Rangkuman Materi Barisan Dan Deret Lengkap

Ini adalah pembahasan rangkuman materi barisan dan deret lengkap yang disertai dengan contoh soal latihan dan pembahasan.

Barisan dan deret adalah materi yang ikut diujikan dalam tes UTBK - SBMPTN hingga saat ini.

Dalam perkembangannya materi barisan dan deret keluar pada soal - soal dalam TKA - Saintek khususnya dalam Matematika Saintek.

Sebenarnya materi barisan dan deret ini jelas bukan materi baru.

Lho.. kok bisa???

Terang saja materi barisan dan deret ini sebenarnya sudah diperkenalkan dan dibahas sejak kalian berada di bangku kelas IX SMP.

Oke langsung saja kita akan bahas semuanya mulai dari $A$ sampai $Z$.

Daftar Isi

• Pengantar Barisan dan Deret
• Barisan dan Deret Artimatika
• 1. Barisan Aritmatika
• 2. Deret Aritmatika
• 3. Suku Tengah Barisan Aritmatika
• 4. Sisipan Barisan Aritmatika
• Barisan dan Deret Geometri
• 1. Barisan Geometri
• 2. Deret Geometri
• 3. Deret Geometri Tak Hingga
• 4. Suku Tengah Barisan Geometri
• 5. Sisipan Barisan Geometri
• Contoh Soal Latihan Barisan dan Deret Disertai Pembahasan

Ikuti terus sampai habis ya...

PENGANTAR BARISAN DAN DERET

Dalam kehidupan sehari - hari sebenarnya banyak sekali kejadian yang mengaplikasikan dari konsep barisan dan deret.

Contoh sederhana adalah pada kejadian matematika keuangan sederhana.

Pada awal tahun 2022 Pak Darsono menabung di bank  sejumlah Rp.  $2.000.000,-$.

Pada bulan berikutnya ia manabung kembali sebesar Rp.  $150.000,-$, demikian seterusnya selalu dalam jumlah yang sama tiap bulannya.

Suatu hari karena putra kesayangannya sedang berulang tahun, Pak Darsono berencana akan mengambil sebagian dari uang tabungannya.

Jika putranya berulang tahun pada 5 Maret 2023 maka berapakah uang yang ada dalam tabungan Pak Darsono saat itu?

Uang tabungan Pak Darsono bisa kita simulasikan dalam tabel  sederhana  berikut :

Bulan	Jumlah Tabungan	Saldo Tabungan
Jan 2022	$2.000.000$	$2.000.000$
Peb 2022	$150.000$	$2.150.000$
Mar 2022	$150.000$	$2.300.000$
Apr 2022	$150.000$	$2.450.000$
Mei 2022	$150.000$	$2.600.000$
Jun 2022	$150.000$	$2.850.000$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
Jan 2023	$150.000$	$3.800.000$
Peb 2023	$150.000$	$3.950.000$

Dengan menabung dengan jumlah yang sama  setiap bulannya sebenarnya apa yang terjadi dengan jumlah uang tabungan Pak Darsono adalah konsep dari pola barisan dan deret.

Pola pertambahan dengan jumlah yang tetap ini disebut dengan pola barisan aritmatika.

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

1. BARISAN ARITMATIKA

Barisan Aritmatika $\to$ pola barisan bilangan yang mempunyai ciri selisih setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

Selisih dari dua suku yang berurutan inilah yang disebut dengan beda ($b$), dimana $b \neq 0$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola barisan suku - suku aritmatika berikut ya...

$U_1,\ U_2,\ U_3,\ U_4, \cdots,\ U_n$

dengan nilai beda yaitu : 

$b=U_2-U_1=U_3-U_2=U_n-U_{n-1}$

Rumus suku ke-$n$ $\to$ $(U_n)$ dari Barisan Aritmatika adalah :

$U_n=a+(n-1)b$

dengan $a$ dan $b$ berturut - turut ialah suku pertama dan beda  pada barisan aritmatika tersebut.

