20 Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika Ujian Mandiri UGM
Ini adalah 20 kumpulan soal lengkap dengan pembahasan matematika ujian mandiri Universitas Gadjah Mada (UGM), untuk tahun ini disebut juga dengan nama Ujian Mandiri - Computer Based Test (UM-CBT) UGM 2023.
Pendaftaran UM-CBT UGM 2023 ternyata sudah dibuka sejak tanggal 22 Mei 2023 lalu dan akan terus dibuka hingga tanggal 13 Juni 2023 besok.
Penerimaan UM-CBT UGM 2023 ini akan diumumkan bulan depan tanggal 13 Juli 2023.
Menurut Wakil Rektor Bidang Pendidikan dan Pengajaran, Prof. Dr. Wening Udasmoro, S.S., M.Hum., DEA. menyampaikan bahwa setidaknya terdapat 93 program studi (prodi) yang akan dibuka melalui jalur UM-CBT UGM 2023 ini.
Dari 93 program studi tersebut 71 diantaranya merupakan program studi sarjana (S1) dan sisanya adalah program studi Sarjana Terapan (D4).
UM-CBT UGM terbagi dalam tiga kelompok ujian dan setiap peserta harus memilih salah satu diantaranya.
Kelompok ujian terdiri dari : kelompok ujian sains dan teknologi (saintek), kelompok sosial dan humaniora (soshum), dan kelompok ujian campuran (saintek dan soshum).
Untuk penilaian sendiri UM-CBT UGM mengkombinasikan antara skor hasil tes SNBT dengan skor hasil UM-CBT yang diselenggarakan oleh UGM sendiri.
Oiya semua proses ujian diselenggarakan secara full-online ya yang digelar di enam kota besar di Indonesia. Jadi jangan sampai lupa dan catat tanggal - tanggalnya jika kalian berminat.
Jadwal tes UM-CBT UGM 2023
Pada dasarnya untuk kumpulan soal matematika pada ujian mandiri UM-CBT UGM hampir mirip yang dikeluarkan pada tiap tahunnya.
Dengan variasi soal yang terus berkembang namun pada dasarnya kumpulan soal tes ujian mandiri matematika UM-CBT UGM untuk jenis soal/bab hampir tidak pernah berubah.
Berikut ini adalah 20 kumpulan soal dan pembahasan dari soal - soal ujian mandiri UM-CBT UGM yang pernah dikeluarkan beberapa tahun lalu yang bisa kalian jadikan sarana belajar untuk mengetahui jenis soal dan karakter soal dari matematika ujian mandiri UM-CBT UGM 2023.
Pendaftaran UM-CBT UGM 2023 ternyata sudah dibuka sejak tanggal 22 Mei 2023 lalu dan akan terus dibuka hingga tanggal 13 Juni 2023 besok.
Penerimaan UM-CBT UGM 2023 ini akan diumumkan bulan depan tanggal 13 Juli 2023.
Menurut Wakil Rektor Bidang Pendidikan dan Pengajaran, Prof. Dr. Wening Udasmoro, S.S., M.Hum., DEA. menyampaikan bahwa setidaknya terdapat 93 program studi (prodi) yang akan dibuka melalui jalur UM-CBT UGM 2023 ini.
Dari 93 program studi tersebut 71 diantaranya merupakan program studi sarjana (S1) dan sisanya adalah program studi Sarjana Terapan (D4).
UM-CBT UGM terbagi dalam tiga kelompok ujian dan setiap peserta harus memilih salah satu diantaranya.
Kelompok ujian terdiri dari : kelompok ujian sains dan teknologi (saintek), kelompok sosial dan humaniora (soshum), dan kelompok ujian campuran (saintek dan soshum).
Untuk penilaian sendiri UM-CBT UGM mengkombinasikan antara skor hasil tes SNBT dengan skor hasil UM-CBT yang diselenggarakan oleh UGM sendiri.
Oiya semua proses ujian diselenggarakan secara full-online ya yang digelar di enam kota besar di Indonesia. Jadi jangan sampai lupa dan catat tanggal - tanggalnya jika kalian berminat.
Jadwal tes UM-CBT UGM 2023
- Pekanbaru - 21-23 Juni 2023
- Balikpapan - 21-23 Juni 2023
- Medan - 22-24 Juni 2023
- Makassar - 23-25 Juni 2023
- Yogyakarta - 1-8 Juli 2023
- Jakarta - 3-8 Juli 2023
Peserta UM-CBT UGM harus memenuhi persyaratan berikut untuk dapat mengikuti seleksi:
- Lulusan SMA/MA/SMK/sederajat 3 (tiga) tahun terakhir atau lulusan Paket C dalam 3 (tiga) tahun terakhir dengan umur maksimal 25 (dua puluh lima) tahun (per 1 Juli pada tahun berjalan);
- Memiliki prestasi akademik baik dan konsisten;
- Memiliki surat keterangan lulus bagi calon peserta yang lulus SMA/MA/SMK/sederajat atau Paket C yang lulus tahun 2023; atau
- Memiliki ijazah bagi calon peserta lulusan SMA/MA/SMK/sederajat atau lulusan Paket C dalam 2 (dua) tahun terakhir; dan
- Mengikuti dan memiliki skor UTBK-SNBT pada tahun 2023.
