Rangkuman Materi Logika Matematika: Implikasi, Konjungsi, Disjungsi, Silogisme, Biimplikasi Lengkap
Ini adalah pembahasan lengkap mengenai materi logika matematika lengkap disertai dengan soal - soal dan pembahasannya.
 |
| Logika Matematika - kreatifmatematika.com |
Solusi tepat buat kamu yang masih bingung memahami materi silogisme, implikasi, biimplikasi, konjungsi,disjungsi.
Yups... kamu sudah berada di halaman web yang tepat.
Kira - kira apa yang pertama kali terpikirkan ketika mendengar kata "logika matematika"?
Sebagian dari kamu pasti akan berkata "matematika itu dihitung jangan cuma dilogika aja..." hhmmmm...
Atau justru terbiasa dengan kata - kata "kalo cinta mah ndak butuh logika atuh..." eeeaaa... #bucin.tingkat.dewa
Oke kembali fokus yuk..
Langsung saja kita akan bahas semuanya dari hal yang paling mendasar.
Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Pernyataan mah sering kita dengar, kalau kalimat terbuka?
Apaan tuh?
Memang dalam kehidupan sehari - hari istilah kalimat terbuka jarang banget digunakan.
Namun baik pernyataan dan kalimat terbuka merupakan dua unsur dasar yang sangat penting dalam mempelajari logika matematika.
Dalam belajar logika matematika yang dimaksud dengan pernyataan dan kelaimat terbuka adalah :
Pernyataan $\to$ suatu bentuk kalimat yang mempunyai nilai kebenaranya, bisa bernilai benar atau salah.
Kalimat Terbuka $\to$ jenis kalimat "yang belum diketahui nilai kebenarannya", apakah bernilai benar atau salah??? (masih diragukan butuh pembuktian lebih lanjut).
Contoh Pernyataan
- Kota Surabaya adalah ibukota Propinsi Jawa Timur. (pernyataan benar)
- Hari sesudah hari Selasa adalah hari Jumat. (pernyataan salah)
Contoh Kalimat Terbuka
- $5x+12 \gt 10$ (merupakan jenis kalimat terbuka karena butuh pembuktian lebih lanjut kebenarannya. Apakah benar $5x$ jika ditambah $12$ hasilnya lebih dari $10$?)
- Maaf ya, kemarin aku ada belajar kelompok jadi tidak bisa datang. (jelas ini merupakan jenis kalimat yang masih dipertanyakan nilai kebenarannya. Apakah benar dia kemarin ada belajar kelompok sehingga dia tidak bisa datang?? atau dia emang lagi males sama kamu aja?? eeeaaa....)
Setelah mengetahui yang mana pernyataan dan kalimat terbuka, selanjutnya kita akan belajar yang namanya ingkaran.
Ingkaran (Negasi)
Ingkaran $\to$ pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sebaliknya.
Ingkaran disebut juga dengan istilah negasi atau penyangkal.
Ingkaran biasa dinotasikan dengan simbol "$\sim$".
Jadi ingkaran dari suatu pernyataan $p$ adalah $\sim p$ (dibaca : negasi $p$).
| $p$ | $\sim p$ |
|---|---|
| B | S |
| S | B |
Terlihat dalam Tabel Nilai Kebenaran di atas bahwa jika $p$ adalah pernyataan yang bernilai benar (B) maka ingkaran dari $p$, dalam hal ini $\sim p$ akan bernilai salah (S).
Demikian juga berlaku sebaliknya jika $p$ bernilai salah (S).
Contoh Ingkaran Pernyataan
1. $p$ : Adi memakai baju merah.
$\sim p$ : Adi memakai baju tidak merah.
2. $p$ : Semua pengajar matematika berambut hitam
$\sim p$ : Ada pengajar matematika yang berambut tidak hitam.
Hal yang peling penting disini adalah ingkaran (negasi) tidaklah sama dengan antonim ya.
Kalau antonimnya hitam itu putih, sedangkan negasi hitam adalah tidak hitam.
Jadi tinggal dikasih kata "tidak" didepannya ya???
Mmm... iya semudah itu.
3. $p$ : Semua atlet bola basket berbadan tinggi.
$\sim p$ : Ada atlet bola basket yang berbadan pendek (ini adalah contoh ingkaran yang salah karena memakai antonim tinggi yaitu pendek atau rendah).
$\sim p$ : Ada atlet bola basket yang berbadan tidak tinggi (ini adalah contoh ingkaran yang benar, negasi tinggi adalah tidak tinggi).
Oke kita lanjut ya...
Berikutnya kita akan belajar mengenai pernyataan majemuk.
Apa itu pernyataan majemuk?
Pernyataan majemuk $\to$ jenis kalimat yang terdiri dari gabungan beberapa pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran tertentu.
Dalam logika matematika terdapat 4 jenis kalimat majemuk, yaitu : konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.
Konjungsi
Konjungsi $\to$ jenis pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "dan".
Konjungsi dinotasikan dengan tanda "$\wedge$".
Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk konjungsi dapat kita lihat dalam tabel berikut :
| $p$ | $q$ | $p \ \wedge \ q$ |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika $p$ dan $q$ keduanya sama - sama bernilai benar.
Contoh Pernyataan Konjungsi
1. $p$ : $20$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $4$.
$q$ : $20$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $10$.
$p \wedge q$ : $20$ adalah bilangan bulat yang habis dibagi $4$ dan $10$.
2. $p$ : Tono pergi ke sekolah memakai seragam olahraga.
$q$ : Tono pergi ke sekolah naik sepeda BMX.
