Identitas Trigonometri : Pembuktian, Jenis, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap
Ini adalah pembahasan lengkap tentang cara mudah membuktikan rumus identitas trigonometri, disertai beberapa contoh soal latihan dan pembahasan.
Identitas trigonometri merupakan salah satu bentuk persamaan trigonometri yang memegang banyak peranan penting dalam perkembangannya.
Dengan identitas trigonometri kita bisa dengan mudah menyederhanakan limit trigonometri, integral trigonometri bahkan aplikasinya dalam turunan trigonometri.
Itu kenapa pengetahuan tentang identitas trigonometri wajib dikuasai sebagai penunjang dalam kemampuan menguasai topik lainnya yang masih berhubungan dengan konsep trigonometri.
Kira - kira apa yang pertama terlintas jika mendengar "identitas trigonometri" ?
Kamu pasti akan menjawab, "identitas trigonometri itu ya : sin2x+cos2x=1sin2x+cos2x=1".
Padahal tahukah kamu itu hanya satu dari beberapa identitas trigonometri yang ada.
Perlu kamu ketahui sebenarnya ada 3 jenis rumus identitas trigonometri yang ada dalam konsep pembahasan materi trigonometri.
Ketiga rumus identitas trigonometri yaitu :
- Identitas Kebalikan.
- Identitas Rasio.
- Identitas Phytagoras.
Penamaan ketiga jenis identitas trigonometri tersebut didasarkan pada asal persamaan didapat dan bentuknya.
Rumus Identitas Trigonometri : Kebalikan
- cscθ=1sinθcscθ=1sinθ
- secθ=1cosθsecθ=1cosθ
- cotθ=1tanθcotθ=1tanθ
Rumus Identitas Trigonometri : Rasio
- tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ
- cotθ=cosθsinθcotθ=cosθsinθ
Rumus Identitas Trigonometri : Phytagoras
- sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1
- 1+tan2θ=sec2θ1+tan2θ=sec2θ
- 1+cot2θ=csc2θ1+cot2θ=csc2θ
Terlepas dari identitas kebalikan yang diambil dari komplemen dari masing - masing fungsinya.
Identitas rasio dan identitas phytagoras dapat dengan mudah kita buktikan menggunakan perbandingan sisi - sisi pada segitiga siku - siku.
Perhatikan perbandingan sisi - sisi dalam segitiga siku - siku berikut.
Pembuktian tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ
Pembuktian cotθ=cosθsinθcotθ=cosθsinθ
cosθsinθ=xryr=xr⋅ry=xy=cotθcosθsinθ=xryr=xr⋅ry=xy=cotθ
Sedangkan untuk membuktikan identitas trigonometri phytagoras sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1
Pembuktian sin2x+cos2x=1sin2x+cos2x=1
Ingat kembali bahwa, dengan memakai Dalil Phytagoras y2+x2=r2y2+x2=r2
Sehingga kita akan dapatkan
sin2θ+cos2θ=(yr)2+(xr)2=y2r2+x2r2=y2+x2r2=r2r2=1 (TERBUKTI !)sin2θ+cos2θ=(yr)2+(xr)2=y2r2+x2r2=y2+x2r2=r2r2=1 (TERBUKTI !)
Pembuktian 1+tan2θ=sec2θ1+tan2θ=sec2θ
→1+tan2θ=1+y2x2=x2+y2x2=r2x2=1x2r2=1cos2θ=sec2θ (TERBUKTI !)→1+tan2θ=1+y2x2=x2+y2x2=r2x2=1x2r2=1cos2θ=sec2θ (TERBUKTI !)
atau bisa juga kita bentuk dari identitas trigonometri sin2θ+cos2θ=1
sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θcos2θ=1cos2θsin2θcos2θ+cos2θcos2θ=1cos2θtan2θ+1=sec2θ (TERBUKTI !)
Pembuktian 1+cot2θ=csc2θ
→1+cot2θ=1+x2y2=y2+x2y2=r2y2=1y2r2=1sin2θ=csc2θ (TERBUKTI !)
atau dengan menggunakan identitas trigonometri sin2θ+cos2θ=1 :
sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θsin2θ=1sin2θsin2θsin2θ+cos2θsin2θ=1sin2θ1+cot2θ=csc2θ (TERBUKTI !)
Contoh Penggunaan Identitas Trigonometri
Soal - soal yang berhubungan dengan penggunaan identitas trigonometri lebih mengarah pada soal - soal berjenis pembuktian.
1. Buktikan bahwa sinθ cotθ=cosθ !
Untuk membuktikannya kita akan memakai pembuktian kiri ke kanan.