- Kelengkapan Dokumen
Dokumen yang wajib disiapkan antara lain:
- Ijazah (untuk lulusan Tahun 2023, 2022 dan 2021) atau Surat Keterangan Lulus/SKL (untuk lulusan Tahun 2023 yang belum memperoleh ijazah) (PDF)
- Kartu Peserta UTBK-SNBT Tahun 2023 (PDF)
- Kartu Tanda Penduduk (KTP) atau Kartu Keluarga (KK) atau Surat Izin Mengemudi (SIM) (PDF)
- Seluruh dokumen diunggah dengan ukuran minimal 150KB dan maksimal 800KB untuk masing-masing file. Selain itu, hasil scan harus dapat dibaca dengan jelas untuk keperluan verifikasi dokumen.
Dengan variasi soal yang terus berkembang namun pada dasarnya kumpulan soal tes ujian mandiri matematika UM-CBT UGM untuk jenis soal/bab hampir tidak pernah berubah.
Berikut ini adalah 20 kumpulan soal dan pembahasan dari soal - soal ujian mandiri UM-CBT UGM yang pernah dikeluarkan beberapa tahun lalu yang bisa kalian jadikan sarana belajar untuk mengetahui jenis soal dan karakter soal dari matematika ujian mandiri UM-CBT UGM 2023.
No 1. Soal UM UGM 2013 Kode 251
Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai dari $4-a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ -20 \\ &(B)\ -12 \\ &(C)\ -4 \\ &(D)\ 12 \\ &(E)\ 20 \end{align} $
Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai dari $4-a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ -20 \\ &(B)\ -12 \\ &(C)\ -4 \\ &(D)\ 12 \\ &(E)\ 20 \end{align} $
$
\begin{align}
a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\
& = -16 \\
4-a & = 4-(-16)=20
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 20$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 20$.
No 2. Soal UM UGM 2019 Kode 934
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ -\sqrt[3]{2} \\ &(B)\ 0 \\ &(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ &(D)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \\ &(E)\ \sqrt[3]{2} \end{align} $
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ -\sqrt[3]{2} \\ &(B)\ 0 \\ &(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ &(D)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \\ &(E)\ \sqrt[3]{2} \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{1-x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ -\left ( 1-x \right )+\sqrt[3]{1-x}}{\sqrt[3]{\left (1+x \right )\left (1-x \right )}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \sqrt[3]{\left (1-x \right )} \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{\sqrt[3]{\left (1-x \right )} \cdot \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left (-\left ( 1-x \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+x \right )}} \\
& = \dfrac{ \left (-\left ( 1-1 \right )^{2}+1 \right )}{ \sqrt[3]{\left (1+1 \right )}} \\
& = \dfrac{ 1}{ \sqrt[3]{2}}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
No 3. Soal UM UGM 2019 Kode 634
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 27 \\ &(B)\ 9 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 1 \end{align} $
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 27 \\ &(B)\ 9 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 1 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
No 4. Soal UM UGM 2018 Kode 286
Jika $a \gt 0$ dan selisih akar -akar persamaan kuadrat $5x^{2}-10ax+8a=0$ sama dengan $3$ maka $a^{2}-a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 1\dfrac{1}{9} \\ &(B)\ 3\dfrac{3}{4} \\ &(C)\ 4\dfrac{4}{9} \\ &(D)\ 7\dfrac{1}{2} \\ &(E)\ 8\dfrac{3}{4} \end{align} $
Jika $a \gt 0$ dan selisih akar -akar persamaan kuadrat $5x^{2}-10ax+8a=0$ sama dengan $3$ maka $a^{2}-a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 1\dfrac{1}{9} \\ &(B)\ 3\dfrac{3}{4} \\ &(C)\ 4\dfrac{4}{9} \\ &(D)\ 7\dfrac{1}{2} \\ &(E)\ 8\dfrac{3}{4} \end{align} $
Dari selisih akar dalam soal kita akan dapatkan,
$ \begin{align} \left| m - n \right| & = \left| \dfrac{\sqrt{D}}{a} \right| \\ 3 & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{5} \\ 15 & = \sqrt{\left(10a \right)^{2}-4\left( 5 \right) \left( 8a \right)} \\ 225 & = 100a^{2}-160a \\ 45 & = 20a^{2}-32a \\ 0 & = 20a^{2}-32a-45 \\ 0 & = \left( 10a+9 \right)\left( 2a-5 \right) \\ & a=-\dfrac{9}{10}\ \text{atau}\ a= \dfrac{5}{2} \end{align} $
Karena syarat nilai $a$ harus bernilai positif $(a \gt 0)$ maka nilai yang memenuhi $a=\dfrac{5}{2}$, sehingga
$ a^{2}-a=\left( \dfrac{5}{2} \right)^{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{4} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ 3\dfrac{3}{4}$.
