Catatan Lengkap Materi Fungsi Eksponen
Hai sahabat kreatif... selamat datang kembali di kreatifmatematika.com.
Solusi Kreatif Mudah Belajar Matematika.
Beberapa kesempatan yang lalu kita sudah pernah membahas yang namanya Fungsi Logaritma.
Gak bakal lengkap rasanya kalau kita tidak bahas saudaranya yaitu Fungsi Eksponen.
Yuk ingat kembali materi lengkapnya.
Oke langsung saja mari kita bahas dari hal yang paling mendasar ya.
Daftar Isi
DEFINISI FUNGSI EKSPONEN
Bentuk eksponen atau yang lebih kita kenal dengan istilah bentuk berpangkat adalah suatu fungsi yang selalu bernilai positif untuk semua $x \in \Re$.
$a^{n}$ $=a$ x $a$ x $a$ x $a$ x $\cdots$ x $a$ , dengan banyak perkalian sebanyak $n$ faktor.
$a \gt 0$, $a \neq 1$
dengan memahami definisi dari eksponen di atas, dalam memecahkan persoalan yang berkaitan dengan fungsi eksponen kita juga harus tahu beberapa sifat dari eksponen itu sendiri.
SIFAT -SIFAT EKSPONEN
- $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$
- $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
- $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
- $(ab)^{m}=a^{m} \cdot b^{m}$
- $(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{m}}$
- $a^{0}=1$
- $a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$
- $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{m}$
GRAFIK FUNGSI EKSPONEN
Grafik fungsi eksponen sangat mirip dengan grafik fungsi logaritma, terang saja karena keduanya adalah dua buah fungsi yang saling menginvers.
Itu kenapa sebenarnya grafik fungsi eksponen adalah hasil dari pencerminan terhadap garis $x=y$ dari grafik fungsi logaritma.
- Domain kedua fungsi adalah himpunan semua bilangan real, $D_f={x \ | \ x \in \Re}$ atau $(-\infty,\infty)$
- Rangenya berupa himpunan semua bilangan real positif, $R_f={y \ | \ y \gt 0, y \in \Re}$ atau $(0,\infty)$
- Kedua grafik melalui titik (0, 1).
- Kurva mempunyai asimtot datar yaitu garis yang didekati fungsi tapi tidak akan berpotongan dengan fungsi, sumbu-$x$ (garis $y = 0$).
- Kedua grafik simetris terhadap sumbu-$y$.
- Grafik $y=a^{x}, a \gt 1$ merupakan grafik yang monoton naik, sebaliknya grafik $y=a^{x}, 0 \lt a \lt 1$ merupakan sebuah grafik yang monoton turun.
PERSAMAAN EKSPONEN
Persamaan eksponen pada prinsipnya sama dengan persamaan logaritma, yaitu kita berfokus pada menyamakan basis (bilangan pokok) untuk proses pengerjaannya.
Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$
dengan syarat, $a \gt 1$ dan $a \neq 0$PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN
Hati - hati dalam mengerjakan pertidaksamaan eksponen, karena nilai basis akan turut mempengaruhi tanda dari pertidaksamaan eksponennya.
Perhatikan baik - baik ya...
Jika $a^{f(x)} \gt a^{g(x)}$ maka :
- $f(x) \gt g(x)$ jika $a \gt 1$
- $f(x) \lt g(x)$ jika $0 \lt a \lt 1$
CONTOH SOAL LATIHAN EKSPONEN DAN PEMBAHASAN LENGKAP
$ \begin{align} (A)\ & \frac{4c^{5}}{a^{3}b^{5}} \\ (B)\ & \frac{4b}{a^{5}c^{5}} \\ (C)\ & \frac{4b}{a^{3}c} \\ (D)\ & \frac{4bc^{7}}{a^{5}} \\ (E)\ & \frac{4c^{7}}{a^{3}b} \end{align} $
Pembahasan :
Sesuai dengan sifat bilangan berpangkat bahwa ketika bilangan eksponen dengan basis sama dibagi maka eksponen(pangkat) nya jadi dikurangi.
- $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
Sehingga kita akan dapatkan,
$(\frac{24 \ a^{-7} \ b^{-2} \ c}{6 \ a^{-2} \ b^{-3} \ c^{-6}})$
$=\frac{24}{6} \ a^{-7+2} \ b^{-2+3} \ c^{1+6}$
$=4 \ a^{-5} \ b^{1} \ c^{7}$
$=\frac{4 \ b \ c^{7}}{a^{5}}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $\frac{4bc^{7}}{a^{5}}$
2. Tentukan nilai dari $\frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+ \dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+ \dots}$ adalah...
Pembahasan :
Langkah mudah untuk mengerjakan soal di atas adalah kita bisa pakai metode permisalan.
