Identitas Trigonometri : Pembuktian, Jenis, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap
Ini adalah pembahasan lengkap tentang cara mudah membuktikan rumus identitas trigonometri, disertai beberapa contoh soal latihan dan pembahasan.
Identitas trigonometri merupakan salah satu bentuk persamaan trigonometri yang memegang banyak peranan penting dalam perkembangannya.
Dengan identitas trigonometri kita bisa dengan mudah menyederhanakan limit trigonometri, integral trigonometri bahkan aplikasinya dalam turunan trigonometri.
Itu kenapa pengetahuan tentang identitas trigonometri wajib dikuasai sebagai penunjang dalam kemampuan menguasai topik lainnya yang masih berhubungan dengan konsep trigonometri.
Kira - kira apa yang pertama terlintas jika mendengar "identitas trigonometri" ?
Kamu pasti akan menjawab, "identitas trigonometri itu ya : $\sin^{2} x + \cos^{2} x=1$".
Padahal tahukah kamu itu hanya satu dari beberapa identitas trigonometri yang ada.
Perlu kamu ketahui sebenarnya ada 3 jenis rumus identitas trigonometri yang ada dalam konsep pembahasan materi trigonometri.
Ketiga rumus identitas trigonometri yaitu :
- Identitas Kebalikan.
- Identitas Rasio.
- Identitas Phytagoras.
Penamaan ketiga jenis identitas trigonometri tersebut didasarkan pada asal persamaan didapat dan bentuknya.
Rumus Identitas Trigonometri : Kebalikan
- $\csc \theta=\dfrac{1}{\sin \theta}$
- $\sec \theta=\dfrac{1}{\cos \theta}$
- $\cot \theta=\dfrac{1}{\tan \theta}$
Rumus Identitas Trigonometri : Rasio
- $\tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$
- $\cot \theta=\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$
Rumus Identitas Trigonometri : Phytagoras
- $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta=1$
- $1+ \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$
- $1+ \cot^{2} \theta = \csc^{2} \theta$
Terlepas dari identitas kebalikan yang diambil dari komplemen dari masing - masing fungsinya.
Identitas rasio dan identitas phytagoras dapat dengan mudah kita buktikan menggunakan perbandingan sisi - sisi pada segitiga siku - siku.
Perhatikan perbandingan sisi - sisi dalam segitiga siku - siku berikut.
Pembuktian $\tan \theta=\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$
Pembuktian $\cot \theta=\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$
$ \begin{align} \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} & = \dfrac{\dfrac{x}{r}}{\dfrac{y}{r}} \\ & = \dfrac{x}{r} \cdot \dfrac{r}{y} \\ & = \dfrac{x}{y} \\ & = \cot \theta \end{align} $
Sedangkan untuk membuktikan identitas trigonometri phytagoras $\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$
Pembuktian $\sin^{2} x + \cos^{2} x=1$
Ingat kembali bahwa, dengan memakai Dalil Phytagoras $y^2+x^2=r^2$
Sehingga kita akan dapatkan
$ \begin{align} \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta & = (\dfrac{y}{r})^{2}+(\dfrac{x}{r})^{2} \\ & = \dfrac{y^2}{r^2}+\dfrac{x^2}{r^2} \\ & = \dfrac{y^2+x^2}{r^2} \\ & = \dfrac{r^2}{r^2} \\ & = 1 \ \ \ \ \text{(TERBUKTI !)} \end{align} $
Pembuktian $1+ \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$
$ \begin{align} \to 1+ \tan^{2} \theta & = 1+\dfrac{y^2}{x^2} \\ & = \dfrac{x^2+y^2}{x^2} \\ & = \dfrac{r^2}{x^2} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{r^2}} \\ & = \dfrac{1}{\cos^{2} \theta} \\ & = \sec^{2} \theta \ \ \ \ \text{(TERBUKTI !)} \end{align} $
atau bisa juga kita bentuk dari identitas trigonometri $\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$
$ \begin{align} \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta & = 1 \\ \dfrac{\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} & = \dfrac{1}{\cos^{2} \theta} \\ \dfrac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\dfrac{\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} & =\dfrac{1}{\cos^{2} \theta} \\ \tan^{2} \theta + 1& = \sec^{2} \theta \ \ \ \ \text{(TERBUKTI !)}\end{align} $
Pembuktian $1+ \cot^{2} \theta = \csc^{2} \theta$
$ \begin{align} \to 1+ \cot^{2} \theta & = 1+\dfrac{x^2}{y^2} \\ & = \dfrac{y^2+x^2}{y^2} \\ & = \dfrac{r^2}{y^2} \\ & = \dfrac{1}{\dfrac{y^2}{r^2}} \\ & = \dfrac{1}{\sin^{2} \theta} \\ & = \csc^{2} \theta \ \ \ \ \text{(TERBUKTI !)} \end{align} $
atau dengan menggunakan identitas trigonometri $\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$ :
$ \begin{align} \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta & = 1 \\ \dfrac{\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} & = \dfrac{1}{\sin^{2} \theta} \\ \dfrac{\sin^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}+\dfrac{\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} & =\dfrac{1}{\sin^{2} \theta} \\ 1+ \cot^{2} \theta & = \csc^{2} \theta \ \ \ \ \text{(TERBUKTI !)}\end{align} $
Contoh Penggunaan Identitas Trigonometri
Soal - soal yang berhubungan dengan penggunaan identitas trigonometri lebih mengarah pada soal - soal berjenis pembuktian.
