Rangkuman Materi Matriks Lengkap
Ini catatan rangkuman lengkap materi matriks kelas 11 dan 12 SMA, ada juga contoh soal dan pembahasannya.
Kebanyakan kalian mungkin akan mengandalkan materi matriks dalam tes UTBK - SBMPTN atau pun dalam tes masuk kampus lainnya.
Bisa dibilang materi matriks memang salah satu materi yang tidak banyak membutuhkan kemampuan analitik seperti halnya trigonometri, integral ataupun dimensi tiga.
Dalam perkembangannya materi matriks memang sering kali muncul dalam tes UTBK - SBMPTN dan tes masuk kampus lainnya.
Pada halaman ini kita akan berbagi buat kalian mulai dari hal yang paling mendasar rangkuman materi matriks lengkap.
Yuks.. kita mulai ya..
$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2k} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3k} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{b1} & a_{b2} & a_{b3} & \cdots & a_{bk} \\ \end{pmatrix} $
Baris yang susunannya horizontal atau ke samping, sedangkan kolom susunannya vertikal atau dari atas ke bawah.
Jumlah baris dan kolom dalam matriks menyatakan ukuran besar atau kecilnya suatu matriks yang dikenal dengan istilah ordo matriks.
Penamaan matriks selalu menggunakan huruf kapital (huruf besar ), misalkan : $A$, $B$, $C$, $D$,dan seterusnya.
Bilangan - bilangan yang tersusun dalam matriks disebut juga dengan istilah anggota matriks atau lebih jauh lagi dikenal dengan istilah elemen matriks.
$a_{12}$ menyatakan elemen matriks $A$ baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$.
Jadi angka pertama dalam penulisan elemen menyatakan referensi letak baris sedangkan angka kedua menyatakan letak kolomnya.
Contoh :
$ B=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} $
Keterangan :
Matriks $B$ di atas memiliki ordo $2 \times 3$ yang artinya matriks $B$ tersebut mempunyai $2$ baris dan $3$ kolom.
Angka $-3$ merupakan elemen atau anggota $b_{12}$ yang artinya elemen matriks $B$ pada baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$.
Angka $-2$ menyatakan elemen atau anggota $b_{23}$ yang artinya elemen matriks $B$ pada baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$.
Demikian seterusnya ya...
Masing - masing matriks mempunyai nama berdasarkan bentuk dan ukurannya.
Baris jadi kolom demikian sebaliknya kolom jadi baris.
Jadi yang semula elemen - elemen terletak pada baris ke-$1$ akan berpindah menjadi elemen - elemen pada kolom ke-$1$.
Transpose dari matriks $A$ dinotasikan dengan $A^{T}=A^{t}=A'$
Contoh :
$ D=\begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & -1 & 11 \end{pmatrix} $ $\to$ $ D^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & -1 \\ 6 & 11 \end{pmatrix} $
Operasi pada matriks hanya mengenal tiga operasi, yaitu : penjumlahan matriks, pengurangan matriks dan perkalian matriks.
Dalam matriks tidak mengenal pembagian antar matriks.
$ A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $
Matriks ini emang sering muncul di soal-soal ujian, apalagi di UTBK atau ujian sekolah. Tapi tenang, asal kamu ngerti konsep dasarnya dan sering latihan soal, dijamin deh kamu bakal makin jago.
Jangan lupa juga, belajar itu bukan soal hafal rumus doang, tapi paham alurnya. Jadi kalau ketemu soal, kamu bisa ngerjain pakai logika, bukan cuma ngandelin ingatan.
Semangat terus belajarnya, ya! Yuk, taklukkan matriks dan lanjut ke materi selanjutnya. Kamu pasti bisa! 💪😎
Bisa dibilang materi matriks memang salah satu materi yang tidak banyak membutuhkan kemampuan analitik seperti halnya trigonometri, integral ataupun dimensi tiga.
