Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / SMA / Trigonometri

Rangkuman Rumus - Rumus Trigonometri Lengkap

Ini adalah  pembahasan lengkap rumus - rumus trigonometri mulai dari materi kelas 10 , kelas 11 dan kelas 12 SMA maupun SMK.


Buat kamu yang sampai detik ini masih gagal paham dengan materi trigonometri berarti kamu sudah tepat berada di sini.

Di halaman ini kita akan rangkum semua seluk beluk rumus - rumus trigonometri dari A sampai Z sehingga akan sangat memudahkan belajarmu jika dibutuhkan.

Belajar trigonometri sebenarnya bukan hal yang susah, memang butuh sedikit kesabaran dalam menghafal rumus - rumus trigonometrinya.

Semua akan kita bahas tuntas mulai dari hal  yang paling mendasar.

SEJARAH TRIGONOMETRI

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. 

Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. 

Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Prancis.

DEFINISI TRIGONOMETRI

Apa itu trigonometri??

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = "tiga sudut" dan metron = "mengukur")[1] adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. 

Bidang ini muncul di masa Helenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.

DASAR - DASAR TRIGONOMETRI

Perbandingan Sisi Pada Segitiga Siku - Siku 
Dasar Dari Trigonometri

dari perbandingan - perbandingan ketiga sisi dalam segitiga siku - siku tersebut kita dapatkan beberapa istilah yang sering kita dengar : sindemi, cosami, dan tandesa.

Apa maksudnya?

Sindemi $\to$ nilai $\sin$ adalah hasil dari perbandingan sisi depan dan miring.

Cosami $\to$ nilai $\cos$ adalah hasil dari perbandingan sisi samping dan miring.

Tandesa $\to$ nilai $\tan$ adalah hasil dari perbandingan sisi depan dan samping.

Lebih jauh bisa kita tulis dalam persamaan operasi matematika :

$\sin \theta = \frac{y}{r}$

$\cos \theta = \frac{x}{r}$

$\tan \theta = \frac{y}{x}$

$\csc \theta= \frac{1}{\sin \theta} = \frac{r}{y}$

$\sec \theta= \frac{1}{\cos \theta} = \frac{r}{x}$

$\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta }= \frac{x}{y}$

$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

PEMBAGIAN KUADRAN DALAM TRIGONOMETRI

Dalam trigonometri dikenal istilah kuadran.

Kuadran ialah pembagian daerah dari satu putaran penuh atau $360^{\circ}$

Pada masing - masing kuadran terdapat beberapa fungsi yang bernilai positif dan negatif.

Itu kenapa sangat penting untuk mengetahui letak kuadran dari suatu fungsi beserta dengan sudutnya.


Keterangan :

Kuadran I $\to$ daerah yang terletak  antara sudut $0^{\circ}-90^{\circ}$, dimana semua fungsi trigonometri bernilai positif.

Kuadran II $\to$ daerah yang terletak  antara sudut $90^{\circ}-180^{\circ}$, dimana fungsi trigonometri yang bernilai positif adalah $\sin$.

Kuadran III $\to$ daerah yang terletak  antara sudut $180^{\circ}-270^{\circ}$, dimana fungsi trigonometri yang bernilai positif adalah $\tan$.

Kuadran IV $\to$ daerah yang terletak  antara sudut $270^{\circ}-360$, dimana fungsi trigonometri yang bernilai positif adalah $\cos$.

SUDUT - SUDUT ISTIMEWA DI KUADRAN I

Tabel Sudut Istimewa Trigonometri  Kuadran I

$0^{\circ}$ $30^{\circ}$
 $45^{\circ}$
 $60^{\circ}$ $90^{\circ}$
  $\sin \theta$    $0$  $\frac{1}{2}$  $\frac{1}{2}\sqrt{2}$  $\frac{1}{2}\sqrt{3}$  $1$
  $\cos \theta$  $1$   $\frac{1}{2}\sqrt{3}$  $\frac{1}{2}\sqrt{2}$  $\frac{1}{2}$  $0$
  $\tan \theta$  $0$  $\frac{1}{3}\sqrt{3}$  $1$  $\sqrt{3}$
  $-$

SUDUT - SUDUT BERELASI TRIGONOMETRI

Selain kelima sudut istimewa yang berada di Kuadran I di atas, sebenarnya masih ada beberapa sudut istimewa lainnya yang tersebar di keempat kuadran yang ada.