Jika kita jumlahkan masing - masing suku pada barisan  aritmatika maka kita akan mendapatkan deret aritmatika. 

2. DERET ARITMATIKA

Deret Aritmatika $\to$ jumlah dari pola barisan bilangan yang mempunyai ciri selisih setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

$U_1+U_2+U_3+U_4+\cdots+U_n=S_n$

dengan $S_n$  ialah jumlah $n$ suku  pertama deret aritmatika,

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika ialah :

$S_n=a+U_n$ atau $S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)b]$

3. SUKU TENGAH BARISAN ARITMATIKA

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku $(n)$ ganjil, suku pertama $a$, dan suku  terakhir $U_n$ maka nilai dari suku tengah $(U_t)$ dari barisan tersebut adalah :

$U_t=\frac{a+U_n}{2}$

dimana $t=\frac{n+1}{2}$.

4. SISIPAN BARISAN ARITMATIKA

Jika diantara dua suku barisan aritmatika disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan baru maka akan terbentuk barisan aritmatika yang baru.

Barisan Aritmatika yang baru ini mempunyai beda yang baru pula yang kita sebut dengan $b^{*}$.

$b^{*}=\frac{b}{k+1}$

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. BARISAN GEOMETRI

Barisan Geometri $\to$ pola barisan bilangan yang mempunyai ciri perbandingan setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

Perbandingan dari dua suku yang berurutan inilah yang disebut dengan rasio ($r$), dimana nilai $r \neq 1$.

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola barisan suku - suku geometri berikut ya...

$U_1,\ U_2,\ U_3,\ U_4, \cdots,\ U_n$

dengan nilai beda yaitu : 

$r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{U_3}{U_2}=\frac{U_n}{U_{n-1}}$

Rumus suku ke-$n$ $\to$ $(U_n)$ dari Barisan Geometri adalah :

$U_n=ar^{n-1}$

2. DERET GEOMETRI

Deret Geometri $\to$ jumlah dari pola barisan bilangan yang mempunyai ciri perbandingan setiap dua suku yang berurutan selalu tetap.

$U_1+U_2+U_3+U_4+\cdots+U_n=S_n$

dengan $S_n$  ialah jumlah $n$ suku pertama deret geometri,

Rumus jumlah $n$ suku  pertama deret geometri bergantung dari besar nilai rasio$(r)$ nya.

$S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \ \to \ r \gt 1$ 

$S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} \ \to \ r \lt 1$

3. DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Jika deret geometri terus mengembang tak berujung alias tidak mempunyai suku terakhir $U_n$ maka terbentuklah deret geometri tak hingga.

$U_1+U_2+U_3+U_4+\cdots =S_\infty$

Tidak semua deret geometri mempunyai jumlah akhir.

Kondisi inilah yang dikenal dengan istilah syarat kekonvergenan deret geometri tak hingga.

Deret Geometri Tak Hingga akan mempunyai nilai jumlah (konvergen) ketika rasionya terletak pada batas $-1$ dan $1$.

$S_\infty=\frac{a}{1-r} \ \to \ -1 \lt r \lt 1$

sedangkan jika nilai rasio $(r)$ nya terletak diluar batas tersebut maka deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tak hingga (divergen).

$S_\infty=\infty \ \to \ r \lt -1$ atau $r \gt 1$

Dari rumus deret tak hingga tersebut di atas kita bisa kembangkan menjadi rumus - rumus berikut :

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku - suku ganjil : 

$U_1+U_3+U_5+U_7+ \cdots = S_{ganjil}$ 

$S_{ganjil}=\frac{a}{1-r^{2}}$ 

Jumlah deret geometri tak hingga dengan suku - suku genap : 

$U_2+U_4+U_6+U_8+ \cdots = S_{genap}$ 

$S_{genap}=\frac{ar}{1-r^{2}}$ 

Dengan rasio deret geometri tak hingga : 

$r=\frac{S_{genap}}{S_{ganjil}}$

4. SUKU TENGAH BARISAN GEOMETRI

Jika barisan geometri mempunyai banyak suku $(n)$ ganjil, suku pertama $a$, dan suku  terakhir $U_n$ maka nilai dari suku tengah $(U_t)$ dari barisan geometri tersebut adalah :

$U_t=\sqrt{a \cdot U_n}$

dimana $t=\frac{n+1}{2}$.

