Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / Integral / SMA

Rangkuman Materi Integral Lengkap Soal dan Pembahasan

Belajar Materi Integral Matematika Wajib Kelas 12 IPA dan12 IPS akan lebih baik jika kalian  sudah belajar konsep turunan fungsi.

Mengapa demikian?

Karena secara konsep integral merupakan proses kebalikan dari  fungsi.

Itu kenapa integral sering juga disebut dengan anti-turunan atau proses operasi matematis kebalikan dari turunan.

Pada dasarnya integral dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu Integral Tak Tentu dan Integral Tentu.

Oke... kita akan awali pembahasan kita kali ini satu persatu bertahap mulai  dari Integral Tak Tentu.

DEFINISI INTEGRAL TAK TENTU

Secara umum, jika $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ dapat dituliskan dalam bentuk:

$ \begin{align} \int f(x) \ dx & = F(x)+c \end{align} $

RUMUS - RUMUS DASAR INTEGRAL TAK TENTU

Ada beberapa rumus - rumus dasar dari integral tak tentu yang harus kita pahami terlebih dahulu sebelum kita melangkah lebih jauh. 

  • $\int dx= x + c$
  • $\int k\ dx= kx + c$ 
  • $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
  • $\int \frac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
  • $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx =\frac{k}{n+1}x^{n+1}+c,\ n\neq -1$
  • $\int \left(f(x) + g(x) \right)dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
  • $\int \left(f(x) - g(x) \right)dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$

BEBERAPA CONTOH SOAL INTEGRAL TAK TENTU DAN PEMBAHASAN

1. Latihan Soal Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( x^{2}+5x-6 \right)\ dx$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-6x+c \\ (B)\ & x^{3}+ x^{2}+3x+c \\ (C)\ & x^{2}+x+3+c \\ (D)\ & \frac{3}{2}x^{2}+2x +3+c \\ (E)\ & x^{3}+2x^{2}+3x+c \end{align} $

Jawab :

Dengan menggunakan rumus dasar integral tak tentu di atas, $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
maka dapat kita peroleh :

$\int \left( x^{2}+5x-6 \right)\ dx$ 

$ \begin{align} &= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{5}{1+1}x^{1+1}-6x+c \\ &= \frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-6x+c \end{align} $

Sehingga jawaban yang tepat adalah : (A) $\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-6x+c$  

2. Latihan Soal Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int (x+3)^2 \ dx$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & \frac{2}{3}x^{3}+3x^{2}+9x+c \\ (B)\ & \frac{2}{3}x^{2}+6x^{2}+9x+c \\ (C)\ & \frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}+9x+c \\ (D)\ & 3x^{3}+\frac{6}{2}x^{2}+9x+c \\ (E)\ & \frac{3}{2}x^{2}+6x^{2}+9x+c \\ \end{align} $

Jawab:

Untuk mengerjakan jenis soal integral tak tentu ini kita terlebih dahulu harus  menyederhanakan bentuk perpangkatan dari kuadrat sempurna $(x+3)^2=x^2+6x+9$.

Sehingga $\int (x+3)^2 \ dx = \int x^2+6x+9 \ dx$

Menggunakan rumus dasar integral tak tentu, $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$
maka dapat kita peroleh :

$ \begin{align} &= \frac{1}{2+1}x^{2+1}+\frac{6}{1+1}x^{1+1}+9x+c \\ &= \frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}+9x+c \end{align} $

Pilihan jawaban yang tepat adalah : (C) $\frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}+9x+c$ 

3. Latihan Soal Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( 4x -20x\sqrt{x}+25x^{2} \right)\ dx$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & 2\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}x^{2} + c \\ (B)\ & 4\sqrt{x^{3}}-\frac{25}{2}x^{2} + c \\ (C)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{2}x^{2}+5x + c \\ (D)\ & 2x^{3}-\frac{5}{2}x+ c \\ (E)\ & 2x^{2}-8x^{5}+ \frac{25}{3}x^{3}+ c \end{align} $

Jawab:

Jenis soal integral tak tentu iniyang harus kita perhatikan adalah adanya bentuk akar yang harus kita rubah  terlebih dahulu menjadi  bentuk pangkat  pecahan sesuai dengan kaidah atau konsep materi eksponen.

