Catatan Lengkap Fungsi Komposisi, Fungsi Invers dan Invers Komposisi

Ini adalah catatan lengkap yang membahas tentang fungsi komposisi, fungsi invers dan invers dari fungsi komposisi lengkap.

Jadi buat kamu yang sekarang lagi belajar topik ini harus baca sampai habis ya, jangan di skip bacanya.

Dalam keumumannya fungsi komposisi lebih sering disebut juga dengan nama fungsi bundaran.

Mengapa demikian?

Hal ini dikarenakan notasi atau simbol dari fungsi komposisi dalam matematika menggunakan simbol seperti bundaran kecil (bukan huruf o).

Sedangkan fungsi invers dapat dikatakan sebagai fungsi yang merupakan hasil refleksi (pencerminan) terhadap garis y=x dari fungsi asalnya.

Oke tanpa berlama - lama lagi yuk kita bahas satu -satu.

Simak sampai akhir ya..

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi sering juga disebut dengan istilah sebagai fungsi bundaran. 

Definisi Fungsi Komposisi

Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi yang masing - masing terdefinisi untuk setiap $x \in R$ maka $(f \circ g)(x)=f(g(x))$.

Ada beberapa sifat yang berlaku dalam fungsi komposisi, yaitu :

1. Sifat Asosiatif 

$ \begin{align} (f \circ g \circ h)(x) & = [f \circ (g \circ h)](x) \\ & = [(f \circ g) \circ h](x) \end{align} $

2. Tidak Berlaku Sifat Komutatif

$(f \circ g)(x) \neq(g \circ f)(x)$

Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Pembahasan Lengkap

1. Soal UNBK Matematika IPS 2018 

Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & 3x^{2}+3x+11 \\ (B)\ & 3x^{2}-3x+11 \\ (C)\ & 3x^{2}-3x-11 \\ (D)\ & 9x^{2}-9x-5 \\ (E)\ & 9x^{2}-9x-5 \end{align} $ 

$ \begin{align} (fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = 3g(x)+2 \\ & = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\ & = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\ & = 3 x^{2} - 3x + 11 \end{align} $ 

Jadi jawaban yang benar adalah $(B)\ 3 x^{2} - 3x + 11$

2. Soal UNBK Matematika IPA 2019 

Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g:R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(fog)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 25 \end{align} $ 

Langkah mengerjakannya kita mulai dari $(fog)(x)=x^{3}-4x$ sehingga

$ \begin{align} f(g(x))&=x^{3}-4x \\ f(x-1)&=x^{3}-4x \end{align} $ 

Dengan substitusi $x=3$ maka kita akan dapatkan nilai dari $f(2)$ yaitu 

$ \begin{align} f(x-1)&=x^{3}-4x \\ f(3-1)&=3^{3}-4(3) \\ f(2)&=27-12 \\ &=15 \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(C)\ 15$

Fungsi Invers

Fungsi invers pada dasarnya adalah kebalikan proses dari suatu fungsi asalnya.  

Dengan kata lain jika $f$ adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan $A$ tepat satu pada anggota himpunan $B$.

Maka yang dinamakan fungsi invers adalah suatu fungsi yang memetakan kembali dari setiap anggota $B$ tepat satu kembali pada anggota himpunan $A$.

Dalam transformasi geometri fungsi invers adalah pencerminan terhadap garis $y=x$ dari fungsi asalnya.

Definisi Fungsi Invers 

$f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$

Langkah - langkah mendapatkan invers fungsi :

1. Misalkan $f(x)$ sebagai $y$.
2. Sederhanakan fungsinya kelompokkan variabel $x$ dan $y$ dalam ruas yang berbeda.
3. Dapatkan nilai $y$ dari fungsi yang ada.
4. Langkah akhir fungsi $f^{-1}(x)$ diperoleh dengan mengganti semua variabel $y$ menjadi $x$.

Contoh Soal Fungsi Invers dan Pembahasan Lengkap

1. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019 

Diketahui $f(x)=\dfrac{9x+17}{x+2};\ x \neq -2$ dan $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x)$. Nilai dari $f^{-1}(10)$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & -16 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 12 \end{align} $ 

Sesuai dengan langkah - langkah yang sudah disebutkan maka kita akan dapatkan invers dari $f(x)$ yaitu : 

$ \begin{align} f(x) &=\dfrac{9x+17}{x+2} \\ y\ & =\dfrac{9x+17}{x+2} \\ y(x+2)\ & = 9x+17 \\ xy +2y\ & = 9x+17 \\ xy -9x \ & = -2y+17 \\ x(y -9) \ & = -2y+17 \\ x \ & =\dfrac{-2y+17}{(y -9)} \\ f^{-1}(x)\ & =\dfrac{-2x+17}{x -9 } \\ \end{align} $ 