5. SISIPAN BARISAN GEOMETRI

Serupa dengan barisan aritmatika yang dapat mempunyai sisipan diantara dua suku berurutan.

Demikian pula berlaku pada barisan geometri.

Jika diantara dua suku barisan geometri disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan baru maka akan terbentuk barisan geometri yang baru.

Barisan Geometri yang baru ini mempunyai rasio yang baru pula yang kita sebut dengan $r^{*}$.

$r^{*}=r^{\frac{1}{k+1}}$

CONTOH SOAL LATIHAN BARISAN DAN DERET DISERTAI PEMBAHASAN

Dalam perkembangannya soal barisan dan deret bisa juga dikaitkan dengan materi - materi pokok matematika lainnya seperti : persamaan kuadrat, polinomial (suku banyak) , matriks , eksponen, logaritma dan lainnya yang masih berpotensi konsep barisan dan deret bisa masuk.

Contoh soal latihan berikut dirangkum mulai dari soal tugas sekolah, simulasi Ujian Sekolah,ataupun soal tes UTBK - SBMPTN dan soal tes masuk kampus lainnya.

1. Diketahui $U_n=4n+1$ maka nilai beda dari barisan aritmatika tersebut adalah...

 $ \begin{align} (A)\ & 5 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 1 \end{align} $

Pembahasan :

Ingat kembali bahwa salah satu cara menghitung $b$ ialah dengan rumus $b=U_2-U-1$.

$ \begin{align} b & = U_2-U_1 \\ \ & = 4(2)+1 -[4(1)+1] \\ \ & = 9-5 \\ \ & = 4 \end{align} $ 

TRIK SUPERKILAT! 

Dalam rumus suku ke-$n$ $(U_n)$ nilai beda selalu terletak di depan $n$. 

Sehingga $U_n=\color{red}{4}n+1 \to b=\color{red}{4}$

2.Diketahui suatu barisan artimatika $U_{6}=20$ dan $U_{2}=8$. Jumlah $6$ suku pertama barisan tersebut adalah...

$ \begin{align} (A)\ & 150 \\ (B)\ & 75 \\ (C)\ & 50 \\ (D)\ & 28 \\ (E)\ & 25 \end{align} $ 

Pembahasan : 

Dengan menggunakan penjabaran melalui rumus $U_n$ kita akan bisa dapatkan, 

$ \begin{array}{c|c|cc} a+b= 8 & \\ a+5b = 20 & (-) \\ \hline -4b = -12 & \\ b = 3 & a= 5 \end{array} $ 

Sehingga langkah beriktunya tinggal kita substitusikan ke dalam rumus $S_n$, kita akan peroleh, 

$ \begin{align} S_{6} & =\frac{6}{2} \left(2a+(6-1)b \right) \\ &=3 \left(2(5)+(5)(3) \right) \\ &=3 \left(10+15 \right) \\ &=3 \left(25 \right) \\ &=75 \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (B) $75$.

3. Suku ke-$50$ dari barisan $7, 5, 3, 1, \cdots$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & -100 \\ (B)\ & -98 \\ (C)\ & -95 \\ (D)\ & -93 \\ (E)\ & -92 \\ \end{align} $

Pembahasan :

Dari soal diketahui bahwa nilai $a=7$ dan $b=5-7=-2$, 

sehingga 

$ \begin{align} U_n & = a+(n-1)b \\ U_{50} & = 7+(50-1)(-2) \\ & = 7-98 \\ & = -92 \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (E) $-92$

4. Dalam suatu gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari $12$ kursi, baris kedua berisi $14$ kursi, baris ketiga barisi $16$ kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-$20$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & 125 \\ (B)\ & 100 \\ (C)\ & 75 \\ (D)\ & 50 \\ (E)\ & 25 \\ \end{align} $

Pembahasan :

Diketahui dalam soal bahwa nilai $a=12$ dan $b=2$. 