Jika sudah dirubah menjadi pangkat pecahan maka dengan mudah menggunakan rumus dasar integral tak tentu $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$, kita akan peroleh :

$ \begin{align} &\ \int \left( 4x -20x\sqrt{x}+25x^{2} \right)\ dx\\ &= \frac{4}{1+1} x^{1+1}- \frac{20}{\frac{3}{2}+1} x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{25}{2+1} x^{2+1} +c \\ &= 2 x^{2}- \frac{20}{\frac{5}{2}} x^{\frac{5}{2}}+\frac{25}{3} x^{3} +c \\ &= 2 x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c \end{align} $

Dengan demikian pilihan jawaban yang tepat adalah : (E) $ 2x^{2}- 8 \sqrt{x^{5}}+\frac{25}{3} x^{3} +c $

4. Latihan Soal Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx=\cdots$

$ \begin{align} (A)\ & \frac{4}{3}x^{3} -2x^{2}+\frac{3}{2}x + c \\ (B)\ & \frac{4}{3}x^{3} -\frac{2}{3} x^{2}+3x + c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{5}}+3\sqrt{x}-3x + c \\ (D)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x + c \\ (E)\ & 3\sqrt{x^{5}}+2\sqrt{x}-3x + c \end{align} $

Jawab:

Dengan menggunakan sifat - sifat bilangan eksponen dan rumus dasar integral tak  tentu $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$, kita akan peroleh :

$ \begin{align} &\ \int \left( \dfrac{\sqrt{x} \left( x+3\sqrt{x} \right)}{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x^{\frac{1}{2}} \left( x+3x^{\frac{1}{2}} \right)}{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} +3x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} }{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( \dfrac{x^{\frac{3}{2}} +3x }{x} \right)\ dx\\ &= \int \left( x^{\frac{1}{2}} +3 \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} +3x+c \\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} +3x+c \\ &= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+c \\ &= \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c \end{align} $

Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah : (D) $\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+3x+c$

5. Latihan Soal Integral Tak Tentu

Hasil dari $\int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & 4\sqrt{x^{3}}-2\sqrt{x}+ c \\ (B)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-\frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}+ c \\ (C)\ & \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c \\ (D)\ & 2\sqrt{x^{5}}-\frac{5}{3}\sqrt{x}+ c \\ (E)\ & \frac{5}{2}\sqrt{x^{3}}-4\sqrt{x}+ c \end{align} $

Jawab:

Dengan menggunakan rumus dasar integral tak  tentu $\int ax^{n}\ dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c,\ n \neq -1$ dan  sifat - sifat bilangan eksponen, kita akan peroleh :

$ \begin{align} &\ \int \sqrt{x+9x^{-1}-6}\ dx\\ &= \int \sqrt{ \dfrac{x^{2}+9-6x}{x}}\ dx\\ &= \int \sqrt{ \dfrac{\left(x-3\right)^{2}}{x}}\ dx\\ &= \int \dfrac{x-3}{\sqrt{x}}\ dx\\ &= \int \left(x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}} \right)\ dx\\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}+1} \cdot x^{\frac{1}{2}+1}- \frac{3}{-\frac{1}{2}+1}x^{ -\frac{1}{2}+1} +c \\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}- \frac{3}{ \frac{1}{2} }x^{ \frac{1}{2} } +c \\ &= \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}}- 6 \sqrt{x} +c \end{align} $

Jadi jawaban yang tepat adalah : (C) $\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{x}+ c$

Oke sahabat kreatif, di atas adalah pembahasan kita mengenai seluk beluk integral tak tentu. 

Kita lanjut pembahasan berikutnya yaitu Integral Tentu.

DEFINISI INTEGRAL TENTU

Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ adalah anti-turunan dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka : $ \int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $

SIFAT - SIFAT INTEGRAL TENTU

Integral Tentu mempunyai beberapa sifat yang harus kita ketahui, di antaranya yaitu :
  • $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
  • $\int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx$ 
  • $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
  • $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
  • $\int \limits_{a}^{b}f(-x)dx=-\int \limits_{-a}^{-b}f(x)dx$
  • $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$, jika $f(x)$ fungsi ganjil.
  • $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx$.jika $f(x)$ fungsi genap.

BEBERAPA CONTOH SOAL INTEGRAL TENTU DAN PEMBAHASAN

1. Latihan Soal Integral Tentu

Hasil dari $\int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6 \\ \end{align} $

Jawab:

Dengan menggunakan definisi dari integral tentu maka kita akan dapatkan :

$ \begin{align} & \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\ & = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\ & = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\ & = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\ & = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\ & = \dfrac{3}{2} \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah : (C) $\dfrac{3}{2}$

2. Latihan Soal Integral Tentu SIMAK - UI 2019 KODE 314

Jika $\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx=10$ dan $f(a)=2+f(b)$, maka nilai $f(b)$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & -8 \\ (E)\ & -10 \end{align} $

Jawab:

Untuk menyelesaikan Soal Integral Tentu SIMAK - UI 2019 KODE 314 ini kita akan kerjakan dengan menggunakan permisalan. 