1. Buktikan bahwa $\sin \theta \ \cot \theta=\cos \theta$ !
Untuk membuktikannya kita akan memakai pembuktian kiri ke kanan.
Artinya adalah kita akan sederhanakan bentuk ruas kiri hingga ketemu dengan bentuk sederhana fungsi pada ruas kanan.
$ \begin{align} \sin \theta \ \cot \theta & = \sin \theta \cdot \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \\ & = \dfrac{\sin \theta \ \cos \theta}{\sin \theta} \\ & = \cos \theta \end{align} $
Jadi TERBUKTI bahwa $\sin \theta \ \cot \theta=\cos \theta$.
2. Buktikan bahwa $\tan \theta+\cos \theta=\sin \theta(\sec \theta+\cot \theta)$ !
TIPS! : Untuk memudahkan kamu dalam mengerjakan pembuktian trigonometri mulailah dari ruas yang berbentuk lebih rumit(kompleks) dilihat.
Oleh karena itu kita akan coba menggunakan pembuktian dari kanan ke kiri.
$ \begin{align} \sin \theta(\sec \theta+\cot \theta) & = \sin \theta \ \sec \theta+\sin \theta \ \cot \theta \\ & = \sin \theta \cdot \dfrac{1}{\cos \theta}+\sin \theta \cdot \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \\ & = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+\cos \theta \\ & = \tan \theta+\cos \theta \end{align} $
Jadi TERBUKTI bahwa $\tan \theta+\cos \theta=\sin \theta(\sec \theta+\cot \theta)$.
3. Buktikan identitas trigonometri berikut ! $ \dfrac{\sin A}{1-\cos A}=\dfrac{1+\cos A}{\sin A} $
Rumus identitas trigonometri yang akan kita gunakan untuk membuktikan soal di atas adalah :
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta=1$
Sehingga akan kita peroleh,
$ \begin{align} \dfrac{\sin A}{1-\cos A} \cdot \dfrac{1+\cos A}{1+\cos A} & = \dfrac{\sin A(1+\cos A)}{1-\cos^{2} A} \\ & = \dfrac{\sin A(1+\cos A)}{\sin^{2} A} \\ & = \dfrac{1+\cos A}{\sin A} \end{align} $
Jadi TERBUKTI bahwa $ \dfrac{\sin A}{1-\cos A}=\dfrac{1+\cos A}{\sin A} $
4. Buktikan bahwa $\sin^{2} x=\dfrac{\sec^{2 x-1}}{\sec^{2} x}$ !
$ \begin{aligned} \dfrac{\sec^2 \theta -1}{\sec^2 \theta} & = \dfrac{\sec^2 \theta} {\sec^2 \theta} -\dfrac{1}{\sec^2 \theta} \\ & = 1 -\cos^2 \theta \\ & = \sin^2 \theta \end{aligned} $
Jadi TERBUKTI bahwa $\sin^{2} x=\dfrac{\sec^{2 x-1}}{\sec^{2} x}$.