Dalam perkembangannya materi matriks memang sering kali muncul dalam tes UTBK - SBMPTN dan tes masuk kampus lainnya.
Daftar Isi
Pada halaman ini kita akan berbagi buat kalian mulai dari hal yang paling mendasar rangkuman materi matriks lengkap.
Yuks.. kita mulai ya..
DEFINISI MATRIKS
Matriks $\to$ merupakan susunan bilangan yang tersusun berdasarkan aturan baris dan kolom yang diapit oleh dua tanda kurung biasa $( \ )$ ataupun dua kurung siku $[ \ ]$.$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2k} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3k} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{b1} & a_{b2} & a_{b3} & \cdots & a_{bk} \\ \end{pmatrix} $
Baris yang susunannya horizontal atau ke samping, sedangkan kolom susunannya vertikal atau dari atas ke bawah.
Jumlah baris dan kolom dalam matriks menyatakan ukuran besar atau kecilnya suatu matriks yang dikenal dengan istilah ordo matriks.
Penamaan matriks selalu menggunakan huruf kapital (huruf besar ), misalkan : $A$, $B$, $C$, $D$,dan seterusnya.
Bilangan - bilangan yang tersusun dalam matriks disebut juga dengan istilah anggota matriks atau lebih jauh lagi dikenal dengan istilah elemen matriks.
$a_{12}$ menyatakan elemen matriks $A$ baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$.
Jadi angka pertama dalam penulisan elemen menyatakan referensi letak baris sedangkan angka kedua menyatakan letak kolomnya.
Contoh :
$ B=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} $
Keterangan :
Matriks $B$ di atas memiliki ordo $2 \times 3$ yang artinya matriks $B$ tersebut mempunyai $2$ baris dan $3$ kolom.
Angka $-3$ merupakan elemen atau anggota $b_{12}$ yang artinya elemen matriks $B$ pada baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$.
Angka $-2$ menyatakan elemen atau anggota $b_{23}$ yang artinya elemen matriks $B$ pada baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$.
Demikian seterusnya ya...
JENIS - JENIS MATRIKS
Matriks ternyata ada banyak jenisnya.Masing - masing matriks mempunyai nama berdasarkan bentuk dan ukurannya.
Matriks Persegi
Matriks persegi merupakan suatu matriks yang mempunyai ukuran ordo $(n \times n)$.
Contoh :
$ A=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ 1 & -8 \end{pmatrix} $
$ B=\begin{pmatrix} -6 & 2 & 6\\ 9 & 0 & -3\\ 4 & -1 & 6 \end{pmatrix} $Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks yang dibentuk dari bilangan $1$ dan $0$ dimana elemen diagonal utamanya $1$ dan selainnya bernilai $0$.
Matriks identitas selalu berukuran persegi ordo $(n \times n)$.
Penamaan matriks identitas menggunakan notasi $I$.
Contoh :
$ I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ , $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $Matriks Baris
Matriks baris ialah suatu bentuk matriks yang hanya memiliki satu baris saja, atau mempunyai ordo $(1 \times n)$.
Contoh :
$ P=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \end{pmatrix} $Matriks Kolom
Ada matriks baris tentu saja ada matriks kolom ya..
Matriks kolom adalah suatu bentuk matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja (kebalikan matriks baris).
Matriks kolom mempunyai ordo $(n \times 1)$.
Contoh :
$ K=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} $Matriks Diagonal (Skalar)
Matriks diagonal disebut juga dengan matriks skalar yaitu bentuk matriks yang mempunyai ordo $(n \times n)$ dan elemen selain elemen diagonal utama bernilai $0$.
Contoh :
$C=\begin{pmatrix} 12 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -25 \end{pmatrix} $Matriks Nol
Matriks Nol adalah sebuah matriks yang beranggotakan semuanya berupa bilangan $0$.
Matriks Nol diberi nama dengan notasi $O$ yang disertai dengan ordonya.