Namun tidak usah kuatir kita masih bisa menghitungnya dengan mudah menggunakan pendekatan nilai sudut - sudut yang berada di kuadran I.

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah ya..


Atau lebih detail dan jelas lagi perhatikan rumus - rumus untuk menghitungnya dalam tabel di bawah ini
Tabel Sudut Berelasi  Trigonometri
$\sin (90^{\circ}-\theta)=\cos \theta$
$\cos (90^{\circ}-\theta)=\sin \theta$
$\tan (90^{\circ}-\theta)=\cot \theta$
$\csc (90^{\circ}-\theta)=\sec \theta$
$\sec (90^{\circ}-\theta)=\csc \theta$
$\cot (90^{\circ}-\theta)=\tan \theta$
 $\sin (180^{\circ}-\theta)=\sin \theta$
$\cos (180^{\circ}-\theta)=-\cos \theta$
$\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta$
$\csc (180^{\circ}-\theta)=\csc \theta$
$\sec (180^{\circ}-\theta)=-\sec \theta$
$\cot (180^{\circ}-\theta)=-\cot \theta$ 
$\sin (90^{\circ}+\theta)=\cos \theta$
$\cos (90^{\circ}+\theta)=-\sin \theta$
$\tan (90^{\circ}+\theta)=-\cot \theta$
$\csc (90^{\circ}+\theta)=\sec \theta$
$\sec (90^{\circ}+\theta)=-\csc \theta$
$\cot (90^{\circ}+\theta)=-\tan \theta$		 $\sin (180^{\circ}+\theta)=-\sin \theta$
$\cos (180^{\circ}+\theta)=-\cos \theta$
$\tan (180^{\circ}+\theta)=\tan \theta$
$\csc (180^{\circ}+\theta)=-\csc \theta$
$\sec (180^{\circ}+\theta)=-\sec \theta$
$\cot (180^{\circ}+\theta)=\cot \theta$ 
$\sin (270^{\circ}-\theta)=-\cos \theta$
$\cos (270^{\circ}-\theta)=-\sin \theta$
$\tan (270^{\circ}-\theta)=\cot \theta$
$\csc (270^{\circ}-\theta)=-\sec \theta$
$\sec (270^{\circ}-\theta)=-\csc \theta$
$\cot (270^{\circ}-\theta)=\tan \theta$ 		 $\sin (360^{\circ}-\theta)=-\sin \theta$
$\cos (360^{\circ}-\theta)=\cos \theta$
$\tan (360^{\circ}-\theta)=-\tan \theta$
$\csc (360^{\circ}-\theta)=-\csc \theta$
$\sec (360^{\circ}-\theta)=\sec \theta$
$\cot (360^{\circ}-\theta)=-\cot \theta$ 
$\sin (270^{\circ}+\theta)=-\cos \theta$
$\cos (270^{\circ}+\theta)=\sin \theta$
$\tan (270^{\circ}+\theta)=-\cot \theta$
$\csc (270^{\circ}+\theta)=-\sec \theta$
$\sec (270^{\circ}+\theta)=\csc \theta$
$\cot (270^{\circ}+\theta)=-\tan \theta$ 		 $\sin (360^{\circ}+\theta)=\sin \theta$
$\cos (360^{\circ}+\theta)=\cos \theta$
$\tan (360^{\circ}+\theta)=\tan \theta$
$\csc (360^{\circ}+\theta)=\csc \theta$
$\sec (360^{\circ}+\theta)=\sec \theta$
$\cot (360^{\circ}+\theta)=\cot \theta$ 

RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETRI

$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta=1$ 
$\tan^{2} \theta + 1 =\sec^{2} \theta$ 
$\cot^{2} \theta + 1 =-\csc^{2} \theta$

RUMUS JUMLAH SUDUT TRIGONOMETRI

$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ 

$\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ 

$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 

$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ 

$\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}$ 

$\tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha\tan \beta}$

RUMUS HASIL KALI FUNGSI TRIGONOMETRI

$2 \ \sin \alpha \cos \beta=\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)$ 

$2 \ \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)$ 

$2 \ \cos \alpha \cos \beta=\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)$ 

$-2 \ \sin \alpha \sin \beta=\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)$

RUMUS JUMLAH FUNGSI TRIGONOMETRI

$\sin \alpha + \sin \beta=2 \ \sin (\frac{\alpha+\beta}{2}) \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ 