$p \wedge q$ : Tono pergi ke sekolah memakai seragam olahraga dan naik sepeda BMX.
Disjungsi
Disjungsi $\to$ jenis pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "atau".
Disjungsi dinotasikan dengan tanda "$\vee$".
Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk disjungsi dapat kita lihat dalam tabel berikut :
| $p$ | $q$ | $p \ \vee \ q$ |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Terlihat dalam tabel kebenaran bahwa pernyataan majemuk disjungsi hanya bernilai salah jika kedua pernyataan $p$ dan $q$ sama - sama bernilai salah.
Contoh Pernyataan Disjungsi
1. $p$ : $100$ adalah bilangan bulat kelipatan $5$.
$q$ : $100$ adalah bilangan bulat genap positif.
$p \vee q$ : $100$ adalah bilangan bulat kelipatan $5$ atau genap positif.
2. $p$ : Bu Wati pergi mengajar naik sepeda motor.
$q$ : Bu Wati pergi mengajar naik becak.
$p \wedge q$ : Bu Wati pergi mengajar naik sepeda motor atau becak.
Implikasi
Implikasi $\to$ jenis pernyataan majemuk yang berbentuk "jika ... maka ...".
Implikasi dinotasikan dengan tanda "$\to$".
Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk implikasi dapat kita lihat dalam tabel berikut :
| $p$ | $q$ | $p \ \to \ q$ |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Suatu pernyataan majemuk berbentuk implikasi hanya bernilai salah jika $p$ bernilai benar dan $q$ bernilai salah.
Contoh Pernyataan Implikasi
1. $p$ : Dodo sakit.
$q$ : Dodo pergi ke dokter bersama ibunya.
$p \to q$ : Jika Dodo sakit maka ia pergi ke dokter bersama ibunya.
2. $p$ : Pak Budi tidak ada di rumahnya.
$q$ : Pak Budi sedang memanen padi di sawah.
$p \to q$ : Jika Pak Budi tidak ada di rumahnya maka ia sedang memanen padi di sawah.
Biimplikasi
Biimplikasi $\to$ jenis pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "jika dan hanya jika".
Biimplikasi merupakan gabungan dari dua implikasi.
Biimplikasi biasa dinotasikan dengan tanda "\iff".
Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk biimplikasi dapat kita lihat dalam tabel berikut :
| $p$ | $q$ | $p \ \iff \ q$ |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Suatu pernyataan majemuk yang berbentuk biimplikasi hanya akan bernilai benar jika $p$ dan $q$ sama - sama bernilai benar atau salah.
Contoh Pernyataan Biimplikasi
1. $p$ : Pak Bokir mempunyai KTP.
$q$ : Pak Bokir adalah warga yang berumur lebih dari 17 tahun.
$p \iff q$ : Pak Bokir mempunyai KTP jika dan hanya ia warga yang berumur lebih dari 17 tahun.
2. $p$ : Hari ini Budi pergi ke sekolah.
$q$ : Budi mendapat uang saku dari ayah.
$p \iff q$ : Hari ini Budi pergi ke sekolah jika dan hanya jika mendapat uang saku dari ayah.
Nah... bagaimana ?
Mudah bukan.
Selain pernyataan majemuk, ingkaran, membedakan pernyataan dengan kalimat terbuka di atas.
Dalam logika matematika juga ada yang dikenal dengan istilah kuantor.
Pernyataan Berkuantor
Kuantor $\to$ kata yang mendahului kata benda sebagai fungsi untuk menunjukkan jumlah dari benda tersebut.
Sehingga, pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah.
Kata yang digunakan sebagai penunjuk kuantitas/jumlah biasanya adalah semua, beberapa, ada, terdapat, sebagian dan lain sebagainya.
Dalam logika matematika, pernyataan berkuantor terdiri dari dua kelompok berdasarkan penggunaan kuantornya.
Kedua kelompok pernyataan berkuantor tersebut adalah pernyataan dengan kuantor universal (kuantor umum) dan kuantor eksistensial (kuantor khusus).
Kuantor Universal (Umum)
Pernyataan dengan kuantor universal ditandai dengan penggunaan kata depan "setiap" atau "semua".
Kuantor universal atau kuantor umum biasa dinotasikan dengan tanda "$ \ \forall \ $".
$\forall x$ dibaca untuk semua nilai $x$ atau untuk setiap nilai $x$.
Contoh Penggunaan Kuantor Universal
1. Semua pengendara wajib memakai helm saat berkendara di jalan raya.
2. Setiap $x$ anggota bilangan Real maka $x$ adalah anggota bilangan kompleks.
Kuantor Eksistensial (Khusus)
Pernyataan dengan kuantor eksistensial ditandai dengan penggunaan kata depan "ada" atau "beberapa".
Kuantor eksistenasial atau kuantor umum biasa dinotasikan dengan tanda "$ \ \exists \ $".
$\exists x$ dibaca untuk semua nilai $x$ atau untuk setiap nilai $x$.
Contoh Penggunaan Kuantor Eksistensial
1. Ada bilangan prima yang sekaligus merupakan bilangan genap.
2. Jika sebagian $x$ adalah prima maka $x$ adalah bilangan ganjil.
Gimana.. udah nggak bingung lagi dong sama yang namanya logika matematika.
Dalam perkembangannya soal - soal logika matematika sering keluar pada Tes Potensi Skolastik (TPS) UTBK - SBMPTN.
Penutup
Nah, itulah tadi pembahasan dasar mengenai Materi Logika Matematika: Implikasi, Konjungsi, Disjungsi, Silogisme, Biimplikasi Lengkap.
Tetap semangat dan selamat belajar.