Contoh :
$ O_{2 \times 2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ , $ O_{3 \times 2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ , dstMatriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah bentuk khusus dari matriks persegi dimana elemen di bawah diagonal utamanya bernilai $0$.
Contoh :
$ M=\begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & -1 & 11 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} $Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah kebalikan dari matriks segitiga atas yang merupakan bentuk khusus dari matriks persegi dimana elemen di atas diagonal utamanya bernilai $0$.
Contoh :
$ N=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -9 & 3 & 0 \\ 10 & \frac{2}{3} & 8 \end{pmatrix} $Matriks Simetris
Matriks simetris ialah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya tercermin ke bawah diagonal utamanya, sehingga diagonal utamanya merupakan garis simetris untuk matriks tersebut.
Contoh :
$ S=\begin{pmatrix} 6 & -2 & 6 & 9 \\ -2 & 0 & 1 & 8 \\ 6 & 1 & -3 & 2 \\ 9 & 8 & 2 & 7 \end{pmatrix} $Matriks 1
Sesuai dengan namanya, matriks 1 merupakan matriks persegi dimana semua elemennya bernilai 1.
Contoh :
$ H=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
TRANSPOSE MATRIKS
Transpose matriks merupakan istilah untuk suatu operasi matriks dimana kibalik letak elemen - elemennya.Baris jadi kolom demikian sebaliknya kolom jadi baris.
Jadi yang semula elemen - elemen terletak pada baris ke-$1$ akan berpindah menjadi elemen - elemen pada kolom ke-$1$.
Transpose dari matriks $A$ dinotasikan dengan $A^{T}=A^{t}=A'$
Contoh :
$ D=\begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & -1 & 11 \end{pmatrix} $ $\to$ $ D^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & -1 \\ 6 & 11 \end{pmatrix} $
KESAMAAN MATRIKS
Dua buah matriks akan sama jika mempunyai ordo sama yang berakibat pada elemen - elemen yang seletak akan mempunyai besar nilai yang sama.
Contoh Soal
Jika $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -10 & 8 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & -10 \\ x & 8 \end{pmatrix}$ memenuhi $A=B^{T}$ maka nilai dari $2x+3$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 8 \end{align} $
Jika $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -10 & 8 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & -10 \\ x & 8 \end{pmatrix}$ memenuhi $A=B^{T}$ maka nilai dari $2x+3$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 8 \end{align} $
Karena $A=B^{T}$ maka kita akan dapatkan,
$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -10 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -10 & 8 \end{pmatrix} $
dalam kedua ruas matriks terlihat bahwa nilai $x$ seletak dengan nilai $4$ yang ada pada matriks ruas kiri.
Sehingga nilai $x=4$, jadi nilai $2x+3=11$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah (B) $11$.
$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -10 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -10 & 8 \end{pmatrix} $
dalam kedua ruas matriks terlihat bahwa nilai $x$ seletak dengan nilai $4$ yang ada pada matriks ruas kiri.
Sehingga nilai $x=4$, jadi nilai $2x+3=11$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah (B) $11$.
OPERASI - OPERASI MATRIKS
Operasi pada matriks sedikit berbeda dengan operasi pada bilangan aljabar pada umumnya.Operasi pada matriks hanya mengenal tiga operasi, yaitu : penjumlahan matriks, pengurangan matriks dan perkalian matriks.
Dalam matriks tidak mengenal pembagian antar matriks.
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks yang dioperasikan mempunyai besar ordo yang sama.
Caranya mudah, yaitu dengan menjumlahkan dan mengurangkan elemen - elemen matriks yang seletak.
$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-e & b-f \\ c-g & d-h \end{pmatrix} $Perkalian Matriks Dengan Skalar
Salah satu operasi perkalian dalam matriks adalah operasi perkalian dengan skalar.
Perkalian dengan skalar bisa dilakukan tidak terbatas pada syarat besar ordo tertentu.