Misalkan $u=f(x)$ sehingga kita akan peroleh,

$ \begin{align} \dfrac{du}{dx} & = f'(x) \\ du & = f'(x)\ dx \end{align} $

Oleh karena itu kita bisa merubah bentuk soal tersebut dengan menyubstitusikan $u$ kedalam soal integralnya, kita akan mendapatkan 

$ \begin{align} \int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ f'(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} u\ du &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot u^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(x) \right)^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(b) \right)^{2} \right]- \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(a) \right)^{2} \right] &=10 \\ \left( f(b) \right)^{2} - \left( f(a) \right)^{2} &=20 \\ \left( f(b) - f(a) \right) \left( f(b) + f(a) \right) &=20 \\ \left( f(b) - 2 - f(b) \right) \left( f(b) + 2+f(b) \right) &=20 \\ \left( - 2 \right) \left( 2f(b) + 2 \right) &=20 \\ 2f(b) + 2 &=-10 \\ 2f(b) &=-12 \\ f(b) &=-6 \end{align} $

3. Latihan Soal Integral Tentu UTBK - SBMPTN 2019

Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi  genap, Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16$, $\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11$ dan $\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6$, maka $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$

$ \begin{align} (A)\ & 22 \\ (B)\ & 23 \\ (C)\ & 24 \\ (D)\ & 25 \\ (E)\ & 26 \end{align} $

Jawab:

Untuk menyelesaikan Soal Integral Tentu UTBK - SBMPTN 2019 jenis ini kita akan bedah satu persatu konsep dasarnyaagar tidak terjerumus dengan jebakan  betmen pembuat soal dan tidak buntu ditengah jalan.

Yang dimaksud dengan fungsi genap adalah ketika berlaku $f(-x)=f(x)$.

Karena pada soal $f(x)$ sudah dipastikan merupakan fungsi genap, maka sesuai dengan sifat yang ada pada integral akan berlaku, $ \int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $ sehingga,

$ \begin{align} \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16\ & \Rightarrow\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 16 \\ \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8\ & \Rightarrow\ \left | F(x) \right | _{0}^{4} = 8 \\ F(4)-F(0) &= 8 \\ \hline \int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{2} \right) \cdot \left | F(2x-2) \right | _{3}^{4} = 11 \\ F(2(4)-2)-F(2(3)-2) &= 22 \\ F(6)-F(4) & = 22 \\ \hline \int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6\ & \Rightarrow\ \left( \dfrac{1}{-1} \right) \cdot \left | F(1-x) \right | _{-5}^{-1} = 6 \\ F(1-(-1))-F(1-(-5)) &= -6 \\ F(2)-F(6) & = -6 \end{align} $

$ \begin{align} F(6)-F(4) & = 22 \\ F(2)-F(6) & = -6\ \ (+) \\ \hline -F(4)+F(2) &= 16 \\ F(4)-F(0) &= 8\ \ (+) \\ \hline F(2)-F(0) &= 24 \end{align} $

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah : (C) $24$

4. Latihan Soal Integral Tentu UNBK Matematika IPA 2018

Diketahui $\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...

$ \begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align} $

Jawab:

Untuk menyelesaikan Soal Integral Tentu UNBK Matematika IPA 2018 ini kita akan  memakai rumus dari definisi integral tentu yaitu  $ \int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $ sehingga,

$ \begin{align} \int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\ \left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\ \left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\ \left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\ \left [15-6p \right ] & = 3 \\ 15-3 & = 6p \\ 12 & = 6p \\ 2 & = p \end{align} $

Jadi jawaban benar adalah : (D) $2$

5. Latihan Soal Integral Tentu SNMPTN 2010 Kode 538

Diketahui $f(x)=\left| x-1 \right|$, nilai dari $\int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx=\cdots$

$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align} $

Jawab:

Untuk menyelesaikan Soal Integral Tentu SNMPTN 2010 Kode 538 ini kita akan  ingat kembali dahulu apa yang menjadi dasar suatu  nilai mutlak, yaitu :

$ \left | x-1 \right |=\left\{\begin{matrix} x-1, \text{untuk}\ x-1 \geq 0\ \text{atau}\ x \geq 1 \\ -\left( x-1 \right), \text{untuk}\ x-1 \lt 0\ \text{atau}\ x \lt 1 \\ \end{matrix}\right. $

Dengan berbekal batas - batas nilai x tersebut maka kita akan peroleh bahwa :

$ \begin{align} & \int \limits_{0}^{1} f\left( x \right)\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{1} \left| x-1 \right|\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{1} -\left( x-1 \right)\ dx \\ &= \int \limits_{0}^{1} \left( -x+1 \right)\ dx \\ &= \left[ -\dfrac{1}{2}x^{2}+x \right]_{0}^{1} \\ &= \left[ -\dfrac{1}{2}(1)^{2}+1 \right] - \left[ -\dfrac{1}{2}(0)^{2}+0 \right] \\ &= -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2} \end{align} $

Pilihan jawaban yang benar adalah : (B) $\frac{1}{2}$

Penutup

Sahabat  kreatif, itulah Rangkuman Materi Integral Matematika Wajib Kelas 12 IPA dan12 IPS yang kita  bahas. 

Semoga Bermanfaat.

Kreatif Matematika
Kreatif Matematika Teman Ngopi Belajar Matematika