Misalkan saja pembilang kita misalkan $A$ dan penyebut kita misalkan $B$, maka kita akan peroleh :
$1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...\ =\ A$
$1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...\ =\ B$
Dengan demikian kita akan peroleh,
$ \begin{align} A-B & = 2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+... \\ A-B & = 2^{-4} \left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )\\ A-B & = 2^{-4} \left ( A \right ) \\ A-B & = \dfrac{1}{16} \left ( A \right ) \\ \frac{15}{16} \left ( A \right ) & = B \\ \frac{A}{B} & = \frac{16}{15} \end{align} $
Jadi nilai dari $\frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+ \dots}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+ \dots}$ adalah $\frac{16}{15}$
3. Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^{b}=2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 19 \\ (D)\ & 21 \\ (E)\ & 23 \end{align} $
Pembahasan :
Dengan menggunakan sifat - sifat eksponen dan sifat distributif aljabar maka persamaan eksponen di atas dapat kita rubah menjadi,
$ \begin{align} a^{b} & = 2^{19} \cdot 2-2^{19} \\ & = 2^{19}(2-1) \\ & = 2^{19} \end{align} $Sehingga dapat dengan mudah kita dapatkan nilai $a=2$ dan $b=19$.
Jadi nilai $a+b=21$ (D)
4. Diketahui persamaan eksponen sebagai berikut :
$25^{x}+25^{x}+25^{x}+25^{x}+25^{x}=5^{2021}$
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 1008 \\ (B)\ & 1010 \\ (C)\ & 1012 \\ (D)\ & 2018 \\ (E)\ & 2020 \end{align} $
Pembahasan :
Dengan menggunakan sifat dan konsep persamaan eksponen kita akan dapatkan,
$ \begin{align} 25^{x}+25^{x}+25^{x}+25^{x}+25^{x} & = 5^{2021} \\ 5 \cdot 25^{x} & = 5^{2021} \\ 5^{1} \cdot 5^{2x} & = 5^{2021} \\ 5^{2x+1} & = 5^{2021} \\ \Rightarrow 2x+1 & = 2021 \\ x & = 1010 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $1010$
5. Jika $(1-x)^{5}=(2x-1)^{5}$,maka nilai $x$ sama dengan...
$ \begin{align} (A)\ & \frac{2}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{4}{3} \\ (D)\ & \frac{5}{3} \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Pembahasan :
Persamaan eksponen pada soal di atas adalah persamaan eksponen yang mempunyai bentuk dasar $(f(x))^{p}=(g(x))^{p}$ yang hanya akan terpenuhi ketika $f(x)=g(x)$ karena nilai $p$ yang ganjil.
Dengan demikian kita akan jabarkan persamaan tersebut menggunakan sifat - sifat eksponen yang sudah ada, kita akan peroleh,
$ \begin{aligned} (1-x)^5 & = (2x-1)^5 \\ \Rightarrow 1-x & = 2x-1 \\ -x-2x & =-1-1 \\ -3x & = -2 \\ x & = \dfrac23 \end{aligned} $
Jadi, jawaban yang benar adalah (A) $\frac{2}{3}$
6. Jika $x$ adalah bilangan riil positif yang memenuhi $\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}$, maka nilai $ax$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & a^{2} \\ (B)\ & ab \\ (C)\ & a^{2}b \\ (D)\ & ab^{2} \\ (E)\ & a^{2}b^{2} \end{align} $
Pembahasan :
Salah satu sifat eksponen yang akan kita pakai untuk menyederhanakan persamaan eksponen di atas adalah $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
Jika kita lihat lebih jauh mengenai bentuk pangkat pecahannya, maka kita akan pangkatkan 6 agar semua bentuk akarnya hilang.
$ \begin{aligned} \left(\dfrac{\sqrt[3]{a^2} \sqrt{x}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}}\right)^6 & = \left(\sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}\right)^6 \\ \dfrac{a^{\frac23 \cdot 6} x^{\frac12 \cdot 6}}{a^{\frac12 \cdot 6} (ab)^{\frac13 \cdot \frac12 \cdot 6}} & = a^{\frac12 \cdot 6} b^{\frac23 \cdot \frac12 \cdot 6} \\ \frac{a^4x^3}{a^4b} & = a^3b^2 \\ \dfrac{x^3}{b} & = a^3b^2 \\ x^3 & = a^3b^3 \\ x & = ab \end{aligned} $
Karena nilai $x=ab$, maka nilai dari $ax=a(ab)=a^{2}b$.
Jadi jawaban yang benar adalah (C) $a^{2}b$.
7. Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan eksponen berikut adalah...
$ \sqrt[3]{\frac{1}{8^{2x}}} \gt \frac{64^{3x}}{2^{18x-36}} $
$ \begin{align} (A)\ & x \lt -14 \\ (B)\ & x \lt -15 \\ (C)\ & x \lt -16 \\ (D)\ & x \lt -17 \\ (E)\ & x \lt -18 \end{align} $
Pembahasan :
Dengan merubah bilangan 8 dan 64 menjadi bilangan berpangkat berbasis 2, maka kita akan peroleh,
$ \begin{align} 2^{\frac{-6x}{3}} & \gt \frac{2^{18x}}{2^{18x-36}} \\ 2^{-2x} & \gt 2^{18x-(18x-36)} \\ 2^{-2x} & \gt 2^{36} \\ \Rightarrow -2x & \gt 36 \\ x & \lt -18 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (E) $x \lt -18$
Penutup
Nah sahabat kreatif, itu lah pembahasan Rangkuman Materi Fungsi Eksponen Lengkap kita kali ini.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
Video Pembelajaran Eksponen | Youtube Kreatif Matematika
