Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Identitas Trigonometri : Pembuktian, Jenis, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Ini adalah pembahasan lengkap tentang cara mudah membuktikan rumus identitas trigonometri, disertai beberapa contoh soal latihan dan pembahasan.

Identitas trigonometri merupakan salah satu bentuk persamaan trigonometri yang memegang banyak peranan penting dalam perkembangannya.

Dengan identitas trigonometri kita bisa dengan  mudah menyederhanakan limit trigonometri, integral trigonometri bahkan aplikasinya dalam turunan trigonometri.

Itu kenapa pengetahuan tentang identitas trigonometri wajib dikuasai sebagai penunjang dalam kemampuan menguasai topik lainnya yang masih berhubungan dengan konsep trigonometri.

Kira - kira apa yang pertama terlintas jika mendengar "identitas trigonometri" ?

Kamu pasti akan menjawab, "identitas trigonometri itu ya : sin2x+cos2x=1sin2x+cos2x=1".

Padahal tahukah kamu itu hanya satu dari beberapa identitas trigonometri yang ada.

Perlu kamu ketahui sebenarnya ada 3 jenis rumus identitas trigonometri yang ada dalam konsep pembahasan materi trigonometri.

Ketiga rumus identitas trigonometri yaitu :

  • Identitas Kebalikan.
  • Identitas Rasio.
  • Identitas Phytagoras.

Penamaan ketiga jenis identitas trigonometri tersebut didasarkan pada asal persamaan didapat dan bentuknya.

Rumus Identitas Trigonometri : Kebalikan

  • cscθ=1sinθcscθ=1sinθ 
  • secθ=1cosθsecθ=1cosθ 
  • cotθ=1tanθcotθ=1tanθ 

Rumus Identitas Trigonometri : Rasio 

  • tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ 
  • cotθ=cosθsinθcotθ=cosθsinθ 

Rumus Identitas Trigonometri : Phytagoras 

  • sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1 
  • 1+tan2θ=sec2θ1+tan2θ=sec2θ 
  • 1+cot2θ=csc2θ1+cot2θ=csc2θ 

Terlepas dari identitas kebalikan yang diambil dari komplemen dari masing - masing fungsinya. 

Identitas rasio dan identitas phytagoras dapat dengan mudah kita buktikan menggunakan perbandingan sisi - sisi pada segitiga siku - siku. 

Perhatikan perbandingan sisi - sisi dalam segitiga siku - siku berikut.

Pembuktian tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ

sinθcosθ=yrxr=yrrx=yx=tanθsinθcosθ=yrxr=yrrx=yx=tanθ

Pembuktian cotθ=cosθsinθcotθ=cosθsinθ 

cosθsinθ=xryr=xrry=xy=cotθcosθsinθ=xryr=xrry=xy=cotθ

Sedangkan untuk membuktikan identitas trigonometri phytagoras sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1 

Pembuktian sin2x+cos2x=1sin2x+cos2x=1

Ingat kembali bahwa, dengan memakai Dalil Phytagoras y2+x2=r2y2+x2=r2 

Sehingga kita akan dapatkan 

sin2θ+cos2θ=(yr)2+(xr)2=y2r2+x2r2=y2+x2r2=r2r2=1    (TERBUKTI !)sin2θ+cos2θ=(yr)2+(xr)2=y2r2+x2r2=y2+x2r2=r2r2=1    (TERBUKTI !)

Pembuktian 1+tan2θ=sec2θ1+tan2θ=sec2θ 

1+tan2θ=1+y2x2=x2+y2x2=r2x2=1x2r2=1cos2θ=sec2θ    (TERBUKTI !)1+tan2θ=1+y2x2=x2+y2x2=r2x2=1x2r2=1cos2θ=sec2θ    (TERBUKTI !) 

atau bisa juga kita bentuk dari identitas trigonometri sin2θ+cos2θ=1 

sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θcos2θ=1cos2θsin2θcos2θ+cos2θcos2θ=1cos2θtan2θ+1=sec2θ    (TERBUKTI !) 

Pembuktian 1+cot2θ=csc2θ 

1+cot2θ=1+x2y2=y2+x2y2=r2y2=1y2r2=1sin2θ=csc2θ    (TERBUKTI !) 

atau dengan menggunakan identitas trigonometri sin2θ+cos2θ=1

sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θsin2θ=1sin2θsin2θsin2θ+cos2θsin2θ=1sin2θ1+cot2θ=csc2θ    (TERBUKTI !)

Contoh Penggunaan Identitas Trigonometri

Soal - soal yang berhubungan dengan penggunaan identitas trigonometri lebih mengarah pada soal - soal berjenis pembuktian.

1. Buktikan bahwa sinθ cotθ=cosθ

Untuk membuktikannya kita akan memakai pembuktian kiri ke kanan. 

