Contoh Soal dan Pembahasan Integral Trigonometri Lengkap
Ini adalah pembahasan lengkap contoh dan soal integral trigonometri yang akan bikin kamu makin paham bagaimana cara terbaik menyelesaikan soal integral trigonometri.
Kali ini akan kita bahas sampai tuntas bagaimana tips dan trik dalam mengerjakan suatu integral trigonometri.
Variasi integral trigonometri terbilang ada dua kelompok besar yaitu yang dikerjakan menggunakan konsep dasar dari integral trigonometri itu sendiri maupun yang bisa dikerjakan dengan integral substitusi.
Seperti apa detailnya mari kita bahas satu persatu.
Sebelum kita bahas lebih lanjut tentang contoh soal dan pembahasan integral trigonometri ada baiknya rumus – rumus dasar trigonometri tentu saja harus kalian kuasai.
Kalau masih ada yang bingung rumus manakah yang dimaksud?
Tidak usah kuatir kalian bisa baca ulang beberapa postingan yang lalu tentang rumus – rumus dasar trigonometri disini.
Oke gaess… mari kita lanjutkan pembahasannya.
Konsep Dasar Integral Trigonometri
Konsep dasar dari suatu integral trigonometri adalah rumus dasar yang akan digunakan untuk memecahkan integral trigonometri itu sendiri.
Mengintegralkan suatu fungsi trigonometri akan sedikit berbeda sebagaimana kita mengintegralkan suatu fungsi aljabar seperti yang sudah kita kenal sebelumnya.
Untuk lebih jelasnya mari kita ingat kembali hubungan antara turunan (differensial) dan anti-turunan dari fungsi trigonometri baku.
- $y=\sin x \ \to y'=\cos x$
- $y=\cos x \ \to y'=- \sin x$
- $y=\tan x \ \to y'=\sec^{2} x$
Dengan demikian akan terlihat jelas bukan hasil dari integral masing – masing fungsi trigonometrinya.
Artinya kita tinggal membaliknya, misalkan kita mau cari integral dari fungsi $\cos x$ tentu saja hasilnya adalah $\sin x$.
Mengapa demikian ?
Jelas karena turunan dari $\sin x$ adalah $\cos x$.
Rumus Dasar Integral Trigonometri
Di bawah ini adalah rumus - rumus dasar dari integral trigonometri yang wajib kalian tahu,
- $\int \sin \left( ax+b \right)\ dx=-\dfrac{1}{a} \cos \left( ax+b \right)+c$
- $\int \cos \left( ax+b \right)\ dx=\dfrac{1}{a} \sin \left( ax+b \right)+c$
Lho kenapa tidak ada integral dari fungsi $\tan (ax+b)$ ?
Sebenarnya ada namun karena pembahasannya sedikit kompleks maka materi ini biasanya sudah diluar batasan masalah pembahasan integral trigonometri di tingkat SMA.
Artinya adalah pembahasan integral $\tan (ax+b)$ akan kalian bahas ketika sudah dibangku kuliah pada mata kulian Kalkulus.
Contoh Soal dan Pembahasan Integral Trigonometri
Mari kita bahas beberapa pola soal integral trigonometri yang pernah dikeluarkan saat ujian nasional atau ujian sekolah.
Pada umumnya beberapa rumus trigonometri yang akan kita butuhkan untuk bisa menyelesaikan soal - soal integral trigonometri adalah hasil kali fungsi trigonometri.
Hal ini dikarenakan mengacu pada sifat integral itu sendiri yang tidak bisa kita pecah jika masih dalam bentuk perkalian.
Jadi kita harus rubah dulu bentuk fungsi trigonometri menjadi bentuk hasil penjumlahan.
Untuk mengingatkan kalian sama dua kelompok rumus hasil kali fungsi trigonometri tersebut yuk mari kita cermati kumpulan rumus tersebut di bawah ini.
Rumus Hasil Kali Trigonometri
$2 \ \sin \alpha \cos \beta=\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)$
$2 \ \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)$
$2 \ \cos \alpha \cos \beta=\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)$
$-2 \ \sin \alpha \sin \beta=\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)$
Oke kita lanjut ke aplikasinya dalam contoh soal integral trigonometri berikut.
Contoh 1.
Hasil dari $\int 4 \sin \left( 8x \right) \cos \left( 5x \right)\ dx$ adalah...
$
\begin{align}
&\int 4 \sin \left( 8x \right) \cos \left( 5x \right)\ dx \\
&= \int 2 \left[2 \sin \left( 8x \right) \cos \left( 5x \right) \right]\ dx \\
&= \int 2 \left[\sin \left( 8x+5x \right) + \sin \left( 8x-5x \right) \right]\ dx \\
&= \int 2 \sin \left( 13x \right) + 2 \sin \left( 3x \right)\ dx \\
&= 2 \left(-\dfrac{1}{13} \right) \cos \left( 13x \right) + 2 \left(-\dfrac{1}{3} \right) \cos \left( 3x \right) +c \\
&= -\dfrac{2}{13} \cos \left( 13x \right) - \dfrac{2}{3} \cos \left( 3x \right) +c
\end{align}
$
Contoh 2.
