Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat Lengkap
Ini adalah rangkuman pembahasan lengkap tentang materi persamaan kuadrat.
$
ax^2+bx+c=0
$
$
\begin{align}
x^2-x-6 &= 0 \\
(x-3)(x+2) &= 0 \\
x=3 & \cup x=-2
\end{align}
$
$
\begin{align}
2x^2+11x-6 &= 0 \\
(2x-1)(x+6) &= 0 \\
x=\dfrac{1}{2} & \cup x=-6
\end{align}
$
$
\begin{align}
2x^2-8x &= 0 \\
2x(x-4) &= 0 \\
x=0 & \cup x=4
\end{align}
$
$
\begin{align}
4x^2-9 &= 0 \\
(2x-3)(2x+3) &= 0 \\
x=\dfrac{3}{2} & \cup x=-\dfrac{3}{2}
\end{align}
$
$
\begin{align}
6x^2 &= 0 \\
x^2 &= \dfrac{0}{6} \\
x^2 &=0 \\
x &= \sqrt{0} \\
x &=0
\end{align}
$
$
\begin{align}
(x-2)^2 &= x^2-4x+4 \\
(x+3)^2 &= x^2+6x+9 \\
(x-4)^2 &= x^2-8x+16 \\
& \cdots \ \text{dsb}
\end{align}
$
$
\begin{align}
x^2-4x-12 &= 0 \\
(x-2)^2-4-12 &= 0 \\
(x-2)^2 &= 16 \\
x-2 &= \pm \sqrt{16} \\
x-2 &= \pm 4
\end{align}
$
$
\begin{align}
x-2 &= 4 \\
x_{1} &=6
\end{align}
$ atau $
\begin{align}
x-2 &=-4 \\
x_{2} &=-2
\end{align}
$
$
x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$
$
x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$
$
\begin{align}
x_{1,2} &= \dfrac{-11 \pm \sqrt{(11)^2-4(2)(-6)}}{2(2)} \\
&= \dfrac{-11 \pm \sqrt{121+48}}{4} \\
&= \dfrac{-11 \pm \sqrt{169}}{4} \\
&= \dfrac{-11 \pm 13}{4}
\end{align}
$
$
\begin{align}
x_{1} &= \dfrac{-11+13}{4} \\
&= \dfrac{1}{2}
\end{align}
$ atau $
\begin{align}
x_{2} &= \dfrac{-11-13}{4} \\
&= -\dfrac{24}{4}=-6
\end{align}
$
Penting banget nih kalian paham materi persamaan kuadrat, karena ni materi jarang banget absen pada tes UTBK-SBMPTN, Kedinasan ataupun tes - tes masuk PTN lainnya.
 |
| Formula Concept Illustration - storyset in Freepik |
Primadona banget nih materi persamaan kuadrat.
Jadi jangan sampai ngga paham ya, sayang banget soalnya.
Apa itu Persamaan Kudrat?
Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan polinomial (suku banyak) yang pangkat tertingginya 2 atau berorde 2.
Salah satu contoh dari persamaan kuadrat seperti ini nih :
 |
| Contoh Persamaan Kuadrat - Gramedia.com |
Contoh Persamaan Kuadrat Dalam Kehidupan Sehari - Hari
Ada banyak sebenarnya kejadian yang relate sama Persamaan Kuadrat.
Karena bentuk kurva fungsi kuadratik yang berbentuk parabola maka segala bentuk kejadian yang relate dengan bentuk garis lengkung(parabola) bisa kita selesaikan dengan konsep persamaan kuadrat ini.
1. Gerak Lintasan Peluru
 |
| Gerak Lintasan Peluru - idschool.net |
Nih jika kalian suka banget lihat film - film perang kolosal yang masih pake meriam jadul.
Lintasan gerak dari peluru yang dikeluarkan oleh meriam akan membentuk suatu parabola terbuka ke bawah.
Pada saat itu sasaran terjauh sangat ditentukan oleh tingkat kemiringan sudut yang dibentuk oleh meriam dengan tanah.
2. Arah Tendangan Bola Pinalti
 |
| Gerak Lintasan Bola Pinalti - Gramedia.com |
Kalau yang satu nih pasti pada paham, acungkan tangan yang hobi main bola.
Arah tendangan saat tendangan pinalti sering banget membentuk parabola utuh.
Pendekatan persamaan kuadrat bisa banget kita pakai pada kejadian pinalti ini.