Sehingga banyak kursi pada baris ke-$20$ : 

$ \begin{align} U_n & = a+(n-1)b \\ U_{20} & = 12+(20-1)(2) \\ & = 12+38 \\ & = 50 \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $50$

5. Jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika adalah $S_n=n^{2}+(\frac{5}{2}n)$. Beda dari deret aritmatika tersebut adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \\ \end{align} $ 

Pembahasan : 

Langkah pertama kita cari nilai dari $S_1$ dan $S_2$, yaitu : 

$ \begin{align} S_1 & = 1^{2}+(\frac{5}{2})1 \\ & = 1+(\frac{5}{2}) \\ & = \frac{7}{2} \end{align} $ 

dan, 

$ \begin{align} S_2 & = 2^{2}+(\frac{5}{2})2 \\ & = 4+5 \\ & = 9 \end{align} $ 

Karena $S_2$ merupakan jumlah dari $U_1$ dan $U_2$, maka : 

$ \begin{align} S_2 & = U_1+U_2 \\ 9 & = a+(a+b) \\ 9 & = \frac{7}{2}+(\frac{7}{2}+b) \\ 9-7 & = b \\ 2 & = b \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (B)$2$

TRIK SUPERKILAT !

JIka $S_n=pn^{2}+qn$ maka $r=2p$ 

Sehingga $S_n=n^{2}+(\frac{5}{2}n)$ maka $r=2 \cdot 1=2$

6. Jumlah deret $4\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} + 2 + \cdots$ adalah... 

$\begin{align} (A)\ & 6\sqrt{2}+6 \\ (B)\ & 4\sqrt{2} -2 \\ (C)\ & 4\sqrt{2}+4 \\ (D)\ & 8\sqrt{2}+8 \\ (E)\ & 8\sqrt{2}-8 \end{align}$ 

Pembahasan : 

Berdasarkan informasi pada soal kita akan peroleh bahwa 

$ \begin{align} r\ &= \dfrac{U_{n}}{U_{n-1}} = \dfrac{U_{2}}{U_{1}} \\ & = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$ 

dan nilai $a=4\sqrt{2}$

Sehingga, 

$\begin{align} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ S_{\infty} &= \dfrac{4\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{4\sqrt{2}}{\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} } = \dfrac{4\sqrt{2}}{ \frac{2-\sqrt{2}}{2} } \\ &= \dfrac{8\sqrt{2}}{ 2-\sqrt{2} } \times \dfrac{ 2+\sqrt{2}}{ 2 + \sqrt{2} } \\ &= \dfrac{ 16\sqrt{2}+16 }{ 4-2 } = 8\sqrt{2}+8 \end{align}$ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $8\sqrt(2)+8$

7. Suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlah suku - suku ganjilnya $\frac{256}{3}$ dan nilai suku - suku genapnya $\frac{128}{3}$. Nilai dari $U_5$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align} $ 

Pembahasan :

Dari nilai jumlah suku ganjil dan genap masing - masing di atas maka kita bisa dapatkan nilai $r$ yaitu : 

$ \begin{align} r &= \dfrac{ S_{genap}}{S_{ganjil}} = \dfrac{\frac{128}{3}}{\frac{256}{3}} \\ &= \dfrac{128}{256} = \dfrac{1}{2} \end{align} $ 

Karena $U_5$ merupakan suku ganjil, maka selanjutnya nilai $a$ juga akan ketemu 

$ \begin{align} S_{ganjil} &= \dfrac{ a }{ 1- r^{2}} \\ \dfrac{256}{3}\ &= \dfrac{ a }{ 1- \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} \\ \dfrac{256}{3}\ &= \dfrac{ a }{ 1- \frac{1}{4} } \\ \dfrac{256}{3}\ &= \dfrac{ a }{ \frac{3}{4} } \\ \dfrac{256}{3} \cdot \dfrac{3}{4} &= a \longrightarrow a = 64 \end{align} $ 