Hasil dari $\int 2 \cos \left( 2x \right) \sin \left( 6x \right)\ dx$ adalah...
$
\begin{align}
&\int 2 \cos \left( 2x \right) \sin \left( 6x \right)\ dx \\
&= \int \sin \left( 2x+6x \right) - \sin \left( 2x-6x \right)\ dx \\
&= \int \sin \left( 8x \right) - \sin \left( -4x \right)\ dx \\
&= \int \sin \left( 8x \right) + \sin \left( 4x \right)\ dx \\
&= \left(-\dfrac{1}{8} \right) \cos \left( 8x \right) + \left(-\dfrac{1}{4} \right) \cos \left( 4x \right) +c \\
&= -\dfrac{1}{8} \cos \left( 8x \right) - \dfrac{1}{4} \cos \left( 4x \right) +c
\end{align}
$
Contoh 3.
Hasil dari $\int 2 \cos \left( 4x \right) \cos \left( 3x \right)\ dx$ adalah...
$
\begin{align}
&\int 2 \cos \left( 4x \right) \cos \left( 3x \right)\ dx \\
&= \int \cos \left( 4x+3x \right) + \cos \left( 4x-3x \right)\ dx \\
&= \int \cos \left( 7x \right) + \cos \left( x \right)\ dx \\
&= \dfrac{1}{7} \sin \left( 7x \right) + \sin \left( x \right) +c
\end{align}
$
Contoh 4.
Hasil dari $\int 2 \sin \left( 10x \right) \sin \left( 3x \right)\ dx$ adalah...
$
\begin{align}
&\int 2 \sin \left( 10x \right) \sin \left( 3x \right)\ dx \\
&= \int - \cos \left( 10x+3x \right) + \cos \left( 10x-3x \right)\ dx \\
&= \int - \cos \left( 13x \right) + \cos \left( 7x \right)\ dx \\
&= - \dfrac{1}{13} \sin \left( 13x \right) + \dfrac{1}{7} \sin \left( 7x \right) +c
\end{align}
$
Contoh 5.
Hasil dari $\int 10 \sin \left( 5x \right) \cos \left( 6x \right)\ dx$ adalah...
$
\begin{align}
&\int 10 \sin \left( 5x \right) \cos \left( 6x \right)\ dx \\
&= 5 \int 2 \sin \left( 5x \right) \cos \left( 6x \right)\ dx \\
&= 5 \int \sin \left( 5x+6x \right) + \sin \left( 5x-6x \right)\ dx \\
&= 5 \int \sin \left( 11x \right) + \sin \left( -x \right)\ dx \\
&= 5 \int \sin \left( 11x \right) - \sin \left( x \right)\ dx \\
&= 5 \Big[ \left( -\dfrac{1}{11} \right) \cos \left( 11x \right) + \cos \left( x \right) \Big] +c \\
&= -\dfrac{5}{11} \cos \left( 11x \right) + 5 \cos \left( x \right)+c
\end{align}
$
Integral Trigonometri Yang Diselesaikan Dengan Integral Substitusi
Jika fungsi – fungsi atau sudut – sudut pembentuknya masih ada keterkaitan dalam bentuk turunan satu sama lain maka kaidah atau konsep dasar dari integral subtitusi bisa kita gunakan untuk menyelesaikannya.
Lebih jelas lagi yuk simak salah satu contoh soalnya berikut ini.
Hasil dari $\int \cos^{7} \left( 5x \right) \sin \left( 5x \right)\ dx$ adalah...
Misal $u= \cos \left( 5x \right)$ $\to \ du=-5 \sin \left( 5x \right)\ dx$
$dx=\dfrac{du}{-5 \sin \left( 5x \right)}$
Dengan demikian maka,
$dx=\dfrac{du}{-5 \sin \left( 5x \right)}$
Dengan demikian maka,
$
\begin{align}
& \int \cos^{7} \left( 5x \right) \sin \left( 5x \right)\ dx \\
&= \int u^{7} \sin \left( 5x \right)\ \dfrac{du}{-5 \sin \left( 5x \right)} \\
&= \left( -\dfrac{1}{5} \right) \int u^{7} \ du \\
&= \left( -\dfrac{1}{5} \right) \left(\dfrac{1}{8} \right) u^{8}+c \\
&= -\dfrac{1}{40} u^{8}+c \\
&= -\dfrac{1}{40} \cos^{8} \left( 5x \right)+c
\end{align}
$
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah contoh soal dan pembahasan integral trigonometri lengkap.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