3. Bentuk dan Struktur Bangunan Lengkung
 |
| Desain Arsitektur Kontemporer - novotest.id |
Bidang arsitektur juga ngga kalah banyak yang menggunakan konsep persamaan kudrat ini.
Aliran desain arsitektur kontemporer sering banget menggunakan bentuk - bentuk lengkung yang menakjubkan.
Bayangin aja jika tidak dikonsep dan diperhitungkan dengan matang pasti ngga bakal bisa berdiri tuh bangunan.
Termasuk juga tipe - tipe bangunan lama katakan saja kubah masjid, jembatan, menara juga banyak yang menggunakan konsep garis lengkung pada persamaan kudrat.
 |
| Desain Jembatan Lengkung - ilmutekniksipilindonesia.com |
Dan masih banyak lagi contoh - contoh yang lain yang relate dengan persamaan kuadrat.
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Yang namanya suatu persamaan pasti punya bentuk baku (dasar) alias bentuk umumnya dong.
Nah persamaan kuadrat ini punya bentuk umum :
Dimana $a\ne0$ dan $a,b,c \in \Re$.
Nilai $x$ merupakan peubah(variabel) bebas yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut.
Jika ketiga komponen $b$ dan $c$ nya ada semua maka persamaan kuadrat tersebut masuk dalam jenis persamaan kuadrat lengkap.
Sebaliknya jika salah satu antara $b$ dan $c$ atau keduanya ada yang $0$ maka persamaan kuadrat tersebut masuk dalam jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.
Contoh Persamaan Kuadrat Lengkap :
- $ 2x^2-5x+10=0 $
- $ -3x^2+4x+1=0 $
- $ x^2-11x-9=0 $
Contoh Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap :
- $ 4x^2-9=0 $
- $ 2x^2-4x=0 $
- $ 9x^2=0 $
Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Nah cara menyelesaikan persamaan kuadrat diperoleh dengan cara mencari nilai - nilai $x$ atau yang sering kita sebut dengan nilai akar - akar yang memenuhi di dalamnya.
Ada tiga cara yang bisa kita gunakan untuk mendapatkan nilai - nilai akar persamaan kuadrat.
- Metode Pemfaktoran.
- Metode Kuadrat Sempurna.
- Rumus ABC.
Yuk kita bedah satu - satu biar makin paham.
1. Metode Pemfaktoran
Metode pemfaktoran adalah metode paling umum yang sering digunakan untuk mencari nilai akar dari persamaan kuadrat.
Selain paling sederhana metode pemfaktoran juga merupakan metode paling cepat untuk mendapatkan akar dari persamaan kuadrat.
Contoh Pemfaktoran Persamaan Kuadrat
1. Nilai akar - akar dari $x^2-x-6=0$ adalah...
2. Nilai akar - akar dari $2x^2+11x-6=0$ adalah...
3. Nilai akar - akar dari $2x^2-8x=0$ adalah...
4. Nilai akar - akar dari $4x^2-9=0$ adalah...
5. Nilai akar - akar dari $6x^2=0$ adalah...
2. Metode Kuadrat Sempurna
Nah kalau ingin menggunakan metode ini kita harus kenal dulu yang namanya bentuk kuadrat sempurna.
Beberapa bentuk kuadrat sempurna seperti ini nih :
Dengan melengkapi persamaan kuadratnya menggunakan bentuk kuadrat sempurna kita bisa dapatkan nilai akar - akar dari persamaan kuadrat tersebut.
Biar lebih jelas simak contoh soal persamaan kuadrat berikut ya.
Contoh Melengkapkan Kuadrat Sempurna Persamaan Kuadrat
1. Nilai akar - akar dari $x^2-4x-12=0$ adalah... (metode kuadrat sempurna)
Karena persamaan kuadrat tersebut terdapat bentuk $x^2-4x$ maka kita bisa gunakan kuadrat sempurna $(x-2)^2 = x^2-4x+4$ yang sama - sama juga mengandung bentuk $x^2-4x$ di dalamnya.
Langkah demi langkah seperti ini nih.
Jadi hasilnya ada dua yang bisa kita dapatkan.
3. Rumus ABC (Rumus Al-Khawarizmi)
Jurus pamungkas ketika ketemu sama soal persamaan kuadrat yang susah difaktorkan dan melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan pakai RUMUS ABC.
Auto BERES.
