 |
| Asimtot : Pengertian dan Jenis - Jenisnya - Kompas.com |
Garis asimtot pada dasarnya dapat kita bagi menjadi 3 yaitu : asimtot tegak, asimtot datar dan asimtot miring.
Tanpa berlama - lama lagi seperti biasanya yuk kita bahas semuanya langsung mulai dari hal yang paling mendasar.
Persamaan Garis Asimtot Tegak
Asimtot tegak biasa dipunyai oleh fungsi berbentuk pecahan (fungsi rasional).
Asimtot tegak terjadi karena fungsi pecahan mempunyai syarat bahwa nilai penyebut tidak boleh nol.
Syarat inilah yang sering kita sebut dengan syarat terdefinisi dari fungsi pecahan itu sendiri.
Jadi ketika penyebut dari fungsi pecahan tersebut bernilai nol maka terbentuklah persamaan garis asimtot tegak.
Lalu bagaimana cara mencari persamaan garis asimtot tegak?
Seperti yang sudah kita singgung di atas caranya cukup dengan membuat penyebut sama dengan nol.
Catatan : suatu fungsi aljabar bisa memiliki lebih dari satu persamaan garis asimtot tegak.
Contoh Soal Asimtot Tegak
1. Persaman garis asimtot tegak pada fungsi $f(x)= \dfrac{6x^{2}+5x-3}{x^{2}-x-6}$ adalah...
$
\begin{align}
(A)\ & x=6 \ \text{atau} \ x=-1 \\
(B)\ & x=3 \ \text{atau} \ x=-2 \\
(C)\ & x=-6 \ \text{atau} \ x=1 \\
(D)\ & x=-3 \ \text{atau} \ x=2 \\
(E)\ & x=3 \ \text{atau} \ x=-3
\end{align}
$
Fungsi $f(x)$ tersebut mempunyai penyebut $x^{2}-x-6$.
Dengan demikian persamaan garis asimtot tegaknya adalah
$
\begin{align}
x^{2}-x-6&=0 \\
(x-3)(x+2)&=0
\end{align}
$
$x=3 \ \text{atau} \ x=-2$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B) \ x=3 \ \text{atau} \ x=-2$
2. Persamaan garis asimtot tegak pada $g(x)=\sqrt{\dfrac{5x^2+7x-1}{x-4}}$ adalah...
$
\begin{align}
(A)\ & x=\sqrt{5} \ \text{atau} \ x=4 \\
(B)\ & x=4 \\
(C)\ & x=5 \ \text{atau} \ x=4 \\
(D)\ & x=-4 \\
(E)\ & x=1 \ \text{atau} \ x=-7
\end{align}
$
Fungsi $g(x)$ tersebut berbentuk akar dengan fungsi di dalam akar berbentuk pecahan (rasional).
Nah.. meskipun ada akar namun untuk mencari asimtot tegaknya tetap fokus saja pada bagian penyebut dari fungsi dalam akarnya yaitu $x-4$.
Dengan demikian persamaan garis asimtot tegaknya adalah
$
\begin{align}
x-4=0 \\
x=4
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah
$(B) \ x=4 $
Persamaan Garis Asimtot Datar
Sama dengan asimtot tegak, pada dasarnya asimtot datar juga lebih sering dipunyai oleh fungsi aljabar yang berbentuk pecahan(rasional).
Asimtot datar merupakan hasil dari limit tak hingga dari fungsi aljabar tersebut.
Untuk itu yuk kita buka dan ingat kembali materi limit tak hingga suatu fungsi aljabar.
Jika $m$ dan $n$ berturut - turut merupakan pangkat(derajat) tertinggi dari pembilang dan penyebut suatu fungsi aljabar maka :
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\infty$ ; untuk $m \gt n$ $\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=\dfrac{a}{b}$ ; untuk $m = n$
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{ax^m + a_1x^{m-1} + ...}{bx^n + b_1 x^{n-1} + ....}=0$ ; untuk $m \lt n$
Contoh Soal Asimtot Datar
1. Persaman garis asimtot datar dari fungsi $f(x)=\dfrac{5x^3-3x^2-9x-3}{(x^2-4)(2x+1)}$ adalah...
$
\begin{align}
(A)\ & y=5 \\
(B)\ & y=\dfrac{5}{2} \\
(C)\ & y=\dfrac{5}{3} \\
(D)\ & y=3 \\
(E)\ & \text{tidak ada}
\end{align}
$
Untuk menyelesaikan soal di atas, langkah pertama kita sederhanakan dulu bentuk penyebutnya sebelum kita hitung limit tak hingganya.