Dengan demikian nilai dari $U_5$ adalah $ \begin{align} U_{n} &= ar^{n-1} \\ U_{5} &= ar^{5-1} \\ &= \left( 64 \right)\left( \frac{1}{2} \right)^{4} = \left( 64 \right)\left( \frac{1}{16} \right) \\ &= 4 \end{align} $

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $4$

8. Suatu deret geometri turun mempunyai jumlah tak hingga $24$. Jika jumlah suku - suku bernomor ganjil adalah 18 maka suku kedua adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{16}{3} \\ (B)\ & \dfrac{20}{3} \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 15 \end{align} $ 

Pembahasan :

$ \begin{align} S_{\infty} &= S_{genap}+S_{ganjil} \\ 24 &= S_{genap}+18 \longrightarrow S_{genap}=6 \end{align}$ 

Langkah beriktunya kita bisa cari nilai $r$ nya 

$r = \dfrac{ S_{genap}}{S_{ganjil}} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} $ 

Sehingga, 

$ \begin{align} S_{\infty} &= \dfrac{a}{1-r} \\ 24 &= \dfrac{a}{1-\frac{1}{3}} \\ 24 &= \dfrac{a}{ \frac{2}{3}} \\ 24 \cdot \frac{2}{3} &= a \longrightarrow a=16 \\ U_{2} &= ar \\ &= 16 \cdot \dfrac{1}{3} =\dfrac{16}{3} \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (A) $\dfrac{16}{3}$

9. Soal SBMPTN 2013 Kode 126 

Parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mempunyai titik pucak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\frac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah 4, maka nilai $m$ adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align} $ 

Pembahasan :

Untuk menjawab soal di atas kita butuh rumus - rumus diantaranya adalah : 

• Rumus puncak fungsi kuadrat $\to (\dfrac{-b}{2a},\dfrac{D}{-4a})$ 

• Jumlah deret geometri tak hingga $\to S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ 

Langkah pertama kita cari nilai dari titik puncak parabolanya $(p,q)$ 

$y=x^{2}-2x+3m-1$ $ \begin{align} p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\ & =-\dfrac{8-12m }{4} \\ & = 3m-2 \end{align} $

Sehingga kita bisa bentuk deret geometri yang dimaksud dalam soal yaitu 

$ \begin{align} 2+\dfrac{3m-2}{4}+ \cdots &= 4 \\ \hline \dfrac{a }{1-r } & = 4 \\ \dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\ 2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\ 2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\ 2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\ -4 & = - (3m-2) \\ 4 & = 3m-2 \\ 4+2 & = 3m \\ 2 & = m \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $2$.

10. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 

Jika diketahui ${}^a\!\log b + \left( {}^a\!\log b \right)^{2} + \left( {}^a\!\log b \right)^{3} + \cdots =2$ maka ${}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}}=\cdots$ 

$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & \dfrac{3}{2} \\ (C)\ & \dfrac{5}{3} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align} $ 

Pembahasan :

Berdasarkan informasi deret dalam soal kita bisa dapatkan $U_{1}={}^a\!\log b$ dan $r={}^a\!\log b$, sehingga $ \begin{align} S_{\infty } &= \dfrac{a}{1-r} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{1-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log a-{}^a\!\log b} \\ 2 &= \dfrac{{}^a\!\log b}{{}^a\!\log \dfrac{a}{b} } \\ 2 \cdot {}^a\!\log \dfrac{a}{b} &= {}^a\!\log b \\ {}^a\!\log \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= {}^a\!\log b \\ \left( \dfrac{a}{b} \right)^{2}&= b \\ a^{2} &= b \cdot b^{2} \\ a^{2} &= b^{3} \\ a^{\frac{2}{3}} &= b \end{align} $