$ \begin{align} \left| m - n \right| & = \left| \dfrac{\sqrt{D}}{a} \right| \\ 3 & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{5} \\ 15 & = \sqrt{\left(10a \right)^{2}-4\left( 5 \right) \left( 8a \right)} \\ 225 & = 100a^{2}-160a \\ 45 & = 20a^{2}-32a \\ 0 & = 20a^{2}-32a-45 \\ 0 & = \left( 10a+9 \right)\left( 2a-5 \right) \\ & a=-\dfrac{9}{10}\ \text{atau}\ a= \dfrac{5}{2} \end{align} $
Karena syarat nilai $a$ harus bernilai positif $(a \gt 0)$ maka nilai yang memenuhi $a=\dfrac{5}{2}$, sehingga
$ a^{2}-a=\left( \dfrac{5}{2} \right)^{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{4} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ 3\dfrac{3}{4}$.
No 5. Soal UM UGM 2017 Kode 823
Diketahui $p$ dan $q$ akar - akar persamaan $x^{2}+3x+k=0$, dengan $p \lt q$. Jika $\dfrac{q+1}{p+1}-\dfrac{p-1}{q-1}=-\dfrac{3}{2}$ maka jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 4 \\ &(B)\ 2 \\ &(C)\ 1 \\ &(D)\ -4 \\ &(E)\ -2 \end{align} $
Diketahui $p$ dan $q$ akar - akar persamaan $x^{2}+3x+k=0$, dengan $p \lt q$. Jika $\dfrac{q+1}{p+1}-\dfrac{p-1}{q-1}=-\dfrac{3}{2}$ maka jumlah semua nilai $k$ yang mungkin adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 4 \\ &(B)\ 2 \\ &(C)\ 1 \\ &(D)\ -4 \\ &(E)\ -2 \end{align} $
Langkah pertama dengan menggunakan persamaan vieta kita bisa dapatkan hasil dari jumlah, kali dan selisih akar dari persamaan kuadrat yang diketahui dalam soal.
$ \begin{align} p + q & = -\dfrac{b}{a} = -3 \\ \hline p \cdot q & = \dfrac{c}{a} = k \\ \hline q - p & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \\ & = \dfrac{\sqrt{3^{2}-4(1)(k)}}{1} \\ & = \sqrt{9-4k} \end{align} $
Kita sederhanakan bentuk yang ditanyakan dan substitusi hasil dari persamaan vieta di atas ya,
$ \begin{align} \dfrac{q^{2}-1-p^{2}+1}{pq+q-p-1} & = -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{\left(-3\right)\left( \sqrt{9-4k} \right)}{ k+\sqrt{9-4k}-1} & = -\dfrac{3}{2} \\ \left(-6\right) \sqrt{9-4k} & = -3k+3-3\sqrt{9-4k} \\ 3k-3 & = 3\sqrt{9-4k} \\ 9k^{2}-18k+9 & = 9\left(9-4k \right) \\ 9k^{2}-18k+9 & = 81-36k \\ k^{2}-2k+1 & = 9-4k \\ k^{2}+2k-8 & = 0 \end{align} $
Nilai $k_{1}+k_{2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{1}=-2$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ -2$.
$ \begin{align} p + q & = -\dfrac{b}{a} = -3 \\ \hline p \cdot q & = \dfrac{c}{a} = k \\ \hline q - p & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \\ & = \dfrac{\sqrt{3^{2}-4(1)(k)}}{1} \\ & = \sqrt{9-4k} \end{align} $
Kita sederhanakan bentuk yang ditanyakan dan substitusi hasil dari persamaan vieta di atas ya,
$ \begin{align} \dfrac{q^{2}-1-p^{2}+1}{pq+q-p-1} & = -\dfrac{3}{2} \\ \dfrac{\left(-3\right)\left( \sqrt{9-4k} \right)}{ k+\sqrt{9-4k}-1} & = -\dfrac{3}{2} \\ \left(-6\right) \sqrt{9-4k} & = -3k+3-3\sqrt{9-4k} \\ 3k-3 & = 3\sqrt{9-4k} \\ 9k^{2}-18k+9 & = 9\left(9-4k \right) \\ 9k^{2}-18k+9 & = 81-36k \\ k^{2}-2k+1 & = 9-4k \\ k^{2}+2k-8 & = 0 \end{align} $
Nilai $k_{1}+k_{2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{1}=-2$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ -2$.
No 6. Soal UM UGM 2014 Kode 521
Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ akar - akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 5 \\ &(B)\ 10 \\ &(C)\ 18 \\ &(D)\ 20 \\ &(E)\ 25 \end{align} $
Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ akar - akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 5 \\ &(B)\ 10 \\ &(C)\ 18 \\ &(D)\ 20 \\ &(E)\ 25 \end{align} $
Jumlah akar dan kali akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$.