Jika sebuah matriks $A$ dikalikan dengan sebuah skalar $k$, maka semua elemen - elemen di dalam $A$ dikalikan dengan skalar $k$ tersebut.
$ k \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot k = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} $Perkalian Antar Matriks
Pada perkalian antar dua buah matriks sayangnya kamu tidak bisa secara bebas melakukannya.
Ada satu syarat yang harus dipenuhi agar kamu bisa mengalikan keduanya.
Syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks bisa dikalikan adalah : jumlah kolom pada matriks baris pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix} $
Sifat - Sifat Perkalian Matriks
Ada beberapa sifat perkalian matriks yang harus kalian ketahui :- Tidak Komutatif: $AB \neq BA$
- Sifat Asosiatif: $(AB)C=A(BC)$
- Sifat Distributif: $A(B \pm C)=AB \pm AC$
INVERS MATRIKS ORDO $(2 \times 2)$
Jika terdapat matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers dari matriks $A$ adalah$ A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $
dimana, $det (A)=|A|=ad-bc$
Sifat - Sifat Invers Matriks
- $(A^{-1})^{-1}=A$
- $AA^{-1}=A^{-1}A=I$
- $AI=IA=A$
- $(AB)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$
- $ \begin{align} AX=B & \to X=A^{-1}B \\ XA=B & \to X=BA^{-1} \end{align} $
Sifat - Sifat Determinan Matriks
Jika $A$ dan $B$ adalah dua buah matriks yang mempunyai ordo $(n \times n)$.
Determinan dan invers hanya dipunyai oleh matriks persegi, ordo $(n \times n)$.
Beberapa sifat matriks yang wajib kalian ketahui yaitu :
- $det(A^{T})=det(A)$
- $det(A^{n})=[det(A)]^{n}$
- $det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$
- $det(AB)=det(A) \cdot det(B)$
- $det(kA)=k^{n} \cdot det(A)$, $n$ $\to$ ordo.
CONTOH SOAL MATRIKS DAN PEMBAHASAN LENGKAP
Soal - soal matriks dalam perkembangannya dapat juga dikaitkan dengan materi pokok matematika lainnya, seperti halnya : persamaan kuadrat, barisan dan deret, logaritma, eksponen ataupun trigonometri, materi lainnya yang masih berpeluang bisa dikaitkan dengan matriks.
Contoh Soal 1
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} x+1 & x-1 \\ 2x & x \end{pmatrix}$.
Jika berlaku $det(A)=4x-30$ maka nilai $x$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 5 \ \text{dan} \ 6 \\ &(B)\ 5 \ \text{dan} \ -6 \\ &(C)\ 3 \ \text{dan} \ 5 \\ &(D)\ 3 \ \text{dan} \ -5 \\ &(E)\ 4 \ \text{dan} \ 6 \end{align} $
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} x+1 & x-1 \\ 2x & x \end{pmatrix}$.
Jika berlaku $det(A)=4x-30$ maka nilai $x$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 5 \ \text{dan} \ 6 \\ &(B)\ 5 \ \text{dan} \ -6 \\ &(C)\ 3 \ \text{dan} \ 5 \\ &(D)\ 3 \ \text{dan} \ -5 \\ &(E)\ 4 \ \text{dan} \ 6 \end{align} $
$
\begin{align}
A &= \begin{pmatrix}
x+1 & x-1 \\
2x & x
\end{pmatrix} \\
det(A) &= (x+1)(x) - (x-1)(2x) \\
4x-30\ &= (x+1)(x) - (2x)(x-1) \\
4x-30\ &= x^{2}+x - 2x^{2}+2x \\
4x-30\ &=-x^{2}+3x \\
0\ &= x^{2}+x-30 \\
0\ &= \left( x-5 \right)\left( x+6 \right) \\
& x=5\ \text{atau}\ x=-6\
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ 5 \ \text{dan} \ -6$.
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ 5 \ \text{dan} \ -6$.
Contoh Soal 2
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$.