Tinggal masukkan nilai $a,b$ dan $c$ ke dalam rumusnya aja.
Rumus ABC bentuknya seperti di bawah ini :
Nah.. gimana cara makainya dalam soal?
Simak baik - baik pengerjaannya dalam contoh soal berikut ini ya.
Contoh Soal Rumus ABC Persamaan Kuadrat
1. Nilai akar - akar dari $2x^2+11x-6=0$ adalah... (Rumus ABC)
Langkah pertama kita mesti cari nilai dari $a,b$ dan $c$ dulu ya.
Dari persamaan kuadrat $2x^2+11x-6=0$ kita bisa dapatkan :
$a=2$ , $b=11$ dan $c=-6$
Lanjut kita masukkan ke dalam Rumus ABC nya
Jadi hasilnya ada dua yang bisa kita dapatkan.
Operasi Akar Persamaan Kuadrat
Ada beberapa operasi akar nih yang juga perlu kalian ketahui.
Ingat bahwa persamaan kuadrat selalu punya dua akar yaitu $x_{1}$ dan $x_{2}$.
Memang adakalanya nilai keduanya bisa sama besar, namun tetap saja dihitung dua akarnya.
Oke, operasi akar persamaan kuadrat (Persamaan Vieta) antara lain :
- Jumlah Akar $x_{1}+x_{1}=-\dfrac{b}{a}$
- Kali Akar $x_{1}x_{1}=\dfrac{c}{a}$
- Selisih Akar $|x_{1}-x_{1}|=\dfrac{\sqrt{D}}{a}$
Contoh Soal Operasi Akar Persamaan Kuadrat
1. Salah satu akar persamaan kuadrat $x^{2}- \left( 3a-5 \right)x+3=0$ adalah tiga kali akar yang lain. Perkalian dari nilai - nilai $a$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah... [UM-UGM 2019]
$
\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}
$
Misalin aja akar - akar dari persamaan kuadrat $x^{2}- \left( 3a-5 \right)x+3=0$ adalah $m$ dan $n$ maka dari pernyataan soal di awal kita bisa dapatkan bahwa $m=3n$.
Dengan pakai kali akar kita bisa dapatkan,
$
\begin{align}
m \cdot n & = \dfrac{c}{a} \\
m \cdot 3m & = \dfrac{3}{1} \\
3m^{2} & = 3 \\
m & = \pm 1
\end{align}
$ Lanjut hitung juga jumlah akarnya,
$
\begin{align}
m+n & = -\dfrac{b}{a} \\
4m & = -\dfrac{- \left( 3a-5 \right)}{1} \\
4m & = 3a-5 \\
\hline
m=-1 \rightarrow & -4 = 3a-5 \\
& 1 = 3a \\
& \dfrac{1}{3} = a \\
m= 1 \rightarrow & 4 = 3a-5 \\
& 9 = 3a \\
& 3 = a
\end{align}
$
Jadi dapat kita simpulkan asil kali nilai $a$ yang memenuhi adalah $\dfrac{1}{3} \cdot 3 =1$
Pilihan jawaban yang benar $(B)\ 1$.
2. Misalkan $p$ dan $q$ adalah bilangan - bilangan riil tak nol dalam persamaan kuadrat $x^2+px-q=0$ mempunyai solusi $p$ dan $q$ maka $p^{2}-2q=\cdots$ [SIMAK UI 2018]
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Dalam soal dijelaskan bahwa akar - akar persamaan kuadrat $x^2+px-q=0$ adalah $p$ dan $q$.
Langsung operasikan akar - akarnya, kita hitung dulu hasil kali akarnya.
$\begin{align}
p \cdot q & = \dfrac{c}{a} \\
p \cdot q & = \dfrac{q}{1} \\
pq & = q \\
p & = 1
\end{align}$ Hitung juga jumlah akar - akarnya,
$\begin{align}
p+q & = -\dfrac{b}{a} \\
p+q & = -\dfrac{p}{1} \\
p+q & = -p \\
2p & = -q \\
2(1) & = -q \\
-2 & = q \\
\hline
p^{2}-2q & = 1^{2}-2(-2) \\
& = 1+4 = 5
\end{align}$
Pilihan jawaban yang benar $(D)\ 5$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, bagaimana ???
Sudah jelas belum pembahasan materi persamaan kuadratnya?
Itu lah pembahasan Rangkuman Persamaan Kuadrat Lengkap.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