#Jumlah Akar :
$ \begin{align} \alpha+\beta &= -\dfrac{b}{a} \\ &=-\dfrac{-(a+5)}{1} \\ &=a+5 \end{align} $
#Kali Akar :
$ \begin{align} \alpha \cdot \beta &= \dfrac{c}{a} \\ &= \dfrac{5a}{1} \\ &=5a \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta \\ &= \left( a+5 \right)^{2}-2(5a) \\ &= a^{2}+10a+25-10a \\ &= a^{2}+25 \end{align} $
Karena yang ditanyakan adalah nilai minimum dari bentuk $\alpha^{2}+\beta^{2}$ maka kita akan menggunakan konsep dari nilai stasioner untuk menghitungnya :
$ \begin{align} y &= a^{2}+25 \\ \hline y' &= 0 \\ 2a &= 0 \\ a &= 0 \end{align} $
Dengan demikian saat $a=0$ maka,
$ \begin{align} \alpha^{2}+\beta^{2} \ \text{[Min]} &= a^{2}+25 \\ &= 0+25 \\ &= 25 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 25$.
#Jumlah Akar :
$ \begin{align} \alpha+\beta &= -\dfrac{b}{a} \\ &=-\dfrac{-(a+5)}{1} \\ &=a+5 \end{align} $
#Kali Akar :
$ \begin{align} \alpha \cdot \beta &= \dfrac{c}{a} \\ &= \dfrac{5a}{1} \\ &=5a \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta \\ &= \left( a+5 \right)^{2}-2(5a) \\ &= a^{2}+10a+25-10a \\ &= a^{2}+25 \end{align} $
Karena yang ditanyakan adalah nilai minimum dari bentuk $\alpha^{2}+\beta^{2}$ maka kita akan menggunakan konsep dari nilai stasioner untuk menghitungnya :
$ \begin{align} y &= a^{2}+25 \\ \hline y' &= 0 \\ 2a &= 0 \\ a &= 0 \end{align} $
Dengan demikian saat $a=0$ maka,
$ \begin{align} \alpha^{2}+\beta^{2} \ \text{[Min]} &= a^{2}+25 \\ &= 0+25 \\ &= 25 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 25$.
No 7. Soal UM UGM 2016 Kode 381
$\int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx = ....$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{3\pi - 8}{8\pi} \\ &(B)\ \frac{3\pi - 4}{4\pi} \\ &(C)\ \frac{3\pi + 4}{4\pi} \\ &(D)\ \frac{3\pi + 8}{8\pi} \\ &(E)\ \frac{3}{4}+ \pi \end{align} $
$\int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx = ....$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{3\pi - 8}{8\pi} \\ &(B)\ \frac{3\pi - 4}{4\pi} \\ &(C)\ \frac{3\pi + 4}{4\pi} \\ &(D)\ \frac{3\pi + 8}{8\pi} \\ &(E)\ \frac{3}{4}+ \pi \end{align} $
$
\begin{align}
& \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx \\
& = \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( (2x-1)^\frac{1}{3} + \sin \pi x \right) \, dx \\
& = \left[ \frac{1}{2} . \frac{3}{4} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\
& = \left[ \frac{3}{8} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\
& = \left[ \frac{3}{8} (2.1-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi .1 \right] \\
& \, \, \, \, \, - \left[ \frac{3}{8} (2.\frac{1}{2}-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi . \frac{1}{2} \right] \\
& = \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \right) - \left( 0 - 0 \right) \\
& = \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \\
& = \frac{3\pi + 8}{8\pi}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{3\pi + 8}{8\pi}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{3\pi + 8}{8\pi}$.
No 8. Soal UM UGM 2016 Kode 381
Jika $p$ merupakan bilangan rasional sehingga fungsi $f(x) = (x-1)^2(3-x^2)$ mencapai minimum di $x=p$, maka $f(p+1)=\dots$
$ \begin{align} &(A)\ -1 \\ &(B)\ 0 \\ &(C)\ 1 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 16 \end{align} $
Jika $p$ merupakan bilangan rasional sehingga fungsi $f(x) = (x-1)^2(3-x^2)$ mencapai minimum di $x=p$, maka $f(p+1)=\dots$
$ \begin{align} &(A)\ -1 \\ &(B)\ 0 \\ &(C)\ 1 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 16 \end{align} $
Langkah pertama turunkan $f(x)$,
$ \begin{align} f(x) & = (x-1)^2(3-x^2) \\ f^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ f^\prime (x) & =2(x-1).(3-x^2) + (x-1)^2.(-2x) \\ & =(x-1)[2(3-x^2) + (x-1).(-2x)] \\ & =(x-1)[6 - 2x^2 + (-2x^2 + 2x)] \\ & =(x-1)[-4x^2 + 2x + 6] \\ & =(x-1).(-2)[2x^2 - x - 3] \\ & =(x-1).(-2).(2x-3)(x+1) \\ & =-2(x-1)(2x-3)(x+1) \end{align} $
Kita cari kondisi stasionernya, $f'(x)=0$,
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ -2(x-1)(2x-3)(x+1) & = 0 \\ x = 1 , \, x = \frac{3}{2} , \, x & = -1 \end{align}$
Substitusikan kembali nilai - nilai $x$ stasionernya ke $f(x)$ untuk mencari $x$ minimumnya, sehingga
$ \begin{align} & f(1) = (1-1)^2(3-1^2) = 0 \\ & f \left( \frac{3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}-1 \right)^2 \left( 3- \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right) = \frac{3}{16} \\ & f(-1) = (-1-1)^2(3-(-1)^2) = 8 \end{align} $
Karena $f(1)$ minimum sehingga $x=p=1$,
$ \begin{align} f(p+1) & = f(1+1) = f(2) \\ & = (2-1)^2(3-2^2) \\ & = 1. (-1) \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ -1$.
