4ac}{4a^2} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right)^2 & = \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right) & = \pm \sqrt{ \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} } \\ \left(x + \dfrac{b}{2a} \right) & = \pm \dfrac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = - \dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align} $
Dengan demikian,
$\color{blue}{ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}} $
Selanjutnya bentuk $b^{2}-4ac$ dalam persamaan kuadrat disebut juga dengan nama diskriminan(D).
$D=b^{2}-4ac$
Nilai diskriminan akan sangat berguna nantinya untuk menentukan jenis - jenis akar dari persamaan kuadrat.
Terdapat empat jenis akar persamaan kuadrat :
- $D \ge 0$ $\to$ akar - akarnya real/nyata.
- $D \gt 0$ $\to$ akar - akarnya real/nyata dan berbeda.
- $D = 0$ $\to$ akar - akarnya real/nyata dan sama/kembar.
- $D \lt 0$ $\to$ akar - akarnya imajiner/khayal/tidak real.
Contoh Soal Penggunaan Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Beberapa soal di bawah ini akan membantu kalian lebih memahami lebih bagaimana penggunaan dari rumus ABC untuk menentukan nilai akar - akar dari persamaan kuadrat itu sendiri.
Contoh 1
Penggunaan Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Penggunaan Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Jika $m$ dan $n$ memenuhi $m \lt n$ merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+2x-8=0$ maka nilai dari $2m^{2}-n$ adalah...
Jawab :
Dari persamaan kuadrat $x^{2}+2x-8=0$ kita akan dapatkan, $a=1$, $b=2$ dan $c=-8$.
Dengan menggunakan rumus ABC kita akan dapatkan nilai akar - akarnya yaitu,
$ \begin{align} x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{(2)^2-4(1)(-8)} }{2(1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+32} }{2} \\ &= \dfrac{-2 \pm 6 }{2} \\ \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} x_1 &= \dfrac{-2 + 6 }{2} \\ &= 2 \end{align} $
$ \begin{align} x_2 &= \dfrac{-2 - 6 }{2} \\ &= -4 \end{align} $
Karena $m \lt n$ maka nilai $m$ dan $n$ yang sebenarnya adalah $m=-8$ dan $n=2$ sehingga,
$ \begin{align} 2m^{2}-n &= 2(-8)^{2}-2 \\ &= 128-2 \\ &= 126 \end{align} $
Contoh 2
Penggunaan Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Penggunaan Rumus ABC Persamaan Kuadrat
Jika $\alpha$ dan $\beta$ merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+5x-8=-2$ yang memenuhi $\alpha \gt \beta$ maka nilai dari $2\alpha+\beta$ adalah...
Jawab :
$ \begin{align} x^{2}+5x-8 &= -2 \\ x^{2}+5x-6=0 \end{align} $
Kita dapatkan $a=1$, $b=5$ dan $c=-6$.
Sehingga,
$ \begin{align} x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{(5)^2-4(1)(-6)} }{2(1)} \\ &= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25+24} }{2} \\ &= \dfrac{-5 \pm 7 }{2} \\ \end{align} $
$\clubsuit$
$ \begin{align} x_1 &= \dfrac{-5 + 7 }{2} \\ &= 1 \end{align} $
$\clubsuit$
$ \begin{align} x_2 &= \dfrac{-5 - 7 }{2} \\ &= -6 \end{align} $
Dengan demikian, $\alpha=1$ dan $\beta=-6$.
Jadi,
$ \begin{align} 2\alpha+\beta &= 2(1)+(-6) \\ &= -4 \end{align} $
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah pembahasan lengkap tentang pembuktian asal rumus ABC persamaan kuadrat.
Baca juga topik - topik matematika lainnya yang menarik sesuai dengan satuan topik yang kalian pelajari sekolah hanya di kreatifmatematika.com
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika artikel ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