$\sin \alpha - \sin \beta=2 \ \cos (\frac{\alpha+\beta}{2}) \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$ 

$\cos \alpha + \cos \beta=2 \ \cos (\frac{\alpha+\beta}{2}) \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$ 

$\cos \alpha - \cos \beta=-2 \ \sin (\frac{\alpha+\beta}{2}) \sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$

RUMUS SUDUT RANGKAP TRIGONOMETRI

$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha$ 

$\begin{align} \cos 2\alpha & = \cos^{2} \alpha-\sin^{2} \alpha \\ & = 2\cos^{2} \alpha-1 \\ & = 1-2\sin^{2} \alpha \end{align}$ 

$\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2} \alpha}$

RUMUS SUDUT RANGKAP TIGA TRIGONOMETRI

$\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^{3} \alpha$ 

$\cos 3\alpha=4\cos^{3} \alpha-3\cos \alpha$ 

$\tan 3\alpha=\frac{3\tan \alpha-\tan^{3} \alpha}{1-3\tan^{2} \alpha}$

RUMUS SUDUT PERTENGAHAN TRIGONOMETRI

$\sin (\frac{1}{2} \alpha)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}$ 

$\cos (\frac{1}{2} \alpha)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$ 

$\tan (\frac{1}{2} \alpha)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}$ 

$\tan (\frac{1}{2} \alpha)=\frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$

PERSAMAAN TRIGONOMETRI BAKU

$\begin{align} \sin x & = \sin \alpha \\ x & = (180^{\circ}-\alpha) + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = \alpha + k \cdot 360^{\circ} \end{align}$ 

$\begin{align} \cos x & = \cos \alpha \\ x & = \alpha + k \cdot 360^{\circ} \\ x & = -\alpha + k \cdot 360^{\circ} \end{align}$ 

$\begin{align} \tan x & = \tan \alpha \\ x & = \alpha + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = -\alpha + k \cdot 180^{\circ} \end{align}$

dengan nilai $k=1,2,3,4, \dots$

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI BAKU

Grafik fungsi sinus (KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH)

Grafik fungsi cosinus (KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH)


Grafik fungsi tangen (softschools.com)

RUMUS TURUNAN TRIGONOMETRI

$y=\sin x \to y'=\cos x$ 

$y=\cos x \to y'=-\sin x$ 

$y=\tan x \to y'=\sec^{2} x$ 

$y=\cot x \to y'=-\csc^{2} x$ 

$y=\sin (ax) \to y'=a \cdot \cos (ax)$ 

$y=\cos (ax) \to y'=-a \cdot \sin (ax)$ 

$y=\tan (ax) \to y'=a \cdot \sec^{2} (ax)$ 

$y=\cot (ax) \to y'=-a \cdot\csc^{2} (ax)$

RUMUS INTEGRAL TRIGONOMETRI

$\int \sin (ax+b)\ dx=-\frac{1}{a} \cos(ax+b)+c$ 

$\int \cos (ax+b)\ dx=\frac{1}{a} \sin(ax+b)+c$ 

$\int \sec^{2} (ax+b)\ dx=\frac{1}{a} \tan(ax+b)+c$ 

$\int \csc^{2} (ax+b)\ dx=-\frac{1}{a} \cot(ax+b)+c$ 

$\int \sec (ax+b) \ \tan (ax+b) dx=\frac{1}{a} \sec(ax+b)+c$

$\int \csc (ax+b) \ \cot (ax+b) dx=-\frac{1}{a} \csc(ax+b)+c$

RUMUS LIMIT TRIGONOMETRI

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\ x }{x} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\sin\ x}= 1$ 

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan\ x }{x} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ x }{\tan\ x} = 1$ 

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\ ax }{bx} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\sin\ bx} = \dfrac{a}{b}$ 

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan\ ax }{bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ ax }{\tan\ bx} = \dfrac{a}{b} $ 

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\ ax }{\sin\ bx} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan\ ax }{\tan\ bx} = \dfrac{a}{b}$ 

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan\ ax }{\sin\ bx} =\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\ ax }{\tan\ bx}= \dfrac{a}{b}$

Penutup

Nah sahabat kreatif, itu lah  pembahasan Rangkuman Rumus - Rumus Trigonometri Lengkap.

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.

Selamat Belajar ! 

Kreatif Matematika
Kreatif Matematika Teman Ngopi Belajar Matematika