$ \begin{align} f(x) & = (x-1)^2(3-x^2) \\ f^\prime (x) & = U^\prime.V + U.V^\prime \\ f^\prime (x) & =2(x-1).(3-x^2) + (x-1)^2.(-2x) \\ & =(x-1)[2(3-x^2) + (x-1).(-2x)] \\ & =(x-1)[6 - 2x^2 + (-2x^2 + 2x)] \\ & =(x-1)[-4x^2 + 2x + 6] \\ & =(x-1).(-2)[2x^2 - x - 3] \\ & =(x-1).(-2).(2x-3)(x+1) \\ & =-2(x-1)(2x-3)(x+1) \end{align} $
Kita cari kondisi stasionernya, $f'(x)=0$,
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ -2(x-1)(2x-3)(x+1) & = 0 \\ x = 1 , \, x = \frac{3}{2} , \, x & = -1 \end{align}$
Substitusikan kembali nilai - nilai $x$ stasionernya ke $f(x)$ untuk mencari $x$ minimumnya, sehingga
$ \begin{align} & f(1) = (1-1)^2(3-1^2) = 0 \\ & f \left( \frac{3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}-1 \right)^2 \left( 3- \left( \frac{3}{2} \right)^2 \right) = \frac{3}{16} \\ & f(-1) = (-1-1)^2(3-(-1)^2) = 8 \end{align} $
Karena $f(1)$ minimum sehingga $x=p=1$,
$ \begin{align} f(p+1) & = f(1+1) = f(2) \\ & = (2-1)^2(3-2^2) \\ & = 1. (-1) \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ -1$.
No 9. Soal UM UGM 2016 Kode 571
Jika ${}^\sqrt{5} \log (x-3y) = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y$, maka $\dfrac{x}{y}=\dots$
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{1}{9} \\ &(B)\ 1 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 9 \\ &(E)\ 18 \end{align} $
Jika ${}^\sqrt{5} \log (x-3y) = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y$, maka $\dfrac{x}{y}=\dots$
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{1}{9} \\ &(B)\ 1 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 9 \\ &(E)\ 18 \end{align} $
$
\begin{align}
{}^\sqrt{5} \log (x-3y) & = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y \\
{{}^\sqrt{5}}^2 \log (x-3y)^2 & = {}^5 \log (4xy ) \\
{}^5 \log (x^2 + 9y^2 - 6xy) & = {}^5 \log (4xy ) \\
(x^2 + 9y^2 - 6xy) & = 4xy \\
x^2 + 9y^2 - 10xy & = 0 \\
(x - y)(x - 9y) & = 0 \\
x = y \vee x & = 9y
\end{align}
$
Dengan menggunakan syarat dari numerus logaritma, yaitu $x-3y \gt 0$ maka kita akan dapatkan,
(1) Jika $x=y$ maka :
$ \begin{align} x-3y &\gt 0 \\ y-3y &\gt 0 \\ -2y &\gt 0 \\ y &\lt 0 \ \to \big[ \text{harusnya y > 0} \big] \\ \end{align} $
Artinya untuk $x=y$ tidak memenuhi.
Sehingga nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=9y$.
Dengan demikian $\dfrac{x}{y} = \dfrac{9y}{y} = 9$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 9$.
Dengan menggunakan syarat dari numerus logaritma, yaitu $x-3y \gt 0$ maka kita akan dapatkan,
(1) Jika $x=y$ maka :
$ \begin{align} x-3y &\gt 0 \\ y-3y &\gt 0 \\ -2y &\gt 0 \\ y &\lt 0 \ \to \big[ \text{harusnya y > 0} \big] \\ \end{align} $
Artinya untuk $x=y$ tidak memenuhi.
Sehingga nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=9y$.
Dengan demikian $\dfrac{x}{y} = \dfrac{9y}{y} = 9$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 9$.
No 10. Soal UM UGM 2016 Kode 571
Bentuk $\sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} = \cdots$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(C)\ \sqrt{3}+\sqrt{5} \\ &(D)\ \sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{\frac{3}{5}} \\ &(E)\ \sqrt{5}+\sqrt{3} \end{align} $
Bentuk $\sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} = \cdots$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(C)\ \sqrt{3}+\sqrt{5} \\ &(D)\ \sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{\frac{3}{5}} \\ &(E)\ \sqrt{5}+\sqrt{3} \end{align} $
Ingat kembali bahwa untuk $a \geq b$ maka akan berlaku,
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a \times b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
Sehingga,
$ \begin{align} \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} & = \sqrt{\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) - 2\sqrt{ \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{3} } - \sqrt{ \frac{1}{5} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{3} } - \frac{1}{\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a \times b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
Sehingga,
$ \begin{align} \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} & = \sqrt{\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) - 2\sqrt{ \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{3} } - \sqrt{ \frac{1}{5} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{3} } - \frac{1}{\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}}$.