Jika $k \in R$ dan $k \cdot det(A)=det(2A)$. maka nilai $k$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 2 \\ &(B)\ 3 \\ &(C)\ 4 \\ &(D)\ 5 \\ &(E)\ 8 \end{align} $
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$.
Jika $k \in R$ dan $k \cdot det(A)=det(2A)$. maka nilai $k$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 2 \\ &(B)\ 3 \\ &(C)\ 4 \\ &(D)\ 5 \\ &(E)\ 8 \end{align} $
$\begin{align}
k \cdot \text{det}(A) &= \text{det}(2A) \\
k \cdot \text{det}(A) &= 2^{2} \cdot \text{det}(A) \\
k \cdot \text{det}(A) &= 4 \cdot \text{det}(A) \\
k &= 4
\end{align}$
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(C)\ 4$.
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(C)\ 4$.
Contoh Soal 3
Diketahui $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, maka hasil dari $(PQ)^{-1}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \end{align} $
Diketahui $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, maka hasil dari $(PQ)^{-1}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \end{align} $
$\begin{align}
PQ &=\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
4 & 3 \\
7 & 5
\end{pmatrix}
\end{align}$
Langkah berikutnya tinggal kita cari matriks $(PQ)^{-1}$, sehingga kita akan dapatkan
$\begin{align} PQ &=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}\ \\ \left( PQ \right)^{-1} &= \dfrac{1}{20-21} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(A)\ \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} $
Langkah berikutnya tinggal kita cari matriks $(PQ)^{-1}$, sehingga kita akan dapatkan
$\begin{align} PQ &=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}\ \\ \left( PQ \right)^{-1} &= \dfrac{1}{20-21} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(A)\ \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} $
Contoh Soal 4 | Soal SBMPTN 2014 Kode 663
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{T}$ dengan $C^{T}$ transpose matriks $C$, maka nilai $2x+3y$ adalah...
$\begin{align} &(A)\ 3 \\ &(B)\ 4 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 6 \\ &(E)\ 7 \end{align}$
Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ memenuhi $A+B=C^{T}$ dengan $C^{T}$ transpose matriks $C$, maka nilai $2x+3y$ adalah...
$\begin{align} &(A)\ 3 \\ &(B)\ 4 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 6 \\ &(E)\ 7 \end{align}$
$\begin{align}
A+B &= C^{T} \\
\begin{pmatrix}
2x & -2 \\
x & 3y+2
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
9 & 3x \\
8 & -4
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\
6 & 7
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
2x+9 & -2+3x \\
x+8 & 3y-2
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
5 & -8 \\
6 & 7
\end{pmatrix} \\
\end{align}$
Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks yang sudah kita bahas di atas maka dapat kita peroleh bahwa:
$3y-2=7 \to y=3$
$x+8=6 \to x=-2$
Dengan demikian nilai dari $2x+3y=2(-2)+3(3)=5$.
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah $(C)\ 5$.
Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks yang sudah kita bahas di atas maka dapat kita peroleh bahwa:
$3y-2=7 \to y=3$
$x+8=6 \to x=-2$
Dengan demikian nilai dari $2x+3y=2(-2)+3(3)=5$.
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah $(C)\ 5$.
Contoh Soal 5 | Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$.
Determinan matriks $A^{4}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \\ &(B)\ 2 \\ &(C)\ 4 \\ &(D)\ 16 \\ &(E)\ 81 \end{align} $
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$.