Karena di akhir yang ditanyakan adalah $f^{-1}(10)$ maka 

$ \begin{align} f^{-1}(x)\ & =\dfrac{-2x+17}{x -9 } \\ f^{-1}(10)\ & =\dfrac{-2(10)+17}{(10)-9 } \\ & =\dfrac{-3}{1} \\ &=-3 \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ -3$

2. Soal Fungsi Invers

Jika $f(x)=5x+1$ maka nilai dari $f^{-1}(x)$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{y-1}{5} \\ (B)\ & \dfrac{x+1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{x-1}{5} \\ (D)\ & \dfrac{2x-1}{5} \\ (E)\ & \dfrac{x-5}{5} \end{align} $ 

$ \begin{align} f(x)&=5x+1 \\ y\ &=5x+1 \\ y-1 &= 5x \\ x &= \dfrac{y-1}{5} \\ f^{-1}(x) &=\dfrac{x-1}{5} \end{align} $

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(C) \ \dfrac{x-1}{5}$

Invers Fungsi Komposisi

Mencari invers dari suatu fungsi komposisi cukup mudah.

Ada dua cara yang bisa kalian pakai :

1. Dengan mencari dulu nilai dari fungsi komposisinya lalu bagian terakhir tinggal mencari invers fungsinya.
2. Kita cari masing - masing invers dari fungsi pembentuk fungsi komposisinya baru dibagian akhir tinggal kita hitung invers fungsinya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan operasi matematis berikut ini :

$(f \circ g)^{-1} (x)=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$

Oke perhatikan beberapa contoh soal berikut ini ya gengs.

Contoh Soal Invers Fungsi Komposisi dan Pembahasan Lengkap

1. Soal Invers Fungsi Komposisi

Diketahui fungsi $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=^{2}\textrm{log} \ {3x}$ maka nilai dari $(f \circ g)^{-1} (x)$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & \sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \\ (B)\ & \sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{2^{y}}{27}} \\ (D)\ & \sqrt{\dfrac{2^{x}}{27}} \\ (E)\ & -\sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \end{align} $

Dengan menggunakan sifat dari invers fungsi komposisi 

$(f \circ g)^{-1} (x)=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ 

maka kita akan cari terlebih dahulu nilai dari fungsi komposisi yang dimaksud dalam soal. 

$ \begin{align} (f \circ g)(x)&=f(g(x)) \\ &=2(^{2}\textrm{log} \ {3x})+3 \\ &=^{2}\textrm{log} \ {(3x)^{2}}+^{2}\textrm{log} \ {8} \\ &=^{2}\textrm{log} \ {8(3x)^{2}} \\ &=^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \end{align} $ 

Berikutnya kita langkah terakhir kita akan hitung berapa nilai dari $(f \circ g)^{-1} (x)$. 

Sehingga kita akan dapatkan : 

$ \begin{align} (f \circ g)(x)&=^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \\ y \ &=^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \\ 2^{y}&=72x^{2} \\ \dfrac{2^{y}}{72}&=x^{2} \\ x \ &= \pm \sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \end{align} $ 

Dengan demikian kita dapatkan hasil akhir yaitu 

$ (f \circ g)^{-1}=\sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B) \ (f \circ g)^{-1}=\sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}}$

2. Soal Invers Fungsi Komposisi

Diketahui fungsi $f^{-1}=5x+11$ dan $g(x)=\dfrac{x+3}{4-7x}$ maka nilai dari $(g \circ f)^{-1} (x)$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & \frac{96x+5}{-7x-1} \\ \\ (B)\ & \frac{97x-4}{-7x-1} \\ \\ (C)\ & \frac{96x-5}{-7x-1} \\ \\ (D)\ & \frac{-97x+4}{-7x-1} \\ \\ (E)\ & \frac{97x+4}{7x+2} \end{align} $

Dengan menggunakan sifat dari invers fungsi komposisi 

$(f \circ g)^{-1} (x)=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$ 

maka kita akan cari terlebih dahulu nilai dari $g^{-1}(x)$ karena fungsi $f$ sudah diketahui inversnya. 

TRIK SUPERKILAT! 

Jika $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ maka 

$g^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$ 

Sehingga kita akan peroleh bahwa nilai dari $g^{-1}(x)=\dfrac{-4x+3}{-7x-1}$ 

Dengan demikian 

$ \begin{align} (g \circ f)^{-1}(x)&=(f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ &=5 \left ( \dfrac{-4x+3}{-7x-1} \right)+11 \\ &=\dfrac{-20x+15-77x-11}{-7x-1} \\ &=\dfrac{-97x+4}{-7x-1} \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D) \ \dfrac{-97x+4}{-7x-1}$

Nah sahabat kreatif, itu lah tadi Catatan Lengkap Fungsi Komposisi, Fungsi Invers dan Invers Komposisi. 

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat. 

Selamat Belajar !