Artinya adalah kita akan sederhanakan bentuk ruas kiri hingga ketemu dengan bentuk sederhana fungsi pada ruas kanan. 

sinθ cotθ=sinθcosθsinθ=sinθ cosθsinθ=cosθ

Jadi TERBUKTI bahwa sinθ cotθ=cosθ.

2. Buktikan bahwa tanθ+cosθ=sinθ(secθ+cotθ)

TIPS! : Untuk memudahkan kamu dalam mengerjakan pembuktian trigonometri mulailah dari ruas yang berbentuk lebih rumit(kompleks) dilihat. 

Oleh karena itu kita akan coba menggunakan pembuktian dari kanan ke kiri. 

sinθ(secθ+cotθ)=sinθ secθ+sinθ cotθ=sinθ1cosθ+sinθcosθsinθ=sinθcosθ+cosθ=tanθ+cosθ

Jadi TERBUKTI bahwa tanθ+cosθ=sinθ(secθ+cotθ).

3. Buktikan identitas trigonometri berikut ! sinA1cosA=1+cosAsinA 

Rumus identitas trigonometri yang akan kita gunakan untuk membuktikan soal di atas adalah : 

sin2θ+cos2θ=1 

Sehingga akan kita peroleh, 

sinA1cosA1+cosA1+cosA=sinA(1+cosA)1cos2A=sinA(1+cosA)sin2A=1+cosAsinA

Jadi TERBUKTI bahwa sinA1cosA=1+cosAsinA

4. Buktikan bahwa sin2x=sec2x1sec2x

sec2θ1sec2θ=sec2θsec2θ1sec2θ=1cos2θ=sin2θ

Jadi TERBUKTI bahwa sin2x=sec2x1sec2x.

5. Buktikan bahwa (cscA+cotA)(1cosA)=sinA

(cscA+cotA)(1cosA)=cscAcscAcosA+cotAcotAcosA=1sinAcosAsinA+cotAcosAsinAcosA=1sinAcotA+cotAcos2AsinA=1cos2AsinA=sin2AsinA=sinA 

Jadi TERBUKTI bahwa (cscA+cotA)(1cosA)=sinA.

6. Buktikan bahwa 1+sinx1sinx=(secx+tanx)2

1+sinx1sinx=1+sinx1sinx×1+sinx1+sinx=1+2sinx+sin2x1sin2x=1+2sinx+sin2xcos2x=1cos2x+2sinxcos2x+sin2xcos2x=sec2x+2secxtanx+tan2x=(secx+tanx)2 

Jadi TERBUKTI bahwa 1+sinx1sinx=(secx+tanx)2.

7. Buktikan bahwa 1cos2A+sinAsin2A+cosA=tanA

1cos2A+sinAsin2A+cosA=1(cos2Asin2A)+sinA(2sinAcosA)+cosA=(1cos2A)+sin2A+sinAcosA(2sinA+1)=sin2A+sin2A+sinAcosA(2sinA+1)=sinA(2sinA+1)cosA(2sinA+1)=sinAcosA=tanA 

Jadi TERBUKTI bahwa 1cos2A+sinAsin2A+cosA=tanA.

8. Buktikan bahwa sin(A+π4)cos(A+π4)+cos(A+π4)sin(A+π4)=2sec2A

sin(A+π4)cos(A+π4)+cos(A+π4)sin(A+π4)=sin2(A+π4)+cos2(A+π4)sin(A+π4)cos(A+π4)=1sin(A+π4)cos(A+π4)=2sin2(A+π4)=2sin(2A+π2)=2cos2A=2sec2A 

Jadi TERBUKTI bahwa sin(A+π4)cos(A+π4)+cos(A+π4)sin(A+π4)=2sec2A.

9. Buktikan 2sec2Asec2A=12sin2A

2sec2Asec2A=2sec2Asec2Asec2A=2(cos2A)1=2(1sin2A)1=12sin2A 

Jadi TERBUKTI bahwa 2sec2Asec2A=12sin2A.

10. Buktikan bahwa (cos2a+cos4a+cos6a)sina =cos4asin3a

(cos2a+cos4a+cos6a)sina=(cos4a+2cos(2a+6a2)cos(6a2a2))sina=(cos4a+2cos4acos2a)sina=cos4a(1+2cos2a)sina=cos4a(sina+2cos2asina)=cos4a(sina+212(sin(a+2a)+sin(a2a)))=cos4a(sinasin3a+sin(a))=cos4asin3a 

Jadi TERBUKTI bahwa (cos2a+cos4a+cos6a)sina=cos4asin3a.

Penutup

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat. 

Selamat Belajar !

Kreatif Matematika
Kreatif Matematika Teman Ngopi Belajar Matematika