No 11. Soal UM UGM 2014 Kode 522
Nilai semua $x$ agar matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$ mempunyai invers adalah...
$ \begin{align} (A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Nilai semua $x$ agar matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$ mempunyai invers adalah...
$ \begin{align} (A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Suatu matriks akan mempunyai invers dengan syarat bahwa nilai determinannya ialah tidak nol.
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Syarat :
$x^{2}-1 \geq 0$ $\to$ $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Dengan menggabungkan hasil determinan dan syarat terdefinisinya nilai $x$ yaitu $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ maka kita akan mendapatkan hasil bahwa $-\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)$.
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Syarat :
$x^{2}-1 \geq 0$ $\to$ $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Dengan menggabungkan hasil determinan dan syarat terdefinisinya nilai $x$ yaitu $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ maka kita akan mendapatkan hasil bahwa $-\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)$.
No 12. Soal UM UGM 2019 Kode 923
Diberikan empat matriks $A$, $B$, $C$, $D$ berukuran $2 \ \text{x} \ 2$ dengan $A+CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det(D^{T}-B)=m$ dan $det(C)=n$, maka $det(2A^{-1})$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{mn} \\ (B)\ & \dfrac{mn}{4} \\ (C)\ & \dfrac{4m}{n} \\ (D)\ & 4mn \\ (E)\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align} $
Diberikan empat matriks $A$, $B$, $C$, $D$ berukuran $2 \ \text{x} \ 2$ dengan $A+CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det(D^{T}-B)=m$ dan $det(C)=n$, maka $det(2A^{-1})$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{mn} \\ (B)\ & \dfrac{mn}{4} \\ (C)\ & \dfrac{4m}{n} \\ (D)\ & 4mn \\ (E)\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align} $
Ingat kembali sifat - sifat dari determinan matriks untuk mengerjakan bentuk soal di atas lebih lanjut.
Sifat - Sifat Determinan Matriks :
(1) $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right|$
(2) $\left| A^{T} \right| = \left| A \right|$
(3) $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$
(4) $|k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$
Diketahui dalam soal bahwa,
$ \begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$.
Sifat - Sifat Determinan Matriks :
(1) $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right|$
(2) $\left| A^{T} \right| = \left| A \right|$
(3) $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$
(4) $|k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$
Diketahui dalam soal bahwa,
- $det(D^{T}-B)=\left| D^{T}-B \right|=m$
- $det(C)=\left| C \right|=n$
$ \begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \hline \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$.
No 13. Soal UM UGM 2019 Kode 934
Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align} $
Jika $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, maka determinan dari $A^{T} A+BB^{T}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align} $
$
\begin{align}
& A^{T} A+BB^{T} \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix} \\ \\
& \left| A^{T} A+BB^{T} \right| \\
&= \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} \\
&= (3)(10)-(5)(5) \\
&= 30-25 =5
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 5$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 5$.
No 14. Soal UM UGM 2019 Kode 934
Pada sistem persamaan berikut,
$ \begin{array} \text{x^{2}}+xy+xz=1 \\ y^{2} +yz+yx=6 \\ z^{2}+zx+zy=9 \end{array} $
Nilai $z$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{9}{4} \\ (E)\ & 3 \end{align} $
Pada sistem persamaan berikut,
$ \begin{array} \text{x^{2}}+xy+xz=1 \\ y^{2} +yz+yx=6 \\ z^{2}+zx+zy=9 \end{array} $
Nilai $z$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{9}{4} \\ (E)\ & 3 \end{align} $
$
\begin{align}
x^{2} +xy+xz &= 1 \\
y^{2} +yz+yx &= 6 \\
z^{2}+zx+zy &= 9\ (+) \\
\hline
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 \left( xy+xz+yz \right) &= 16 \\
\left( x+y+z \right)^{2} &= 16 \\
x+y+z &= 4 \\
\hline
z^{2}+zx+zy &= 9 \\
z \left( z+ x+ y \right) &= 9 \\
z \left( 4 \right) &= 9 \\
z &= \dfrac{9}{4}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{9}{4}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{9}{4}$.
No 15. Soal UM UGM 2019 Kode 924
Jika $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan 2x$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\sqrt{3} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align} $
Jika $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan 2x$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\sqrt{3} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align} $
$
\begin{align}
\sin x + \sin 2x + \sin 3x & = 0 \\
( \sin 3x + \sin x ) + \sin 2x & = 0 \\
2\sin \left( \frac{3x+x}{2} \right)\cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) + \sin 2x & = 0 \\
2\sin 2x \cos x + \sin 2x & = 0 \\
\sin 2x ( 2 \cos x + 1) & = 0 \\
\sin 2x = 0 \vee 2 \cos x + 1 & = 0 \\
\sin 2x = 0 \vee \cos x & = -\frac{1}{2}
\end{align}
$
Karena $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka yang memenuhi adalah $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Untuk $\cos x = -\frac{1}{2}$ maka $x = 120^\circ$.
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2(120^\circ) \\ & = \tan 240^\circ \\ & = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ \sqrt{3}$.