$(x^2-4)(2x+1)=2x^3+x^2-8x-4$
Sehingga kita hitung bentuk limit tak hingganya
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x^3-3x^2-9x-3}{(x^2-4)(2x+1)} \\
& = \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x^3-3x^2-9x-3}{2x^3+x^2-8x-4}
\end{align}
$
Karena pangkat tertinggi pembilang dan penyebut sama yaitu pangkat $3$ maka hasil dari limit tak hingganya adalah pembagian koefisien dari $x$ pangkat tertinggi tersebut yaitu $\dfrac{5}{3}$.
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{5x^3-3x^2-9x-3}{2x^3+x^2-8x-4}=\dfrac{5}{3}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah
$(C)\ y=\dfrac{5}{3}$
2. Soal SBMPTN 2017 Kode 167
Diantara pilihan berikut, kurva $y=\dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}$ memotong asimtot datarnya di $x= \dots$
$
\begin{align}
(A)\ & x=0 \\
(B)\ & x=1 \\
(C)\ & x=2 \\
(D)\ & x=3 \\
(E)\ & x=4
\end{align}
$
Menjawab soal di atas langkah pertama tentu saja kita cari persamaan garis asimtot datarnya.
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}=1$
Dengan demikian garis asimtot datarnya adalah $y=1$
Berikutnya subtitusikan kembali ke persamaan fungsinya untuk mendapatkan nilai titik potongnya.
$
\begin{align}
y & = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\
1 & = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\
x^3+10 & = x^3 + x^2 + 1 \\
x^2 & = 9 \\
x & = \pm \sqrt{9} = \pm 3
\end{align}
$
Jadi $y$ akan memotong asimtot datarnya pada $x=-3$ dan $x=3$ sesuai dengan pilihan jawaban $(D)\ x=3$.
Persamaan Garis Asimtot Miring
Diantara dua jenis yang lain (garis asimtot datar dan tegak) garis asimtot miring memang jarang sekali untuk dibahas ataupun dikeluarkan dalam soal - soal tes masuk PTN.
Cara menghitung garis asimtot miring juga terbilang sangat berbeda dengan garis asimtot datar dan tegak.
Untuk mendapatkan persamaan garis asimtot miring kita butuh ingat kembali operasi pembagian polinomial.
Terutama bagian hasil bagi dan sisa.
Nah persamaan garis asimtot miring merupakan hasil operasi bagi suatu polinomial, tanpa menyertakan sisa pembagiannya.
Contoh Soal Asimtot Miring
1. Persaman garis asimtot miring dari $f(x) = \dfrac{2x^2-3x+5}{x+2}$ adalah...
$
\begin{align}
(A)\ & y=2x-4 \\
(B)\ & y=3x+6 \\
(C)\ & y=2x-5 \\
(D)\ & y=3x+5 \\
(E)\ & y=2x+7
\end{align}
$
Dengan menggunakan operasi pembagian pada polinomial maka kita akan mendapatkan hasil :
$\begin{align}
f(x) & = \frac{2x^2-3x+5}{x+2} = (2x - 7) + \frac{19}{x+2}
\end{align}$
Bagian $2x+7$ adalah hasil pembagian, sedangkan $\dfrac{19}{x+2}$ merupakan sisa baginya.
Jadi persamaan garis asimtot miring dari $f(x)$ di atas adalah $(E)\ y=2x+7$
2. Persaman garis asimtot miring dari $f(x) = \dfrac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1}$ adalah...
$
\begin{align}
(A)\ & y=3x-7 \\
(B)\ & y=5x-15 \\
(C)\ & y=15x-5 \\
(D)\ & y=7x+3 \\
(E)\ & y=-3x+7
\end{align}
$
Dengan menggunakan operasi pembagian pada polinomial maka kita akan mendapatkan hasil :
$
\begin{align}
f(x) & = \dfrac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1} \\
f(x) & = 5x - 15 + \dfrac{41x+10}{x^2+3x+1}
\end{align}
$
Pada operasi pembagian dalam $f(x)$ kita bisa dapatkan hasil bagi $5x-15$ dan sisa pembagian yang berupa fungsi rasional(pecahan) $\dfrac{41x+10}{x^2+3x+1}$.
Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa persamaan garis asimtot miring dari $f(x)$ adalah $(B)\ y=5x-15$.
