Ini adalah pembahasan lengkap tentang bagaimana cara mudah mencari turunan dari sebuah fungsi nilai mutlak.
Mencari turunan dari sebuah fungsi dalam bentuk nilai mutlak akan sangat berbeda dengan mencari turunan fungsi yang lain pada umumnya.
Ada beberapa hal yang harus kita pahami terutama definisi dari fungsi bentuk nilai mutlak itu sendiri.
Jenis soal turunan yang melibatkan nilai mutlak memang terbilang agak jarang di bahas di kelas, namun untuk olimpiade tingkat SMA soal jenis ini sudah lama menampakkan diri.
Oke mari kita mulai bahas mulai dari hal yang paling dasar dulu, sehingga nanti ketika kita mencari turunan dari fungsi nilai mutlaknya kita tidak akan kebingungan.
Definisi Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak.
Nilai mutlak dari suatu bilangan real $x$ dinyatakan dalam bentuk $|x|$ yang didefinisikan sebagai berikut,
$
|x| =
\left\{\begin{array}{cc}
x & ,\text{untuk}\ x \geq 0 \\
-x & ,\text{untuk}\ x \lt 0
\end{array} \right.
$
Grafik Fungsi Nilai Mutlak
Sebuah fungsi nilai mutlak $f(x)=|x|$ akan mempunyai grafik sebagaimana gambar di bawah ini.
 |
| Grafik fungsi $f(x)=|x|$ |
Sifat - Sifat Nilai Mutlak
Nilai mutlak berperilaku manis pada operasi perkalian dan pembagian, tetapi tidak begitu baik dalam hal penjumlahan dan pengurangan, yaitu :
-
$\left | xy \right |=\left | x \right |\left | y \right |$
-
$\left | \dfrac{x}{y} \right |=\dfrac{\left | x \right |}{\left | y \right |}$
-
$\left | x+y \right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |$
-
$\left | x-y \right |\geq \left | x \right |-\left | y \right |$
-
$a\left | x \right |=\left | x \right |a$, untuk $a$ sebuah konstanta.
Soal dan Pembahasan Turunan Nilai Mutlak
Sekarang kita akan coba mengerjakan beberapa soal tentang turunan dari fungsi nilai mutlak.
Contoh 1. DENTINE 2016 - FKG UNAIR
The derrivative of $f(x)=|x|$ is …
Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah rubah dahulu fungsi nilai mutlaknya.
Ingat kembali bahwa secara sederhana untuk membuka tanda mutlaknya kita akan kuadratkan kedua ruas, sehingga kita akan peroleh,
$y=|x| \to y^{2}=x^{2}$.
Dengan demikian kita akan turunkan kedua ruas dan diperoleh,
$
\begin{align}
y^{2}&=x^{2} \\
2y \ dy &= 2x \ dx \\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2x}{2y} \\
y'&=\dfrac{x}{y}
\end{align}
$
Karena $y=|x|$ maka hasil akhir dari turunannya bisa kita tulis kembali menjadi,
$\therefore y'=\dfrac{x}{|x|}$.
Contoh 2.
Jika $y=|3x-4|$ maka nilai dari $\dfrac{dy}{dx}$ adalah...
$
\begin{align}
y &= |3x-4| \\
y^{2} &= (3x-4)^{2} \\
2y \ dy &= 2(3x-4) \ 3 dx\\
\\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{6(3x-4)}{2y} \\
&= \dfrac{9x-12}{y} \\
&= \dfrac{9x-12}{|3x-4|}
\end{align}
$
Dengan demikian,
$\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{9x-12}{|3x-4|}$
Contoh 3.
Diketahui $y'$ menyatakan fungsi turunan pertama dari $y$. Jika $y=|x^{2}+5|$ maka nilai dari $y'$ adalah...
$
\begin{align}
y &= |x^{2}+5| \\
y^{2} &= (x^{2}+5)^{2} \\
2y \ dy &= 2(x^{2}+5) \ (2x) dx\\
\\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{4x(x^{2}+5)}{2y} \\
y' &= \dfrac{2x(x^{2}+5)}{y} \\
&= \dfrac{2x(x^{2}+5)}{|x^{2}+5|}
\end{align}
$
Dengan demikian,
$\therefore y'=\dfrac{2x(x^{2}+5)}{|x^{2}+5|}$
Contoh 4.
Turunan pertama dari $y=(5x^{2})|3x+5|$ adalah...
$
\begin{align}
y &= (5x^{2})|3x+5| \\
y^{2} &= (5x^{2})^{2}(3x+5)^{2} \\
&= \left( 5x^{2}(3x+5) \right)^{2} \\
&= \left( 15x^{3}+25x^{2} \right)^{2} \\
\\
2y \ dy &= 2(15x^{3}+25x^{2})(45x^{2}+50x) \ dx \\
\\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2(15x^{3}+25x^{2})(45x^{2}+50x)}{2y} \\
y' &= \dfrac{(5x^{2})(3x+5)(5x)(9x+10)}{y} \\
&= \dfrac{(5x^{2})(3x+5)(5x)(9x+10)}{(5x^{2})|3x+5|} \\
&= \dfrac{5x(3x+5)(9x+10)}{|3x+5|}
\end{align}
$
Dengan demikian,
$\therefore y'=\dfrac{5x(3x+5)(9x+10)}{|3x+5|}$
Contoh 5.
Diketahui $y'$ menyatakan fungsi turunan pertama dari $y$. Jika $y=10|-2x|+3$ maka nilai dari $y'$ adalah...
$
\begin{align}
y &= 10|-2x|+3 \\
(y-3) &= |-20x| \\
(y-3)^{2} &= (-20x)^{2} \\
\\
y^{2}-6y+9 &= 400x^{2} \\
2y \ dy-6 \ dy &= 800x \ dx \\
(2y-6) \dfrac{dy}{dx} &= 800x \\
\\
\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{800x}{2y-6} \\
\\
y' &= \dfrac{400x}{y-3} \\
&= \dfrac{400x}{\left( 10|-2x|+3 \right) -3} \\
&= \dfrac{40x}{|-2x|}
\end{align}
$
Dengan demikian,
$\therefore y'=\dfrac{40x}{|-2x|}$
Penutup
Semua sudah kita bahas mulai dari konsep dasar teorinya beserta contoh soal dan pembahasan lengkap.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