Langkah berikutnya tinggal kita cari bentuk logaritma yang ditanyakan yaitu 

$ \begin{align} {}^a\!\log b + {}^b\!\log \sqrt[3]{a^{2}} &= {}^a\!\log a^{\frac{2}{3}} + {}^b\!\log \sqrt[3]{b^{3}} \\ &= \dfrac{2}{3} \cdot {}^a\!\log a + {}^b\!\log b \\ &= \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3} \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (C) $\dfrac{5}{3}$

11. Soal UM STIS 2011 

Nilai dari $26^{2}-25^{2}+24^{2}-23^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1=\cdots$ 

$ \begin{align} (A)\ & 351 \\ (B)\ & 371 \\ (C)\ & 431 \\ (D)\ & 451 \\ (E)\ & 472 \end{align} $ 

Pembahasan :

Terlihat jelas dalam soal bentuk deret sebenarnya merupakan jumlah dari selisih dua kuadrat $a^{2}-b^{2}$. 

Oleh karena itu dalam pengerjaannya kita bisa jabarkan deret tersebut dengan memakai rumus selisih dua kuadrat dimana $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ 

Sehingga, 

$26^{2}-25^{2}=(26-25)(26+25)=26+25$ 

$24^{2}-23^{2}=(24-23)(24+23)=24+23$ 

$22^{2}-21^{2}=(22-21)(22+21)=22+21$ 

$\vdots$ 

$6^{2}-5^{2}=(6-5)(6+5)=6+5$ 

$4^{2}-3^{2}=(4-3)(4+3)=4+3$ 

$2^{2}-1^{2}=(2-1)(2+1)=2+1$ 

Oleh karena itu bentuk deret pada soal dapat kita jabarkan sebagai berikut : 

$26^{2}-25^{2}+24^{2}-23^{2}+\cdots+4^{2}-3^{2}+2^{2}-1$ 

$26+25+24+23+\cdots+4+3+2+1 $ 

$ \begin{align} S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a+(n-1)b \right) \\ S_{26} &= \dfrac{26}{2} \left( 2(26)+(26-1)(-1) \right) \\ &= 13 \left( 72-25 \right) \\ &= 13 \left( 27 \right) \\ &= 351 \end{align}$ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (A) $351$

12. Soal UTBK-SBMPTN 2019

MIsalkan $(U_n)$ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama $a$ dan beda $2a$. Jika $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=100$, maka $u_{2}+u_{4}+u_{6}+\cdots+u_{20}=\cdots$ 

$ \begin{align} (A)\ & 720 \\ (B)\ & 840 \\ (C)\ & 960 \\ (D)\ & 1080 \\ (E)\ & 1200 \end{align} $ 

Pembahasan :

Beberapa rumus barisan dan deret yang kita butuhkan adalah : 

• $U_{n}=a+(n-1)b$ 

• $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$ 

Sehingga kita dapatkan 

$\begin{align} 100 & = u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5} \\ & = a+a+b+a+2b+a+3b+a+4b \\ & = 5a +10b \\ & = 5a +10(2a) \\ 100 &= 25a \\ a &= 4 \\ b &= 8 \end{align}$ 

Dengan demikian 

$\begin{align} &u_{2}+u_{4}+\cdots+u_{18}+u_{20} \\ & = (a+b)+(a+3b)+\cdots+(a+17b)+(a+19b) \\ & = 10a +b(1+3+5+\cdots+19) \\ & = 10a +b(100) \\ & = 10(4) +8(100) \\ &= 840 \end{align}$ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $840$

13. Soal UTBK-SBMPTN 2019 

Diketahui deret artimatika : 

$u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1}=\dfrac{n(n+1)}{2}$, untuk setiap $n \geq 1$. 

Beda deret tersebut adalah... 