Artinya adalah kita akan sederhanakan bentuk ruas kiri hingga ketemu dengan bentuk sederhana fungsi pada ruas kanan.
sinθ cotθ=sinθ⋅cosθsinθ=sinθ cosθsinθ=cosθ
Jadi TERBUKTI bahwa sinθ cotθ=cosθ.
2. Buktikan bahwa tanθ+cosθ=sinθ(secθ+cotθ) !
TIPS! : Untuk memudahkan kamu dalam mengerjakan pembuktian trigonometri mulailah dari ruas yang berbentuk lebih rumit(kompleks) dilihat.
Oleh karena itu kita akan coba menggunakan pembuktian dari kanan ke kiri.
sinθ(secθ+cotθ)=sinθ secθ+sinθ cotθ=sinθ⋅1cosθ+sinθ⋅cosθsinθ=sinθcosθ+cosθ=tanθ+cosθ
Jadi TERBUKTI bahwa tanθ+cosθ=sinθ(secθ+cotθ).
3. Buktikan identitas trigonometri berikut ! sinA1−cosA=1+cosAsinA
Rumus identitas trigonometri yang akan kita gunakan untuk membuktikan soal di atas adalah :
sin2θ+cos2θ=1
Sehingga akan kita peroleh,
sinA1−cosA⋅1+cosA1+cosA=sinA(1+cosA)1−cos2A=sinA(1+cosA)sin2A=1+cosAsinA
Jadi TERBUKTI bahwa sinA1−cosA=1+cosAsinA
4. Buktikan bahwa sin2x=sec2x−1sec2x !
sec2θ−1sec2θ=sec2θsec2θ−1sec2θ=1−cos2θ=sin2θ
Jadi TERBUKTI bahwa sin2x=sec2x−1sec2x.
5. Buktikan bahwa (cscA+cotA)(1−cosA)=sinA !
(cscA+cotA)(1−cosA)=cscA−cscAcosA+cotA−cotAcosA=1sinA−cosAsinA+cotA−cosAsinA⋅cosA=1sinA–cotA+cotA−cos2AsinA=1−cos2AsinA=sin2AsinA=sinA
Jadi TERBUKTI bahwa (cscA+cotA)(1−cosA)=sinA.
6. Buktikan bahwa 1+sinx1−sinx=(secx+tanx)2 !
1+sinx1−sinx=1+sinx1−sinx×1+sinx1+sinx=1+2sinx+sin2x1−sin2x=1+2sinx+sin2xcos2x=1cos2x+2sinxcos2x+sin2xcos2x=sec2x+2secxtanx+tan2x=(secx+tanx)2
Jadi TERBUKTI bahwa 1+sinx1−sinx=(secx+tanx)2.
7. Buktikan bahwa 1−cos2A+sinAsin2A+cosA=tanA!
1−cos2A+sinAsin2A+cosA=1−(cos2A−sin2A)+sinA(2sinAcosA)+cosA=(1−cos2A)+sin2A+sinAcosA(2sinA+1)=sin2A+sin2A+sinAcosA(2sinA+1)=sinA(2sinA+1)cosA(2sinA+1)=sinAcosA=tanA
Jadi TERBUKTI bahwa 1−cos2A+sinAsin2A+cosA=tanA.
8. Buktikan bahwa sin(A+π4)cos(A+π4)+cos(A+π4)sin(A+π4)=2sec2A !
sin(A+π4)cos(A+π4)+cos(A+π4)sin(A+π4)=sin2(A+π4)+cos2(A+π4)sin(A+π4)⋅cos(A+π4)=1sin(A+π4)⋅cos(A+π4)=2sin2(A+π4)=2sin(2A+π2)=2cos2A=2sec2A
Jadi TERBUKTI bahwa sin(A+π4)cos(A+π4)+cos(A+π4)sin(A+π4)=2sec2A.
9. Buktikan 2−sec2Asec2A=1−2sin2A !
2−sec2Asec2A=2sec2A−sec2Asec2A=2(cos2A)−1=2(1−sin2A)−1=1−2sin2A
Jadi TERBUKTI bahwa 2−sec2Asec2A=1−2sin2A.
(cos2a+cos4a+cos6a)sina=(cos4a+2cos(2a+6a2)cos(6a−2a2))sina=(cos4a+2cos4acos2a)sina=cos4a(1+2cos2a)sina=cos4a(sina+2cos2asina)=cos4a(sina+2⋅12(sin(a+2a)+sin(a−2a)))=cos4a(sinasin3a+sin(−a))=cos4asin3a
Jadi TERBUKTI bahwa (cos2a+cos4a+cos6a)sina=cos4asin3a.
Penutup
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !