Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Akar

Ini adalah pembahasan cara mudah menyelesaikan soal pertidaksamaan bentuk akar (irasional) dengan mudah.

Pertidaksamaan Irasional sering juga disebut dengan pertidaksamaan bentuk akar. 

Pada kesempatan kali ini kreatifmatematika.com akan membahas tuntas mengenai serba – serbi permasalahan pertidaksamaan irasional ini yang sering menjadi momok buat kalian sehingga sering kalian lewati apabila bertemu dalam soal ujian di UTBK - SBMPTN ataupun Ujian Sekolah. 

Pada dasarnya bukanlah persoalan yang terlalu rumit untuk menyelesaikan pertidaksamaan irasional tersebut. 

Baik untuk mengingatkan kembali sebenarkan bentuknya seperti apa sih pertidaksamaan irasional tersebut bisa kalian lihat pada beberapa pertidaksamaan di bawah ini :

$\sqrt{3x-5} \le \sqrt{5x+10}$ 

$\sqrt{2-x^{2}+3x} \ge x\sqrt{x+5}$ 

$\sqrt{\dfrac{x^{2}-1}{x+2}} \le 0$

Contoh di atas adalah hanya sebagian dari soal – soal pertidaksamaan irasional yang sering dikeluarkan dalam ujian jenjang SMA. 

Terdapat beberapa macam bentuk pertidaksamaan irasional mulai dari : pertidaksamaan irasional satu variabel, pertidaksamaan irasional dua variabel, pertidaksamaan irasional bentuk kuadrat, pertidaksamaan irasional bentuk polinomial (berderajat lebih dari dua), pertidaksamaan irasional bentuk pecahan, pertidaksamaan irasional dan mutlak. 

Langkah Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan  Akar (Irasional)

$\begin{align} \sqrt{f(x)} & \gt \sqrt{g(x)} \\ \to f(x) & \gt g(x) \end{align}$ 

Syarat : $f(x) \ge 0 \ \wedge \ g(x) \ge 0$

Langkah mudah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan akar adalah :

1. Kuadratkan kedua ruas sehingga bentuk akar pada salah satu dan atau kedua ruas dapat kita hilangkan.
2. Sederhanakan ke dalam bentuk fungsi yang lebih sederhana.
3. Dapatkan nilai - nilai pembuat nol fungsinya.
4. Uji titik atau tanda memakai garis bilangan.
5. Uji juga syarat non-negatifitas fungsi di bawah akar
6. Himpunan penyelesaiannya adalah daerah irisan langkah nomor 4 dan 5. 

Syarat Non-negatifitas Fungsi Irasional :

$\sqrt{ax \pm b} \le 0 \to ax \pm b \ge 0$

Pertidaksamaan Irasional Satu Variabel

Pertidaksamaan irasional satu variabel adalah bentuk adalah bentuk pertidaksamaan irasional yang paling sederhana.

Biasanya materi pertidaksamaan irasional satu variabel ini diperkenalkan pertama kali sejak di bangku Sekolah Menengah Pertama (SMP)

Langkah mudah mengerjakannya cukup sederhana, cukup pisahkan dalam ruas yang berbeda antara variabel bebas $(x)$  dan nilai konstantanya.

1. Contoh Soal Pertidaksamaan Irasional Satu Variabel

Batas - batas interval nilai $x$ yang memenuhi $\sqrt{3x-5} \le \sqrt{5x+10}$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x \ge -\dfrac{5}{2} \\ (B)\ & x \gt \dfrac{15}{2} \\ (C)\ & x \ge \dfrac{5}{3} \\ (D)\ & x \gt -\dfrac{13}{2} \\ (E)\ & x \ge \dfrac{3}{2} \end{align}$

$\clubsuit$ Pembahasan :

Langkah pertama mengerjakannya adalah  dengan menguadratkan kedua ruas untuk menghilangkan bentuk akarnya.

$ \begin{align} \sqrt{3x-5} & \le \sqrt{5x+10} \\ (\sqrt{3x-5})^{2} & \le (\sqrt{5x+10})^{2} \\ 3x-5 & \le 5x+10 \\ -2x & \le 15 \\ x & \ge -\dfrac{15}{2} \end{align} $

Tetap kita harus cek apakah hasil yang kita dapatkan tersebut sudah memenuhi dari syarat non-negatifitas fungsi irasionalnya, yaitu

• $3x-5 \ge 0 \to x \ge \dfrac{5}{3}$ 
• $5x+10 \ge 0 \to x \ge -2$

Langkah berikutnya kita akan uji daerah mana yang merupakan irisan dari ketiga pertidaksamaan tersebut.

Daerah irisan ketiganya merupakan daerah hasil batas - batas interval nilai $x$ yang kita cari.

Terlihat jelas bahwa daerah irisan ketiganya berada disamping kanan titik $\dfrac{5}{3}$.

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (C) $x \ge \dfrac{5}{3}$

Pertidaksamaan Irasional Bentuk Kuadrat

Pertidaksamaan irasional bentuk bentuk kuadrat adalah salah satu varian bentuk yang melibatkan bentuk fungsi kuadrat di dalamnya.

2. Contoh Soal Pertidaksamaan Irasional Bentuk Kuadrat

Nilai batas - batas nilai $x$ dari pertidaksamaan $\sqrt{x^{2}+6x-8} \ge \sqrt{x^{2}+8x}$ adalah... 

$\begin{align} (A)\ & x \lt -2 \ \ \text{atau} \ \ x \gt 4 \\ (B)\ & x \le -8 \ \ \text{atau} \ \ x \gt 4 \\ (C)\ & -8 \le x \lt 0 \ \ \text{atau} \ \ x \gt 4 \\ (D)\ & -4 \le x \lt 2 \ \ \text{atau} \ \ x \gt 4 \\ (E)\ & -8 \le x \le -4 \ \ \text{atau} \ \ x \gt 4 \end{align}$

$\clubsuit$ Pembahasan : 

$\begin{align} \sqrt{2x^{2}+6x-8} & \lt \sqrt{x^{2}+8x} \\ 2x^{2}+6x-8 & \lt x^{2}+8x \\ x^{2}-2x-8 & \lt 0 \\ (x-4)(x+2) & \lt 0 \end{align}$ 

Syarat : 

$\begin{align} \to 2x^{2}+6x-8 & \ge 0 \ |\ :(2) \\ x^{2}+3x-4 & \ge 0 \\ (x+4)(x-1) & \ge 0 \end{align}$ 

$\begin{align} \to x^{2}+8x & \ge 0 \\ x(x+8) & \ge 0 \end{align}$

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $x \le -8 \text{atau} x \gt 4$.

Pertidaksamaan Irasional Bentuk Pecahan

Langkah mudah mengerjakan pertidaksamaan akar (irasional) bentuk pecahan sebenarnya tidak jauh berbeda dengan apa yang sudah kita bahas pada contoh - contoh soal di atas. 

Hanya saja karena fungsi di bawah akar merupakan bentuk pecahan maka selain uji syarat non-negatiftas kita juga harus menambahkan syarat penyebut tidak sama dengan nol.

$\sqrt{\dfrac{ax+b}{cx+d}} \gt 0$ 

Syarat : 

• $\dfrac{ax+b}{cx+d} \ge 0$ 

• $cx+d \neq 0 $

3. Contoh Soal Pertidaksamaan Irasional Bentuk Pecahan

Batas -  batas nilai $x$ dari pertidaksamaan $\sqrt{\dfrac{2x-1}{x+3}} \gt 2$ adalah...

$\begin{align} (A)\ & x \lt -3 \ \ \text{atau} \ \ x \ge \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & x \le -3 \ \ \text{atau} \ \ x \gt 2 \\ (C)\ & -\dfrac{13}{2} \lt x \lt -3 \\ (D)\ & -\dfrac{13}{2} \lt x \lt \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -3 \le x \le \dfrac{1}{2} \end{align}$

$\clubsuit$ Pembahasan :

$\begin{align} \sqrt{\dfrac{2x-1}{x+3}} & \gt 2 \\ (\sqrt{\dfrac{2x-1}{x+3}})^{2} & \gt 2^{2} \\ \dfrac{2x-1}{x+3} & \gt 4 \\ \dfrac{2x-1}{x+3}-4 & \gt 0 \\ \dfrac{2x-1-4(x+3)}{x+3} & \gt 0 \\ \dfrac{-2x-13}{x+3} & \gt 0 \end{align}$ 

Syarat : 

• $\dfrac{2x-1}{x+3} \ge 0$ 

• $x+3 \neq 0 \to x \neq -3$

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (C) $-\dfrac{13}{2} \lt x \lt -3$.

Penutup

Nah sahabat kreatif, itu lah pembahasan Cara Mudah Menyelesaiakan Pertidaksamaan Irasional.

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.

Selamat Belajar !