Determinan matriks $A^{4}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \\ &(B)\ 2 \\ &(C)\ 4 \\ &(D)\ 16 \\ &(E)\ 81 \end{align} $
$\begin{align}
A^{2}+B &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix} \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix}-B \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3 & -2\\
4 & -1
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
1 & -4\\
5 & -2
\end{pmatrix}\\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
3-1 & -2+4\\
4-5 & -1+2
\end{pmatrix} \\
A^{2} &=\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
-1 & 1
\end{pmatrix} \\
det(A^{2}) &=(2)(1)-(-1)(2)=4 \\
\end{align}$
Langkah berikutnya tinggal memakai salah satu sifat dari determinan yaitu $det(A^{n}) = [det(A)]^{n}$, maka
$ \begin{align} det(A)^{4} &= [det(A)^{2}]^{2} \\ &= 4^{2} \\ &=16 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ 16$
Langkah berikutnya tinggal memakai salah satu sifat dari determinan yaitu $det(A^{n}) = [det(A)]^{n}$, maka
$ \begin{align} det(A)^{4} &= [det(A)^{2}]^{2} \\ &= 4^{2} \\ &=16 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ 16$
Contoh Soal 6 | Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.
Matriks $C=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & -5 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{align} $
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ mempunyai hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.
Matriks $C=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$ mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & -5 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{align} $
$
\begin{align}
A & \Leftrightarrow B \\
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 5
\end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
-5 & 3\\
1 & -2
\end{pmatrix}
\end{align}$
Jika kita perhatikan antara matriks $A$ dan $B$ mempunyai hubungan yaitu diagonal utama tukar tempat ganti tanda(dikali $-1$) sedangkan diagonal yang lain juga tukar tempat namun tanpa ganti tanda.
Sehingga kita bisa terapkan hubungan hal serupa untuk matriks $C$ dan $D$.
$ \begin{align} C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ \end{align} $
Kita akan dapatkan jumlah matriks $C$ dan $D$
$ \begin{align} C + D &= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(A)\ \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix}$
Jika kita perhatikan antara matriks $A$ dan $B$ mempunyai hubungan yaitu diagonal utama tukar tempat ganti tanda(dikali $-1$) sedangkan diagonal yang lain juga tukar tempat namun tanpa ganti tanda.
Sehingga kita bisa terapkan hubungan hal serupa untuk matriks $C$ dan $D$.
$ \begin{align} C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ \end{align} $
Kita akan dapatkan jumlah matriks $C$ dan $D$
$ \begin{align} C + D &= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(A)\ \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix}$
Contoh Soal 7 | Soal SIMAK UI 2019 Kode 539
Diketahui $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 0 \\ &(B)\ 1 \\ &(C)\ 2 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 5 \end{align} $
Diketahui $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 0 \\ &(B)\ 1 \\ &(C)\ 2 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 5 \end{align} $
Matriks singular adalah sebuah matriks yang mempunyai determinan sama dengan nol.
$ \begin{align} A+tB &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -t & 2t\\ t & t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{pmatrix} \\ \\ 0&= \begin{vmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{vmatrix} \\ \\ 0&= \left( 1-t^{2}\right)-\left(4+6t+2t^{2}\right) \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \left(t+1 \right)^{2} \\ & t=-1 \\ \\ t^{2}+3t+2 &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(A)\ 0$
$ \begin{align} A+tB &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -t & 2t\\ t & t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{pmatrix} \\ \\ 0&= \begin{vmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{vmatrix} \\ \\ 0&= \left( 1-t^{2}\right)-\left(4+6t+2t^{2}\right) \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \left(t+1 \right)^{2} \\ & t=-1 \\ \\ t^{2}+3t+2 &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(A)\ 0$
Contoh Soal 8 | Soal SIMAK UI 2012 kode 223
Jika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$ , $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan...
$ \begin{align} (1)\ & BD=CD \\ (2)\ & B=C \\ (3)\ & ABD=ACD \\ (4)\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align} $
Jika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$ , $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan...