Karena $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka yang memenuhi adalah $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Untuk $\cos x = -\frac{1}{2}$ maka $x = 120^\circ$.
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2(120^\circ) \\ & = \tan 240^\circ \\ & = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ \sqrt{3}$.
No 16. Soal UM UGM 2019 Kode 924
Sebuah kotak memuat $6$ bola merah dan $4$ bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyak kemungkinannya adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 234 \\ (B)\ & 243 \\ (C)\ & 324 \\ (D)\ & 342 \\ (E)\ & 432 \end{align} $
Sebuah kotak memuat $6$ bola merah dan $4$ bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyak kemungkinannya adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 234 \\ (B)\ & 243 \\ (C)\ & 324 \\ (D)\ & 342 \\ (E)\ & 432 \end{align} $
Misal merah(M) dan hitam(H).
Dengan menggunakan kaidah pencacahan maka beberapa kemungkinan,
MMM $\to$ $6 \times 5 \times 4 = 120$ cara
MHM $\to$ $6 \times 4 \times 5 = 120$ cara
HMM $\to$ $4 \times 6 \times 5 = 120$ cara
HHM $\to$ $4 \times 3 \times 6 = 72$ cara
Total = $432$ cara
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 432$.
Dengan menggunakan kaidah pencacahan maka beberapa kemungkinan,
MMM $\to$ $6 \times 5 \times 4 = 120$ cara
MHM $\to$ $6 \times 4 \times 5 = 120$ cara
HMM $\to$ $4 \times 6 \times 5 = 120$ cara
HHM $\to$ $4 \times 3 \times 6 = 72$ cara
Total = $432$ cara
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 432$.
No 17. Soal UM UGM 2019 Kode 924
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x + 3} + 3^x - 36}{9^x - 9} \leq 3$ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a + 2b + c$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x + 3} + 3^x - 36}{9^x - 9} \leq 3$ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a + 2b + c$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
$
\begin{align}
\frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9} & \leq 3 \\
\frac{3^x. 3^3+3^x-36}{(3^2)^x-9} & \leq 3 \\
\frac{27. 3^x+3^x-36}{(3^x)^2-9} & \leq 3 \\ \\
\hline
\clubsuit \clubsuit \clubsuit \ \ \text{Misal :} \ p=3^{x} \\
\hline \\
\frac{27p+p-36}{p^2-9} - 3 & \leq 0 \\
\frac{28p-36}{p^2-9} - 3.\frac{p^2-9}{p^2-9} & \leq 0 \\
\frac{28p-36-3p^2+27}{p^2-9} & \leq 0 \\
\frac{-3p^2+28p-9}{p^2-9} & \leq 0 \\
\frac{(-3p +1)(p-9)}{(p+3)(p-3)} & \leq 0
\end{align}
$
Dengan menggunakan uji tanda atau uji titik kita akan dapatkan hasilnya adalah
$ \{ -1 \leq x \lt 1 \}$ atau $\{ x \geq 2 \}$.
Sehingga kita dapatkan nilai masing - masing,
$a=-1$,
$b=1$,
$c=2$
Dengan demikian,
$ \begin{align} a + 2b + c & = -1 + 2.1 + 2 \\ &= 3 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
Dengan menggunakan uji tanda atau uji titik kita akan dapatkan hasilnya adalah
$ \{ -1 \leq x \lt 1 \}$ atau $\{ x \geq 2 \}$.
Sehingga kita dapatkan nilai masing - masing,
$a=-1$,
$b=1$,
$c=2$
Dengan demikian,
$ \begin{align} a + 2b + c & = -1 + 2.1 + 2 \\ &= 3 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
No 18. Soal UM UGM 2010 Kode 461
Dua kotak masing - masing berisi lima bola yang diberi nomor $2$, $3$, $5$, $7$, dan $8$. Dari setiap kotak diambil sebuah bola. Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{5} \\ (C)\ & \dfrac{16}{25} \\ (D)\ & \dfrac{18}{25} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5} \end{align} $
Dua kotak masing - masing berisi lima bola yang diberi nomor $2$, $3$, $5$, $7$, dan $8$. Dari setiap kotak diambil sebuah bola. Peluang terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{5} \\ (B)\ & \dfrac{3}{5} \\ (C)\ & \dfrac{16}{25} \\ (D)\ & \dfrac{18}{25} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5} \end{align} $
Dari dua kotak tersebut jika masing - masing diambil satu bola maka kemungkinan bola yang terambil adalah :
$(2,2)$, $(2,3)$, $(2,5)$, $(2,7)$, $(2,8)$, $\cdots$, $(8,8)$ sebanyak $25$ kemungkinan.
Dengan demikian ruang sampel dari kejadiannya adalah $n(S)=25$.
Kejadian terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ adalah:
$ \begin{align} & P(\text{sedikitnya satu bola 3 atau 5}) \\ & = \dfrac{16}{25} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ \dfrac{16}{25}$.
$(2,2)$, $(2,3)$, $(2,5)$, $(2,7)$, $(2,8)$, $\cdots$, $(8,8)$ sebanyak $25$ kemungkinan.