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & \dfrac{5}{2} \end{align}$ 

Pembahasan :

Kita akan membutuhkan beberapa rumus barisan dan deret untuk mengerjakan soal ini: 

• $U_{n}=a+(n-1)b$ 

• $S_{n}=\dfrac{n}{2} \left(2a+(n-1)b \right)=\dfrac{n}{2} \left(a+U_{n} \right)$ 

TRIK SUPERKILAT! Rumus Mencari Beda $(b)$ $b=u_{5}-u_{4}=\dfrac{u_{6}-u_{3}}{6-3}=\dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q}$

Dari $u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n-1} = \dfrac{n(n+1)}{2}$ kita peroleh : 

$\begin{align} u_{1} & =\dfrac{1(1+1)}{2}=1 \\ u_{1}+u_{3} &= \dfrac{2(2+1)}{2}=3 \\ u_{3} &=2 \\ u_{1}+u_{3}+u_{5} &= \dfrac{3(3+1)}{2}=6 \\ u_{5} &=3 \end{align} $ 

Sehingga kita akan dapatkan nilai bedanya yaitu: 

$ \begin{align} b &= \dfrac{u_{p}-u_{q}}{p-q} \\ &= \dfrac{u_{5}-u_{3}}{5-3} \\ &= \dfrac{3-2}{5-3}=\dfrac{1}{2} \end{align} $ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (A) $\dfrac{1}{2}$

14. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 

Jika $-2,\ a+3,\ a-1$ membentuk barisan geometri, maka jumlah $11$ suku pertama yang mungkin adalah... 

$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $ 

Pembahasan :

Dengan menggunakan aturan suku tengah barisan geometri dimana $u_{2}^{2} = u_{1} \cdot u_{3}$ kita akan dapatkan 

$\begin{align} (a+3)^{2} & = -2 \cdot (a-1) \\ a^{2}+6a+9 & = -2a+2 \\ a^{2}+8a+7 & = 0 \\ (a+1)(a+7) & = 0 \\ (a+1)=0\ & \text{atau}\ (a+7)=0 \\ a=-1\ & \text{atau}\ a=-7 \end{align}$ 

Untuk $a=-1$ maka akan terbentuk barisan geometri $-2,\ 2,\ -2,\ \cdots$ sehingga nilai dari $S_{11}$ nya adalah: 

$\begin{align} S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\ S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((-1)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\ & = \dfrac{-2 \left (-1-1 \right )}{-1-1} \\ & = \dfrac{4}{-2} \\ & = -2 \end{align}$ 

Untuk $a=-7$ maka akan terbentuk barisan geometri $-2,\ -4,\ -8,\ \cdots$ sehingga nilai dari $S_{11}$ nya adalah: 

$\begin{align} S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\ S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((2)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\ & = \dfrac{-2 \left (2^{11}-1 \right )}{-2} \\ & = 2^{11}-1 \end{align}$ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (A) $-2$

15. Soal UM UGM 2014 Kode 522 

Jika tiga bilangan $x,y,\ \text{dan}\ z$ membentuk barisan geometri, maka $\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z}=\cdots$ 

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{x} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{y} \\ (C)\ & \dfrac{1}{z} \\ (D)\ & \dfrac{1}{x+z} \\ (E)\ & \dfrac{1}{x-z} \end{align}$ 

Pembahasan :

Aturan suku tengah barisan geometri dimana $u_{2}^{2} = u_{1} \cdot u_{3}$ tetap bisa kita gunakan untuk menjabarkan dari tiga bilangan $x,y,z$, sehingga 

$\begin{align} U_{2}^{2} &= U_{3} \cdot U_{1} \\ y^{2} &= z \cdot x \\ \hline \dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z} &= \dfrac{(y-z)-(x-y)}{(x-y)(y-z)} \\ &= \dfrac{2y-x-z}{xy-xz-y^{2}+yz} \\ &= \dfrac{2y-x-z}{xy-y^{2}-y^{2}+yz} \\ &= \dfrac{2y-x-z}{xy-2y^{2}+yz} \\ &= \dfrac{2y-x-z}{ y(x -2y + z)} \\ &= \dfrac{2y-x-z}{-y(2y-x-z)} \\ &= \dfrac{1}{-y} \end{align}$ 

Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $-\dfrac{1}{y}$

Penutup

Nah sahabat kreatif, itu lah pembahasan Rangkuman Materi Barisan Dan Deret Lengkap.

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.

Selamat Belajar !