5. Buktikan bahwa $(\csc A + \cot A)(1 -\cos A) = \sin A$ !
$\begin{aligned} & (\csc A + \cot A)(1 -\cos A) \\ & = \csc A -\csc A \cos A + \cot A -\cot A \cos A \\ & = \dfrac{1}{\sin A} -\dfrac{\cos A}{\sin A} + \cot A- \dfrac{\cos A}{\sin A} \cdot \cos A \\ & = \dfrac{1}{\sin A} – \cot A + \cot A- \dfrac{\cos^2 A}{\sin A} \\ & = \dfrac{1 -\cos^2 A}{\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A}{\sin A} = \sin A \end{aligned}$
Jadi TERBUKTI bahwa $(\csc A + \cot A)(1 -\cos A) = \sin A$.
6. Buktikan bahwa $\dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} = (\sec x + \tan x)^2$ !
$ \begin{aligned} \dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} & = \dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} \times \dfrac{1 + \sin x} {1 + \sin x} \\ & = \dfrac{1 + 2 \sin x + \sin^2 x} {1- \sin^2 x} \\ & = \dfrac{1 + 2 \sin x + \sin^2 x} {\cos ^2 x} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \dfrac{2 \sin x} {\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \sec^2 x + 2 \sec x \tan x + \tan^2 x \\ & = (\sec x + \tan x)^2 \end{aligned} $
Jadi TERBUKTI bahwa $\dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} = (\sec x + \tan x)^2$.
7. Buktikan bahwa $\dfrac{1 -\cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} =\tan A$!
$ \begin{aligned} \dfrac{1 -\cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} & = \dfrac{1- (\cos^2 A -\sin^2 A) + \sin A} {(2 \sin A \cos A) + \cos A} \\ & = \dfrac{(1- \cos^2 A) + \sin^2 A + \sin A} {\cos A(2 \sin A + 1)} \\ & = \dfrac{\sin^2 A + \sin^2 A + \sin A} {\cos A(2 \sin A + 1)} \\ & = \dfrac{\sin A(2 \sin A + 1)} {\cos A(2 \sin A + 1)} \\ & = \dfrac{\sin A} {\cos A} = \tan A \end{aligned} $
Jadi TERBUKTI bahwa $\dfrac{1 -\cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} =\tan A$.
8. Buktikan bahwa $\dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} = 2 \sec 2A$ !
$ \begin{aligned} & \dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{\sin^2 \left(A + \frac{\pi} {4}\right) + \cos^2 \left(A + \frac{\pi} {4}\right)}{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right) \cdot \cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{1}{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right) \cdot \cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\sin 2\left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\sin \left(2A + \frac{\pi} {2}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\cos 2A} = 2 \sec 2A \end{aligned} $
Jadi TERBUKTI bahwa $\dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} = 2 \sec 2A$.
9. Buktikan $\dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 -2 \sin^2 A$ !
$ \begin{aligned} \dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} & = \dfrac{2}{\sec^2 A}- \dfrac{\sec^2 A} {\sec^2 A} \\ & = 2(\cos^2 A) -1 \\ & = 2(1 -\sin^2 A) -1 \\ & = 1 -2 \sin^2 A \end{aligned} $
Jadi TERBUKTI bahwa $\dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 -2 \sin^2 A$.
$ \begin{aligned} & (\cos 2a + \cos 4a + \cos 6a) \sin a \\ & = \left(\cos 4a + 2 \cos \left(\dfrac{2a+6a}{2}\right) \cos \left(\dfrac{6a-2a}{2}\right)\right) \sin a \\ & = (\cos 4a + 2 \cos 4a \cos 2a) \sin a \\ & = \cos 4a(1 + 2 \cos 2a) \sin a \\ & = \cos 4a(\sin a + 2 \cos 2a \sin a) \\ & = \cos 4a(\sin a + 2 \cdot \dfrac{1}{2}(\sin (a+2a) + \sin (a-2a))) \\ & = \cos 4a(\sin a \sin 3a + \sin (-a)) \\ & = \cos 4a \sin 3a \end{aligned} $
Jadi TERBUKTI bahwa $(\cos 2a + \cos 4a + \cos 6a) \sin a = \cos 4a \sin 3a$.
Penutup
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