Dengan demikian ruang sampel dari kejadiannya adalah $n(S)=25$.
Kejadian terambil sedikitnya satu bola dengan nomor $3$ atau $5$ adalah:
- $(2,3)$, $(2,5)$.
- $(3,2)$, $(3,3)$, $(3,5)$, $(3,7)$, $(3,8)$.
- $(5,2)$, $(5,3)$, $(5,5)$, $(5,7)$, $(5,8)$.
- $(7,3)$, $(7,5)$.
-
$(8,3)$, $(8,5)$
dengan banyak kejadian $16$ kejadian.
$ \begin{align} & P(\text{sedikitnya satu bola 3 atau 5}) \\ & = \dfrac{16}{25} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ \dfrac{16}{25}$.
No 19. Soal UM UGM 2008 Kode 270
Tetangga baru yang belum Anda kenal katanya mempunyai $2$ anak. Anda tahu salah satunya adalah laki - laki. Peluang kedua anak tetangga baru Anda semuanya laki - laki adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3} \end{align} $
Tetangga baru yang belum Anda kenal katanya mempunyai $2$ anak. Anda tahu salah satunya adalah laki - laki. Peluang kedua anak tetangga baru Anda semuanya laki - laki adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{1}{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & \dfrac{2}{3} \end{align} $
Kemungkinan anak tetangga baru dengan salah satunya pasti laki - laki adalah:
$(P,L)$, $(L,L)$ dan $(L,P)$ sehingga banyak ruang sampel kejadiannya adalah $n(S)=3$.
Dengan demikian peluang kedua anak tetangga baru laki - laki,
$ \begin{align} P(2L)=\dfrac{1}{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ \dfrac{1}{3}$.
Dengan demikian peluang kedua anak tetangga baru laki - laki,
$ \begin{align} P(2L)=\dfrac{1}{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ \dfrac{1}{3}$.
No 20. Soal UM UGM 2014 Kode 522
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah suku ke-$1$ dan suku ke-$3$ adalah $30$ dan jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$, maka suku ke-$1$ barisan tersebut adalah...
$ \begin{align} & (A)\ -5 \ \text{atau} \ 5 \\ & (B)\ 5 \ \text{atau} \ -10 \\ & (C)\ 5 \ \text{atau} \ 25 \\ & (D)\ 10 \ \text{atau} \ 20 \\ & (E)\ 25 \ \text{atau} \ 15 \end{align} $
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah suku ke-$1$ dan suku ke-$3$ adalah $30$ dan jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$, maka suku ke-$1$ barisan tersebut adalah...
$ \begin{align} & (A)\ -5 \ \text{atau} \ 5 \\ & (B)\ 5 \ \text{atau} \ -10 \\ & (C)\ 5 \ \text{atau} \ 25 \\ & (D)\ 10 \ \text{atau} \ 20 \\ & (E)\ 25 \ \text{atau} \ 15 \end{align} $
Misalkan saja tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatikanya ialah
$(a-b), (a), (a+b)$.
Kita akan dapatkan,
$ \begin{align} U_{1}+ U_{3} &= 30 \\ a-b+a+b &= 30 \\ 2a &= 30 \\ a &= 15 \end{align} $
Untuk $a=15$ jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$ maka
$ \begin{align} {}^\!\log a+{}^\!\log (a+b)+{}^\!\log (a+2b) &= 3+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (a-b)(a)(a+b) &= {}^\!\log 1000+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (15-b)(15)(15+b) &= {}^\!\log 3000 \\ (15-b)(15)(15+b) &= 3000 \\ (15-b) (15+b) &= 200 \\ 225-b^{2} &= 200 \\ b^{2} &= 225-200=25 \\ b &= \pm 5 \end{align} $
Sampai sini kita akan mendapatkan dua buah barisan yaitu:
$(a-b), (a), (a+b)$.
Kita akan dapatkan,
$ \begin{align} U_{1}+ U_{3} &= 30 \\ a-b+a+b &= 30 \\ 2a &= 30 \\ a &= 15 \end{align} $
Untuk $a=15$ jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$ maka
$ \begin{align} {}^\!\log a+{}^\!\log (a+b)+{}^\!\log (a+2b) &= 3+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (a-b)(a)(a+b) &= {}^\!\log 1000+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (15-b)(15)(15+b) &= {}^\!\log 3000 \\ (15-b)(15)(15+b) &= 3000 \\ (15-b) (15+b) &= 200 \\ 225-b^{2} &= 200 \\ b^{2} &= 225-200=25 \\ b &= \pm 5 \end{align} $
Sampai sini kita akan mendapatkan dua buah barisan yaitu:
- Untuk $b=5$ dan $a=15$ maka akan terbentuk barisan $10$, $15$, $20$.
- Untuk $b=-5$ dan $a=15$ maka akan terbentuk barisan $20$, $15$, $10$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah 20 kumpulan soal dan pembahasan matematika ujian mandiri UM UGM yang bisa kalian gunakan sebagai bahan belajar dalam menghadapi tes masuk UGM jalur mandiri.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