$ \begin{align} (1)\ & BD=CD \\ (2)\ & B=C \\ (3)\ & ABD=ACD \\ (4)\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align} $
Untuk mengerjakan soal ini kita butuh salah satu sifat invers matriks yang mana $A \cdot A^{-1} =I$, sehingga kita akan peroleh
$ \begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ (4)\ B^{-1}-C^{-1}=DA$
$ \begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ (4)\ B^{-1}-C^{-1}=DA$
Contoh Soal 9 | Soal UM UGM 2004
Bila $A=\begin{pmatrix} \sin^{2}x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 0 \\ &(B)\ \dfrac{\pi}{6} \\ &(C)\ \dfrac{\pi}{4} \\ &(D)\ \dfrac{\pi}{3} \\ &(E)\ \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align} $
Bila $A=\begin{pmatrix} \sin^{2}x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ dan determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 0 \\ &(B)\ \dfrac{\pi}{6} \\ &(C)\ \dfrac{\pi}{4} \\ &(D)\ \dfrac{\pi}{3} \\ &(E)\ \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align} $
Seperti terlihat bahwa bentuk matriks $A$ dikaitkan dengan fungsi trigonometri.
Itu kenapa ringkasan materi trigonometri sangat diperlukan di sini.
$ \begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} \sin^{2}x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \\ \sin^{2}x+\sqrt{3}\sin\ x\ \cos x &= 1 \\ \sin^{2}x+\sqrt{3}\sin\ x\ \cos x &= \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ \sqrt{3}\sin\ x\ cos x &= \cos^{2}x \\ \sqrt{3}\sin\ x &= \cos\ x \\ \dfrac{\sin\ x}{\cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(B)\ \dfrac{\pi}{6}$.
Itu kenapa ringkasan materi trigonometri sangat diperlukan di sini.
$ \begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} \sin^{2}x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ \\ \sin^{2}x+\sqrt{3}\sin\ x\ \cos x &= 1 \\ \sin^{2}x+\sqrt{3}\sin\ x\ \cos x &= \sin^{2}x+\cos^{2}x \\ \sqrt{3}\sin\ x\ cos x &= \cos^{2}x \\ \sqrt{3}\sin\ x &= \cos\ x \\ \dfrac{\sin\ x}{\cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(B)\ \dfrac{\pi}{6}$.
Contoh Soal 10 | Soal UM UGM 2019 Kode 923
Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{4}{mn} \\ &(B)\ \dfrac{mn}{4} \\ &(C)\ \dfrac{4m}{n} \\ &(D)\ 4mn \\ &(E)\ \dfrac{m+n}{4} \end{align} $
Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{4}{mn} \\ &(B)\ \dfrac{mn}{4} \\ &(C)\ \dfrac{4m}{n} \\ &(D)\ 4mn \\ &(E)\ \dfrac{m+n}{4} \end{align} $
Ingat kembali sifat - sifat matriks dan sifat determinan matriks yang akan kita pakai beberapa diantaranya adalah:
$ \begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \end{align} $
$ \begin{align} \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$.
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right|$
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right|$
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$
- $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T}$
- $|k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$
$ \begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \end{align} $
$ \begin{align} \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah $(A)\ \dfrac{4}{mn}$.
Penutup: Matriks Itu Mudah!
Nah, itu dia rangkuman materi matriks yang bisa kamu pelajari dengan santai tapi tetap dapet intinya! Mulai dari jenis-jenis matriks, operasi dasar, sampai invers dan determinan, semua udah kita bahas dengan bahasa yang nggak ribet.Matriks ini emang sering muncul di soal-soal ujian, apalagi di UTBK atau ujian sekolah. Tapi tenang, asal kamu ngerti konsep dasarnya dan sering latihan soal, dijamin deh kamu bakal makin jago.
Jangan lupa juga, belajar itu bukan soal hafal rumus doang, tapi paham alurnya. Jadi kalau ketemu soal, kamu bisa ngerjain pakai logika, bukan cuma ngandelin ingatan.
Semangat terus belajarnya, ya! Yuk, taklukkan matriks dan lanjut ke materi selanjutnya. Kamu pasti bisa! 💪😎
"Kekuatan dan pertumbuhan hanya datang melalui usaha dan perjuangan yang terus-menerus." – Napoleon Hill
